第九章练习题 - all

简答：

1．某分组码的最小码距是16，该码用于纠错，可保证纠正 位错。若用于检错，可保证检出 位错。 答：7,15

2．已知某(40,36)线性分组码的最小码距是5，问该码用于纠错时可保证纠正几位错？若用于检错则能可保证检出几位位错？该码的编码率是多少？ 答：2,4,0.9

3．（10分）某分组码的最小码距是7，若该码用于纠错，可保证纠正多少位错？若用于

检错，可保证检出多少位错？

答： dmin?7，可纠t???dmin?1??3个错，可保证检出e?dmin?1个错。 ??2?

4．已知某线性分组码的最小码距是15，问该码用于纠错时能保证纠正几位错？用于检错时能保证检出几位错？将该码的两个不相同的码字相加，结果最少有几个1？ 答：最小码距是15，故可保证纠正7位错，保证检出14位错。

因为是线性码，相加的结果还是码字，两个不同的码字相加，结果是非全零码字，故最少有15个“1”。

5．将(7,4)汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储阵列，每行一个码字，一共是10个码字。再按列读出后通过信道传输。若传输这10个码字时，信道中发生了连续15个错误，请问接收端解交织并译码后，能译对几个码字？

答：（7,4）汉明码可以纠正1位错。错误数大于1必然译错。通过交织的方法，15个连续错分散到10组码字之中，其中有5个码字有两个错，5个码字有1个错。故可以译对5个码字。

计算：

1．（12分）假设二元信道的的差错率是p，差错类型为随机错。求解下面的问题：

1．(4,3)偶校验码通过此信道传输，不可检出的错误的出现概率是多少？

2．(5,1)重复码通过此信道传输，不可纠正的错误的出现概率是多少？ 解：

1.P1?C4p?1?p??p?p22422. P2?C5p?1?p??C5p33424?6?12p?7p?

?1?p??p?p?10?15p?6p?

22532

2．（15分）某信源的信息速率为3600bit/s，信源输出通过一个2/3率的FEC编码器后

用8PSK方式传送，8PSK采用了滚降系数为1的频谱成形。问

(1)8PSK的符号速率是多少？ (2)8PSK信号的带宽是多少？

答：编码后的速率为3600?331，8PSK调制后的符号速率是3600???1800Baud，8PSK223信号的带宽是1800?1???=3600Hz

3．（15分）已知（7，3）分组码的生成矩阵为

?1001110??? G?0100111 ????1010011??1. 写出所有许用码组，并求出监督矩阵。

2. 该码的编码效率为多少？

3. 若译码器输入的码组为l000001，请计算其校正子，并指出此接收码组中是否包含错

误。

答：

1.c?uG，用所有可能的u计算后得到：

u 000 001 010 011 C 0000000 1010011 0100111 1110100 u 100 101 110 111 C 1001110 0011101 1101001 0111010 ?1 0 1 1 0 0 0?1001110???1 1 1 0 1 0 0???? 系统码形式的生成矩阵是G??0100111，由此得H?????1 1 0 0 0 1 0?????0011101???0 1 1 0 0 0 1?2. 编码率是3/7

3. s?yH???1111?，s不是全零，故y中有错误

?1000111???4．（15分）已知某(7,3)线性分组码的生成矩阵为G?1101010，请 ????1111000??1.通过初等行变换给出该码的系统码形式的生成矩阵；（注意规定不允许做列交换）

2.给出相应的监督矩阵

3.写出所有可能的编码结果； 4.给出该码的最小码距

5.若译码器输入为l110000，请计算其校正子，并指出是否存在错误。

?0101000??1000111??1100100???? 解：1. G???0101101?；2。H???1010010???0010010????1100001??3。0000000，0010010，0101101，0111111，1000111，1010101，1101010，1111000

4。2；5。1000，有错

5．（12分）已知某线性分组码的生成矩阵为

?100101?? 010011 G??????001110??请：

2.

3.

1. 求此码的码长和编码率

求监督矩阵。

若译码器输入为l00100，请计算其校正子，并指出是否存在错误。

解：

1. n=6, k=3，编码率为3/6=1/2

?101100???2. H??011010?

?110001???3. s?001，存在错误

6．（10分）已知(7,4)循环码的生成多项式是g?x??x?x?1，请画出系统码形式的编码电

3路。 解：

7．（12分）已知(17,9)循环码的生成多项式为g?x??x8?x7?x6?x4?x2?x?1 (1)若输入信息为000 000 101（左边是最高位）对应的系统码编码结果是多少？ (2)此(17,9)码是否存在码重为0、5、7、57的码字？若存在，请给出具体的码字，若不存在，请说明为什么？

(3)如果发送(1)中的编码结果，信道中的错误图样恰好和这个编码结果一样，那么译码结果会是什么？

解：

(1) 输入信息000 000 101的编码结果是000 000 101 001 001 01 (2) 存在0、5（刚才的编码结果）、7(生成多项式)，不存在57（码长只有17）。 (3) 此时接收到的是全0序列，因此译码结果是(000 000 000)

8．（6分）若c1?x?和c2?x?代表(7,3)循环码的某两个编码结果所对应的多项式，此循环码地生成多项式是g?x?。问

1. ??xc1?x??c2?x???modx7?1??是否是此(7,3)循环码的一个编码结果?

2. 何种条件下，xc1?x??c2?x?也是此(7,3)循环码的一个编码结果？ 3. ??xc1?x??c2?x???modg（需说明理由） 答：1。是，因为

?x?等于什么？

??xc1?x??c2?x???mod?x7?1????xc1?x???mod?x7?1????c2?x???mod?x7?1?

???xc1?x???modx7?1?c2?x?????xc1?x???mod?x7?1?是c1?x?的循环移位，所以??xc1?x???mod?x7?1?是码，再由线性码可得。 2. 所需条件是c1?x?的次数是5（即最高位是0）。此时xc1?x?是c1?x?的循环移位，因此

xc1?x??c2?x?是码。若c1?x?最高位是1，则xc1?x??c2?x?是个7次式，有8位，不可

能是编码结果。（注意论证应包括必要性和充分性两部分）

3。0，因为c1?x?,c2?x?都是g?x?的倍数。

9．（15分）已知（15，10）循环码的生成多项式为：g(x)?(x4?x?1)(x?1)，另外

还知道此循环码中非0的次数最低的码多项式同时就是非0的码多项式中码重最轻的。

问：

(1)如果该循环码用于检错目的，问它不能检出的错误图样有多少种？占全部可能错误图样的比率大约是多少？ (2)证明该码可以检出15比特全错的错误图样e?x??x14?x13?x12???x?1。

(3)请写出信息码组为（1000100000）的编码输出（要求用系统码）。

答：

1.当错误图样是g?x?的倍数时不能被检出，这样的错误图样扣除全零的一个外有210?12101个，占全部可能错误图样的比率约为15?。

2322.e?x??x14?x13?x12???x?1?x14?x12?x?1??x10?x?1????x2?x?1???x?1??x14??x12?x10???x2?1??x?1??x14?a?x??x?1?

由于x不包含x?1这个因子，因此e?x?不包含x?1这个因子，因此e?x?不可能被

14g?x?整除，因此这样的错误能够被检出。

4或者：做长除法，用e?x?除以g?x??x?x?x?1，得余式是x?x?1，不为0，因此

54这个错误图样能够被检出。

3. 输入信息是x9?x5，?x9?x5?x5除以g?x??x5?x4?x?1的余式是x4?x3?x2?1，

因此编码结果是100010000011101。

10．（7分）4路信息速率均为1000bit/s的信源，经过TDM复用后的输出通过了一个1/2率的卷积编码器，再用QPSK系统传输。已知此QPSK系统采用了??0.25的升余弦滚降技术来限制发送频谱。问

1. QPSK的符号速率是多少？ 2. QPSK信号的带宽是多少？

解：1. 4000，单位写波特、Baud、或符号/秒均可； 2。5000Hz。

11．（10分）某信源的信息速率为9600bit/s，信源输出通过一个1/2率的卷积编码器后用4PSK方式传送，4PSK采用了滚降系数为1的频谱成形。问 1．4PSK的符号速率是多少？ 2．4PSK信号的带宽是多少？ 答：1. 9600Baud，2. 19200Hz

12．（12分）某卷积编码器码的结构如下，输出时c1,c2交替输出。

c1,nbnc2,n

1．画出该卷积码的状态图。

2．输入为01100000?和输入为11100000?所对应的两个输出路径的汉明距是多少? 解：

1.以下两种都可以

011/101/0100/000/0010/101/011/11

10/110

2．3

13．（14分）将3个信息比特u0u1u2后面补两个0后送入下图所示的卷积编码器（u0先进），得到10比特输出（第一个输出是c1,0）。如果接收端收到的10个比特是01 00 00 00 00，请

1．画出该卷积码的格图；(画5步，0状态出发到0状态结束)

2. 根据卷积码是线性编码这一性质给出传输中遇到的最可能的错误图样； 3．用Viterbi译码给出传输中遇到的最可能的错误图样； 解：1。

2。卷积码是线性码，故00000000是可能的编码结果。由上图可知，01000000不是可能的编码结果，所以结果有错。最可能的错误图样是错误最少的图样，因此可知最可能的错误图样就是01000000。 3。

得到ML路径是00 00 00 00 00，因此最可能的错误图样是01 00 00 00 00。

14．（15分）已知卷积码的结构如下，输出时c1,c2交替输出。

c1bc2

(1)画出该卷积码的格状图（网格图）。

(2)求输入为11001001的输出。

(3)输入为00000和输入为10000所对应的两个输出路径的码距是多少。

1.

a1100ab0000100111bcd0111101001cd

2.第一路输出是1111101101，第二路输出是1001111111，串并变换后的输出是11 10 10 11 11

01 11 11 01 11

3.00000的输出是00 00 00 00 00 00 00，10000的输出是11 01 11 00 00 00 00，两者的码距

是5

15．（注：下面三题互相没有关系）

(a)某分组码的最小码距是17，若该码用于纠错，可保证纠正多少位错？若用于检错，可保证检出多少位错？

(b)某线性分组码的码长是15，如欲纠正所有单比特错和双比特错，请问非零的伴随式（校正子）至少应该有多少个？

(c)假设信道是随机差错的二元信道，其误比特率为10?3，请问发送0000000时，收到的7个比特不是全零的概率为多少？

解：(a)纠8，检16

12?C15?120 (b)C15(c)1??1?p??7p?0.007

716.某线性分组码的全部码字如下

0000000 0010111 0101110 0111001 1001011 1011100 1100101 1110010 (a)求最小汉明距； (b)求编码率；

(c)写出该码系统码形式的生成矩阵（要求系统位在左）。 解：(a)4，(b)3/7

?1001011?? 0101110(c)?????0010111??

17. 某(7,4)线性分组码的生成矩阵为

?1?0G???1??0000111??100101?

010100??001110?(a)请生成下列信息所对应的码字：0100、0101、1110、1001。

(b)将这个生成矩阵化为系统码的生成矩阵G?（要求只能用初等行变换，系统位在左）。 (c)写出监督矩阵H。

(d)若译码器输入y=（0011111），请计算其校正子（伴随式）s。 解：(a)0100101、0101011、0110110、1001001

?1?0(b) G????0??0000111??100101? ?010011?001110??1101100?? 1011010(c)H??????1110001??(d)010

18. 下列多项式都是系数在GF(2)上的多项式，请计算：

(a)?x4?x3?x2?1???x3?x2? (b)?x3?x2?1??x?1?

(c)?x4?x?mod?x2?1? (d)?x4?1?mod?x?1? (e)?x3?x2?x?1?mod?x?1? 解：(a)x4?1 (b)x4?x2?x?1 (c)x?1 (d)0 (e)0

19. 已知某(15,11)循环码的生成多项式是g?x??x4?x?1，请问

c1?x??x7?x3?x?1、c2?x??x6?x5?x3?1、c3?x??c1?x?c2?x?所代表的二进制

码组是不是该码可能的编码结果？ 解：c1?x?是，c2?x?不是，c3?x?是

20．(10分)已知某(7,3)循环码的生成多项式是g?x??x?x?x?1。

432(a)请画出系统码的编码器框图；

(b)写出信息100、010、001对应的编码结果； (c)写出该码的生成矩阵。 解：(a)

(b)如果按此图编码，结果是100110，0101000，0011101。

也可直接按g?x?的倍式做，即用信息多项式u?x?乘以g?x?得u?x?g?x?，结果是1110100、0111010、0011101。

?1001110???(c)系统码的生成矩阵是0100111

???0011101???

?1110100???也可以写成非系统形式0111010。 ???0011101???

?1?121．(10分)已知某（7,4）码的生成矩阵为G???0??1110010?000110?? 010101??011000?(a)写出该码中所有这样的码字，其前两个比特是11；

(b)将G转化为系统形式；（要求：只能是行变换，并且系统位在左边） (c)写出该码的校验矩阵H。

(d)求接收向量R?[1101011]的伴随式。 解：(a)1100111、1101100、1110010、1111001

?1?0(b)??0??0000110?100001?? 010101??001011??1010100???(c)1001010 ???0111001???T(d)S?cH??111?或s?Hc??111?

TT

22．(10分)右图是某卷积码格图的一段，图中左边数字是到达该状态的幸存路径的累积度量，图中实线/虚线分别表示编码器输入的信息比特是0/1，线旁边的数字（如01）表示对应的编码器输出。

(a)请求出下一步到达到达状态a的幸存路径，此幸存路径可能的累积路径度量值； (b)假设编码器的初始状态是a，请写出信息11000对应的编码结果。

解：(a)下一步到a只能是a到a或者c到a。a到a累积度量至少是5，c到a累积度量至多

是4。因此下一步到a的幸存路径一定是c到a。依据此段译码器输入之不同，累积度量可能为

接收序列为00时，累计度量值4 接收序列为01时，累计度量值3 接收序列为10时，累计度量值3 接收序列为11时，累计度量值2 (b)110101110

0

23. 假设二进制信道中的差错是独立错，信道的误比特率为p。

(1)将信息按4 比特分组，不经过编码，直接发送。问该码组经过信道后不出现错误的概率；

(2)将信息按4 比特分组，再用(7,4) 汉明码编码后传输。问经过译码后，信息分组正确的概率。

(3)在(2)的条件下，求收端的伴随式（校正子）是全零的概率。

答：(1) ?1?p? (2) ?1?p??7?1?p?p (3) ?1?p?

7476

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