二次函数与一元二次方程 获奖教案 衡水中学内部资料

从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成

2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程

已知二次函数y＝2x2－4x－6，它

图象与x轴交点的坐标是的

1．经历探索二次函数与一元二次方程________________． 的关系的过程，体会方程与函数之间的联解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝系；(重点) 2(x－3)(x＋1)，设2(x－3)(x＋1)＝0，解得

2．理解二次函数与x 轴交点的个数与x1＝3，x2＝－1，∴它的图象与x轴交点的一元二次方程的根的关系，理解何时方程有坐标是(3，0)，(－1，0)．故答案为(3，0)，两个不等的实根、两个相等的实根和没有实(－1，0)． 根；(重点) 方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐

3．通过观察二次函数与x 轴交点的个标，就是二次函数为0时，一元二次方程的数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步解． 培养学生的数形结合思想．(难点) 变式训练：见《学练优》本课时练习“课

堂达标训练”第 6题 【类型二】 判断抛物线与x轴交点的个数 已知关于x的二次函数y＝mx2－

一、情境导入 (m＋2)x＋2(m≠0)． 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交示．现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞点； 顶点与水面的距离OC＝2.4m.当水位上升(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且一定高度到达点F时，这时，离水面距离它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． CF＝1.5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超解析：(1)只需证明Δ＝(m＋2)2－过1m? 4m×2≥0即可；(2)利用因式分解法求得抛

物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．

(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两

个交点；

根据已知条件，要求ED宽，只要求出(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，只要求出点D的横坐标即可． 2

x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，

m由已知条件可得到点D的纵坐标，又因

为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横物线的函数关系式可以进一步算出点D的坐标都是整数．所以正整数m的值为1或

2. 横坐标．你会求吗？

二、合作探究 方法总结：解答本题的关键是明确当根探究点一：二次函数与一元二次方程 的判别式Δ≥0抛物线与x轴有两个交点． 【类型一】 求抛物线与x轴的交点坐变式训练：见《学练优》本课时练习“课标 堂达标训练”第8题

当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！

从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成

【类型三】 已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的

图象与x轴有交点，求k的取值范围．

解析：应分k－3＝0和k－3≠0两种情况进行讨论，(1)当k－3＝0即k＝3时，此函数是一次函数；(2)当k－3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围即可．

解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；

当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.

综上所述，k的取值范围是k≤4. 方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型四】 二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合 已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；

(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．

解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2

222

的平方和是x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝a－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．

(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2

＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；

(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，222∴x1＋x22＝(x1＋x2)－2x1·x2＝a－2a＋4＝3，∴a＝1.

方法总结：判断一元二次方程与x轴的

交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题

如图，足球场上守门员在O处开

出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取43＝7)?

(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取26＝5)?

解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)．根据顶点式可求得抛物线关系式．因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y＝0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长．要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长．求解的方法有多种．

解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，

由已知：当x＝0时，y＝1，即1＝36a1

＋4，所以a＝－.

12

当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！

从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成

所以函数表达式为y＝－1

或y＝－x2＋x＋1；

12

1

(x－6)2＋412

成功不是只有将来才有，而是从决定做的那一刻起，持续积累而成！ 人若软弱就是自己最大的敌人，人若勇敢就是自己最好的朋友。 成功就是每天进步一点点！ 如果要挖井，就要挖到水出为止。 即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。 今天拼搏努力，他日谁与争锋。 在你不害怕的时候去斗牛，这不算什么；在你害怕的时候不去斗牛，这没什么了不起；只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起。 行动不一定带来快乐，但无行动决无快乐。 只有一条路不能选择--那就是放弃之路；只有一条路不能拒绝--那就是成长之路。 坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。 只要我努力过，尽力过，哪怕我失败了，我也能拍着胸膛说：\我问心无愧。\1

(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，

12所以(x－6)2＝48，所以x1＝43＋6≈13，x2＝－43＋6<0(舍去)．

所以足球第一次落地距守门员约13米； (3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)．

1

所以2＝－(x－6)2＋4，解得x1＝6－

1226，x2＝6＋26，

所以CD＝|x1－x2|＝46≈10. 所以BD＝13－6＋10＝17(米)． 方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答．

三、板书设计

二次函数与一元二次方程

1.二次函数与一元二次方程

2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题

本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 用今天的泪播种，收获明天的微笑。 人生重要的不是所站的位置，而是所朝的方向。 弱者只有千难万难，而勇者则能披荆斩棘；愚者只有声声哀叹，智者却有千路万路。 坚持不懈，直到成功！ 最淡的墨水也胜过最强的记忆。 当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！

从现在开始，不留余力地努力吧，最差的结果，也不过是大器晚成

凑合凑合，自己负责。 有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 我中考，我自信！我尽力我无悔！ 听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从，三思而行的是智者。 相信自己能突破重围。 努力造就实力，态度决定高度。 把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。 人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。 安乐给人予舒适，却又给人予早逝；劳作给人予磨砺，却能给人予长久。 眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样！ 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 相信自己我能行！ 任何业绩的质变都来自于量变的积累。 明天的希望，让我们忘了今天的痛苦。 世界上最重要的事情，不在于我们身在何处，而在于我们朝着什么方向走。 爱拼才会赢努力拼搏，青春无悔！ 脚踏实地地学习。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。 觉得自己做的到和不做的到，其实只在一念之间。 人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。 没有等出来的辉煌；只有走出来的美丽。 我成功，因为我志在成功！ 记住！只有一个时间是最重要的，那就是现在。 回避现实的人，未来将更不理想。 昆仑纵有千丈雪，我亦誓把昆仑截。 如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。 没有热忱，世间将不会进步。 彩虹总在风雨后，阳光总在乌云后，成功总在失败后。 如果我们都去做我们能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。 外在压力增强时，就要增强内在的动力。 如果有山的话，就有条越过它的路。 临中考，有何惧，看我今朝奋力拼搏志！让雄心与智慧在六月闪光！ 成功绝不喜欢会见懒汉，而是唤醒懒汉。 当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。当你的经济还撑不起你的梦想时，那你就应该踏实的去做！

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