圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

第四节 平板应力分析

3.4 平板应力分析 3.4.1 概述

3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3 圆平板中的应力

3.4.4 承受对称载荷时环板中的应力

3.4.1 概述

1、应用：平封头：常压容器、高压容器；

贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板；

板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。

2、平板的几何特征及平板分类

几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。 t/b≤1/5时 (薄板) oxyz图2-28 薄板 w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力

载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷

②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷

内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形

②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形

◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

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◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff

① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度。只有横向力载荷

②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题

3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程

分析模型

Qr+pzM?t/2t/2zd?QrozPdQrdrdrdMrMr+drdrrrMrM?ta.drc.yPQr+dQrdrdrRrr+drd? d?oQrM?MrrMr+dMrdrdrM?Tb.d. 分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，

内力Mr、Mθ、Qr 三个内力分量

轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只

是 r 的函数，而与θ无关。

求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（

→求w求→内力

Mr、M?pz?w）

→求应力

?r、??

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t/2t/2 rd?z微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。 a.ozyRd? rb.微元体内力 ：

径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ

横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr 微元体外力 ：

上表面P?pzrd?dr

r+d?M?rdrodQrQr+drdrPdMrMr+drdrrMrd?Qroz1、平衡方程 M?tdrc.yP dQrQr+drdr微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0 M?80 rMr?Mr+dMrdrM?rMr zM?t a.dMrd?dr??d?M?drr?drd??Mrd??2Mdrsin?Qrd?dr?prd?dr?0??r?rz?r?dr22??Mr?dMrQrdr（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）c. odrr?M??Qrr?0 （2-54） zyPd?r M?Mrd?dQrQr+drdrrdMrMr+drdrM?b.2、几何协调方程(W~ε)

r+droQrTd. 取AB?dr，径向截面上与中面相距为z，半径为r与r?dr两点A与B构成的微段

rmzzAndrm1Bn1ra.?d?wzmAm1Brnn1dwb.z??+d?

板变形后：

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微段的径向应变为 ?r?z???d???z?dr?zd?dr（第2假设）

过A点的周向应变为???作为小挠度???dwdr2??r?z???2?r2?r?z?r（第1假设）

，带入以上两式，得

应变与挠度关系的几何方程：

?r??z????dwdr22zdwrdr （2-55）

3、物理方程

根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：

?r????E1??E1??22??r????? （2-56）

??????r?4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 (2-55)代入(2-56)式：

?d2w?dw??r????2?21???drrdr?Ez?????1dwdw???2?2?1???rdrdr?Ez2 （2-57）

通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和M?表示成w的形式。由式（2-57）

可见，?r和??沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。

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lMrorrMrzdzz图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系 ?r、??的线性分布力系便组成弯矩Mr、M?。单位长度上的径向弯矩为： 2?dw?dw?2Mr??2t?rzdz???2t??zdz 2?2??1??rdr??dr22ttE?d2w?dw?Mr??D??? （2-58a） 2drrdr??同理M?

2?1dwdw??D????2dr?rdr?? （2-58b） ?D??Et3212?1???

参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 (2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：

?r????12Mtt3rz12M?3 （2-59）

z(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：

dwdr33?1dwrdr22?1dwr2dr?QrD?

即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：

d?1d?d???Qr?r????dr?rdr?dr??D? （2-60）

Qr值可依不同载荷情况用静力法求得

3.4.3 圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）

承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支 承受集中载荷时圆平板中的应力

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t/2zot/2

一、承受均布载荷时圆平板中的应力 rOrMrQrQrMr图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定

据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：Qr?代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：

d?1d?dw??prr? ????dr?rdr?dr??2D??rp2?r2?pr2

对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：

dwdr?pr316D??C1r2?C2r （2-61）

对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。

w?pr464D??C1r42?C2lnr?C3 （2-62）

C1、C2、C3均为积分常数。

对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：

dwdrw??prpr4316D???C1r22C1r4 （2-63）

?C364D?式中C1、C3由边界条件确定。

下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件) ①周边固支圆平板 ②周边简支圆平板

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prRza.RRprRzb. 周边固支圆平板 周边简支圆平板 图2-33 承受均布横向载荷的圆板 1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角） prRza.RR周边固支圆平板 r?R, dwdr?0 r?R, w?0C1??pR42将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：

C3?8D?,pR

64D?代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：

dwdrw???pR?16D?2pr2?r22? （2-64）

?R64D??r?2

将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：

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Mr?M???R2?1????r2?3?????16??R2?1????r2?1?3????16?pp （2-65）

由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：

?r??????Mrt2????622?R1???r???3????2??8t22?R1???r???1?3???2??8t3pM?t23p （2-66）

6周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。 最大应力在板边缘上下表面，即??r?max??3pR4t22

σrσθσθσrσθσθ3μpR2-0.8274t21.0rR0.5-3pR20.628-4t2σr3(3+μ)pR28t2σr3(1-μ)pR24t2r1.0R3pR(1+μ)8t22+OO0.5a.b. 图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面） 2、周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程： 222?4RR?r2???22??R?r??? （2-67） w?64D??1?????pprRzb.RrR 周边简支圆平板 86

弯矩表达式：

Mr?M??p16p?3????R2?r2? （2-68）

?R2?3????r2?1?3????16?应力表达式：

?r??????3p8t2?3????R2?r2??R2?3????r2?1?3????8t?23p （2-69）

可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处r?0，

?Mr?max??r?max??M??max??pR162?3???

?????max3?3???pR28t2

周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。

σrσθσθσθ3μpR2-0.8274t21.0rR0.5-3pR20.628-4t2σr3(3+μ)pR28t2σr3(1-μ)pR24t2r1.0Rσrσθ3pR(1+μ)8t22+OO0.5a.b.图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面） 3、比较两种支承 a. 边界条件 周边固支时:r?R, dwdr?0 r?R, w?0周边简支时:b. 挠度

r?R, w?0r?R, Mr?0

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周边固支时，最大挠度在板中心wfmax?pR464D? （2-70）

4周边简支时，最大挠度在板中心w简支固支wmaxwmaxfssmax?5??pR1??64D? （2-71）

??0.3→

?5?0.31?0.3?4.08

表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 c. 应力

周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为

??r?maxf?3pR4t22 （2-72）

周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为

??r?max??0.3简支固支s?3?3???pR28ts2 （2-73）

→

??r?max??r?maxf?3.32?1.65

表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。 内力引起的切应力：

在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力?Qr?max?近似采用矩形截面梁中最大切应力公式?max?得到?max?3?Qr?max21?t?3pR4t3Q2bhpR2（r?R处），

，

最大正应力与?tR?2同一量级；

最大切应力则与Rt同一量级。

因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大。

从以上可以看出：?max与wmax圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关。 ●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。

●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件

●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度 4、结论

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a. 板内为二向应力状态：?r、??且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力?z及剪力Qr引起的切应力?均可予以忽略。

b. 应力分布: 沿厚度呈线性分布 , 且最大值在板的上下表面。沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关。工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。 c. 强度: 简支 ?smaxr?0???r?max????s?maxpRt2s?1.23pRt22

固支 ?fmaxr?R???r?max?0.75f2

∴

??r?max??r?maxfs?1.6 5d. 刚度:

∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板 e. 薄板结构的最大弯曲应力?max与?tR?2成正比，而薄壳的最大拉( 压)应力?max

与R成正比。故在相同R条件下，薄板所需厚度比薄壳大。

tt二、承受集中载荷时圆平板中的应力

挠度微分方程式（2-60）中，剪力Qr可由图2-35中的平衡条件确定：Qr?F2?r

采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值

MrFrMrQrQr 图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr 3.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 ◆通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。 ◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。

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a.M1Fb.fR1R M1f图2-36 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板 设圆环的内半径为Ri、外半径为Ro、形心处的半径为Rx、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角?和最大应力??max（在圆环内侧两表面）

??12MRxEtln3RoRi6MRxRoRi （2-74）

??max?2tRiln

M t Ri Rr Ro 图2-37 圆环转角和应力分析

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3sxg.html