2012-2013学年浙江省杭州市萧山区金山中学九年级（上）学科竞赛

2012-2013学年浙江省杭州市萧山区金山中学九年

级（上）学科竞赛数学试卷（12月份）

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2012-2013学年浙江省杭州市萧山区金山中学九年

级（上）学科竞赛数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．（3分）若 A． ，则等于（ ）

B． C． D． 2．（3分）（2009?德化县质检）如果两个相似多边形的面积比为9：4，那么这两个相似多边形的相似比为（ ） A．9：4 B． 2：3 C． 3：2 D． 81：16 3．（3分）圆锥的地面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ） 36π 48π 72π A．B． C． D．1 44π 4．（3分）将二次函数y=x的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） 2222 A．B． C． D． y=（x+3）﹣2 y=（x﹣3）﹣2 y=（x+3）+2 y=（x﹣3）+2 5．（3分）（2010?金华）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）

2

20° A． 40° B． 2

60° C． 80° D． 6．（3分）若函数y=（k﹣1）x﹣4x+5﹣k既没有最大值也没有最小值，则有（ ） k=1 k=0 A．k＞1 B． k＜1 C． D． 7．（3分）（2009?兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）

A．5米 B． 8米 C． 7米 D． 5米 8．（3分）（2009?台湾）如图，圆上有A，B，C，D四点，其中∠BAD=80度．若则

的长度为何（ ）

，的长度分别为7p，11p，

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www.jyeoo.com 4p 8p 10p 15p A．B． C． D． 9．（3分）若将函数y=a（x+3）（x﹣5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是（ ） A．（﹣3，0）和（5，0） B． （﹣2，b）和（6，b） C． （﹣2，0）和（6，0） D． （﹣3，b）和（5，b） 10．（3分）关于二次函数y=mx﹣x﹣m+1（m≠0）．以下结论：①不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；②若m＜0，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞2；③当x=m时，函数值y≥0；④若m＞1，则当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的序号是（ ） ①② ②③ ①②④ ①③④ A．B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．（4分）若k＜，则双曲线

的图象经过第 _________ 象限．

2

12．（4分）如图，AD是△ABC的外接圆直径，AD=

，∠B=∠DAC，则AC的值为 _________ ．

13．（4分）（2006?南通）如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，且DE∥BC．若DE=2cm，BC=3cm，EC=cm，则AC= _________ cm．

14．（4分）y与x+1成反比例，当x=2时，y=﹣1，则写出y关于x的函数解析式 _________ ，并写出自变量x的取值范围 _________ ．

15．（4分）如图，已知函数y=ax+bx+c与y=﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（2，﹣2）、C（1，﹣4）三点，根据图象可求得关于x的不等式ax+bx+c＜﹣的解集为 _________ ．

2

2

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16．（4分）（2011?荆门）如图，双曲线

（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA

与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 _________ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

2

17．（6分）已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm，求扇形的弧长． 18．（8分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．

19．（8分）某商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件．设这种商品的销售单价为x元，商品每天销售这种商品所获得的利润为y元． （1）给定x的一些值，请计算y的一些值； … … x 7 8 9 10 11 … … y （2）求y与x之间的函数关系式，并探索：当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？这时每天销售的商品是多少件？

20．（10分）（2012?哈密地区二模）抛物线y=x+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论．

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www.jyeoo.com 21．（10分）（2006?潍坊）如图，在△ABC的外接圆O中，D是（1）列出图中所有相似三角形； （2）连接DC，若在

上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC=DF?DK是否

2

的中点，AD交BC于点E，连接BD．

成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．

22．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

23．（12分）（2012?舟山）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E． ①用含m的代数式表示点Q的坐标； ②求证：四边形ODME是矩形．

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2012-2013学年浙江省杭州市萧山区金山中学九年

级（上）学科竞赛数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．（3分）若 A． ，则等于（ ）

B． C． D． 考点： 比例的性质． 分析： 根据两內项之积等于两外项之积列式整理即可得解． 解答： 解：∵=， ∴5（x﹣2y）=2y， ∴5x=12y， ∴=． 故选C． 点评： 本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键． 2．（3分）（2009?德化县质检）如果两个相似多边形的面积比为9：4，那么这两个相似多边形的相似比为（ ） A．9：4 B． 2：3 C． 3：2 D． 81：16 考点： 相似多边形的性质． 分析： 根据两个相似多边形的面积比为9：4，面积之比等于相似比的平方． 解答： 解：根据题意得：=．故选C． 点评： 本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 3．（3分）圆锥的地面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ） 36π 48π 72π 144π A．B． C． D． 考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题． 分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 解答： 解：圆锥的侧面积=2π×4×9÷2=36π． 故选A． 点评： 本题考查圆锥的侧面积的求法．要熟记公式． 4．（3分）将二次函数y=x的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） 2222 A．B． C． D． y=（x+3）﹣2 y=（x﹣3）﹣2 y=（x+3）+2 y=（x﹣3）+2

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www.jyeoo.com 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行求解． 222解答： 解：y=x的图象向上平移2个单位得：y=x+2；再向左平移3个单位，得：y=（x+3）+2； 故选C． 点评： 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 5．（3分）（2010?金华）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ）

20° 40° 60° A．B． C． 考点： 圆周角定理． 分析： 可由同弧所对的圆周角、圆心角的关系求出∠BOC的度数． 解答： 解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOC=2∠A=80°；故选D． 点评： 此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 80° D． 6．（3分）若函数y=（k﹣1）x﹣4x+5﹣k既没有最大值也没有最小值，则有（ ） k=1 k=0 A．k＞1 B． k＜1 C． D． 考点： 二次函数的最值． 分析： 根据函数的性质，当二次项系数等于0时，为一次函数，既没有最大值也没有最小值，然后列式计算即可得解． 解答： 解：∵函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k既没有最大值也没有最小值， ∴k﹣1=0， 解得k=1． 故选C． 点评： 本题考查了二次函数的最值问题，判断出二次项系数等于0是解题的关键． 7．（3分）（2009?兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）

2

A．5米 B． 8米 C． 7米 考点： 垂径定理的应用；勾股定理． 专题： 应用题． 分析： 先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 解答： 解：因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m， 所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形， 利用勾股定理和垂径定理求出DO=5， 进而得拱高CD=CO﹣DO=13﹣5=8．故选B． D． 5米 ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用． 8．（3分）（2009?台湾）如图，圆上有A，B，C，D四点，其中∠BAD=80度．若则

的长度为何（ ）

，

的长度分别为7p，11p，

4p 8p 10p A．B． C． 考点： 圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质． 分析： 根据圆内接四边形的对角互补知，∠A=80°，∠C=100°，由于15p D． ，的长度分别为7p，11p，则圆的周长为18p，由∠A=80°，根据圆内接四边形的对角互补知，∠C=100°，故弦把圆分成10p和8p两部分，是优弧，所以它的长度是10p． 解答： 解：∵∠A=80° ∴∠C=100° ∵，的长度分别为7p，11p ∴圆的周长为18p ∵∠A=80°， ∴∠C=180°﹣80°=100°， ∴的长度为×18p=10p， 故选C． 点评： 本题利用了圆内接四边形的对角互补和圆周角与弧的关系求解． 9．（3分）若将函数y=a（x+3）（x﹣5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是（ ） A．（﹣3，0）和（5，0） B． （﹣2，b）和（6，b） C． （﹣2，0）和（6，0） D． （﹣3，b）和（5，b） 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据二次函数左加右减的原则可得函数y=a（x+3）（x﹣5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位后可得y=a（x﹣1+3）（x﹣1﹣5）+b，然后再把y=b代入即可算出x的值，进而得到坐标． 解答： 解：函数y=a（x+3）（x﹣5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位后可得y=a（x﹣1+3）（x﹣1﹣5）+b=a（x+2）（x﹣6）+b， 再把y=b代入可得方程a（x+2）（x﹣6）=0， 解得：x=﹣2或6， 故它与直线y=b的交点坐标是（﹣2，b）和（6，b）， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 故选：B． 点评： 此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 10．（3分）关于二次函数y=mx﹣x﹣m+1（m≠0）．以下结论：①不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；②若m＜0，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞2；③当x=m时，函数值y≥0；④若m＞1，则当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的序号是（ ） ①② ②③ ①②④ ①③④ A．B． C． D． 考点： 二次函数的性质． 分析： ①令y=0，利用因式分解法求得相应的x的值，即该函数所经过的定点坐标； ②根据AB=|x1﹣x2|求解； ③需要对m的取值进行讨论：当m≤1时，y≤0； ④根据二次函数图象的开口方向、对称轴方程以及单调性进行判断． 解答： 解：①由二次函数y=mx2﹣x﹣m+1（m≠0），得 y=[m（x+1）﹣1]（x﹣1）； 2

令y=0，则m（x+1）﹣1=0或x﹣1=0，即x1=所以该函数经过点（，0）、（1，0）， ，x2=1， ∴无论m取何值，抛物线总经过点（1，0）； 故本选项正确； ②若m＜0时，AB=|x2﹣x1|=|1﹣|=|2﹣|＞|2|=2，即AB＞2；故本选项正确； ③根据题意，得 32y=m﹣2m+1=（m﹣1）（m+m﹣1）（m≠0）， 2∵m＞0， 2∴m+m﹣1＞m﹣1， 当m﹣1≤0，即m≤1时， （m﹣1）（m+m﹣1）≤（m﹣1）， 2∵（m﹣1）≥0， 22∴（m﹣1）（m+m﹣1）≤0或（m﹣1）（m+m﹣1）≥0， 即y≤0或y≥0； 故本选项错误； ④当m＞1时，x1=＜0＜x2，且抛物线该抛物线开口向上， 22∴当x＞1时，该函数在区间[1，+∞）上是增函数，即y随x的增大而增大． 故本选项正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 故选C． 点评： 本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识点，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．（4分）若k＜，则双曲线

的图象经过第 二、四 象限．

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www.jyeoo.com 考点： 反比例函数的性质． 分析： 首先根据k的取值范围确定2k﹣1的值，然后根据反比例函数的性质求解即可． 解答： 解：∵k＜， ∴2k﹣1＜0， ∴双曲线的图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 点评： 本题主要考查反比例函数的性质，用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积；比例系数小于0，反比例函数的两个分支在二、四象限． 12．（4分）如图，AD是△ABC的外接圆直径，AD=

，∠B=∠DAC，则AC的值为 1 ．

考点： 圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形；三角形的外接圆与外心． 专题： 方程思想． 分析： 连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AC的长． 解答： 解：连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC， ∴∠DAC=∠ADC， ∴=， ∴AC=CD， 222又∵AC+CD=AD， 22∴2AC=AD， ∵AD=， ∴AC==1． 故答案为：1． 点评： 本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． ?2010-2013 菁优网

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考点： 三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据相似三角形的判定可以得到相似三角形共有三对； （2）先根据已知作图，通过证明△KDC∽△CDF，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到DC=DF?DK． 解答： 解：（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC． （2）DC=DF?DK成立． 证明：∵D是∴=， 的中点， 22∴∠DBC=∠DCB（等弧的圆周角相等）， 又∵∠DBC=∠DKC， ∴∠DCB=∠DKC， 又∵∠KDC=∠CDF， ∴△KDC∽△CDF， ∴2， ∴DC=DF?DK． 点评： 考查了相似三角形的判定方法及三角形外接圆与外心等知识的掌握情况． 22．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

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考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 动点型． 分析： （1）利用等腰三角形ABC的性质、三角形外角定理以及等量代换等知识证得△ADB∽△EAC；然后由相似三角形的对应边成比例列出比例式（2）要使，即即，所以y=（x≠0）； 成立，须且只须△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只须∠ADB=∠EAC．又，∠EAC+∠BAD=β﹣α，所以90°﹣=β﹣α，即β﹣=90°． 因为∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°﹣解答： 解：（l）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠ABD=∠ACE=105°． 又∵∠DAE=105°． ∴∠DAB+∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=75°， 又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°， ∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠ADB， ∴∠CAE=∠ADB， ∴△ADB∽△EAC， ∴ （2）当α、β满足关系式β﹣理由如下：∵β﹣∴β﹣α=90°﹣． =90°， =90°时，函数关系式成立． 即，所以y=（x≠0）； 又∵∠EAC=∠DAE﹣∠BAC﹣∠DAB=β﹣α﹣∠DAB， ∠ADB=∠ABC﹣∠DAB=90°﹣∴∠ADB=∠EAC； 又∵∠ABD=∠ECA， ∴△ADB∽△EAC， =∴， ，所以y=（x≠0）． ﹣∠DAB，

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www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质；利用两角对应相等得到两三角形相似是解决本题的关键． 23．（12分）（2012?舟山）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E． ①用含m的代数式表示点Q的坐标； ②求证：四边形ODME是矩形．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题；分类讨论． 分析： （1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论． ②题干要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三种情况来判断： QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定； QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定； CQ=CO时，OQ为底，不合题意． （2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标； ②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证． 2解答： 解：（1）①∵把x=代入 y=x，得 y=2， ∴P（，2）， ∴OP= ∵PA丄x轴， ∴PA∥MO． ∴tan∠P0M=tan∠0PA=2=． ②设 Q（n，n）， ∵tan∠QOB=tan∠POM， ∴． ∴n= ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ∴Q（∴OQ=，）， ． ），C2（0，）； 当OQ=OC时，则C1（0，当OQ=CQ时，则C3（0，1）； 当CQ=CO时，OQ为底，不合题意． 综上所述，当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形时，所求点C坐标为：C1（0，C3（0，1）； （2）①设 Q（n，n）， ∵△APO∽△BOQ， ∴ 2），C2（0，），∴，得n=， ∴Q（，）． 2②设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m）、Q（，）代入，得： ， ①﹣②得：m﹣2=（m+）k， 解得：k=m﹣③， 把③代入①，得：b=1， ∴M（0，1） ∵，∠QBO=∠MOA=90°， ∴△QBO∽△MOA ∴∠MAO=∠QOB， ∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90°， ∴四边形ODME是矩形． ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；（1）②题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况． ?2010-2013 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：Linaliu；张超。；wenming；zhehe；开心；kuaile；sjzx；zhqd；dbz1018；ln_86；心若在；zhjh；CJX；Liuzhx；zhangCF；ZJX；lanyan；sd2011；MMCH；星期八；sks（排名不分先后） 菁优网

2013年8月7日

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参与本试卷答题和审题的老师有：Linaliu；张超。；wenming；zhehe；开心；kuaile；sjzx；zhqd；dbz1018；ln_86；心若在；zhjh；CJX；Liuzhx；zhangCF；ZJX；lanyan；sd2011；MMCH；星期八；sks（排名不分先后） 菁优网

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