上海市2016_2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

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2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷

一、填空题

1．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为

．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为

．3．若复数z 满足

，则=．

4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为

，则a 的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，则k=

．6．如果实数x，y

满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．

7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．

8．参数方程（t 为参数），化为一般方程为．

9．以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M 是抛物线y=4x 2+1上的一个动点，且点M 是线段OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程为．

11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为

cm 3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是．

二、选择题

13．命题p：a≥1；命题q：关于x 的实系数方程x 2

﹣2

x+a=0有虚数解，则p 是q 的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

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-2-14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1：S 2=（）

A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1

15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（

）

A．（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）

16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）

A．{2}∪（4，+∞）

B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）三、简答题

17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，

（1）求点P 的轨迹C

（2）点A（3，1），P 在曲线C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P 的坐标．

18．在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个

角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A 1C 1D 1．

（1）若A 1C 1的中点为O 1，求异面直线BO 1与A 1D 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点D 到平面A 1BC 1的距离d．

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-3

-19．复数z 满足

z

+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．

20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R

（1）直线过定点P，求点P 坐标；

（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为4，求出直线l 方程．

21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点．设点P（4，3），记PA、PB 的斜率分别为k 1和k 2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如果直线l 的斜率等于﹣1，求出k 1?k 2的值；

（3）探讨k 1+k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1+k 2

的取值范围．

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-4-2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为2．

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．

【解答】解：抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为：p=2．

故答案为：2．2．

方向向量为

，且过点A （3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0．【考点】IG：直线的一般式方程．

【分析】根据点向式方程计算即可

【解答】解：

方向向量为

，且过点A （3，4）的方程为

=，

即2x﹣y﹣2=0，

故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z

满足

，则

=．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．

【解答】解：

∵

=

=，∴．

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-5-故答案为：．

4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0

的夹角为

，则a 的值为

2±．

【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值．

【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0

的夹角为

，∴

tan

=

=||，求得

a==2

﹣，或a=

=2+，

故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，则

k=

．

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．

【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx 2+3ky 2=1的一个焦点，可得：

，解得

k=

．故答案为：．6．如果实数x，y

满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2．

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x 可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．

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-6-

【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x 可知，

当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z 取最小值，

代值计算可得z 的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2

故答案为：﹣2．

7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．

【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．

【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD 中，过P 作PO⊥平面ABCD 于O，连接AO，

则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影．∴∠PAO 即为所求线面角，

∵AO=

，PA=1，∴cos∠PAO=

=．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．

故答案为45°．

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-7

-

8．参数方程（t 为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．

【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．

【解答】解：∵参数方程（t 为参数），

∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），

整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．

故答案为：x+y﹣2=0．

9．以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为顶点，

以为渐近线的双曲线方程

为

．

【考点】KI：圆锥曲线的综合．

【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．

【解答】解：以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为（±

，0）

，则双曲线的顶点（±，

0），可得

a=

，以为渐近线的双曲线，可得b=，

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-8-

所求的双曲线方程为：．故答案为：．

10．M 是抛物线y=4x 2+1上的一个动点，且点M 是线段OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程为y=2x 2+2．

【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．

【分析】设出P 的坐标，求出M 的坐标，动点M 在抛物线y=4x 2+1上运动，点M 满足抛物线方程，代入求解，即可得到P 的轨迹方程．

【解答】解：设P 的坐标（x，y），由题意点M 为线段OP 的中点，可知M（

，），动点M 在抛物线y=4x 2+1

上运动，所以

=4+1，所以y=2x 2

+2动点P 的轨迹方程为：y=2x 2+2．

故答案为：y=2x 2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288cm 3

．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．

【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，

纬圆半径是：3cm，

地球仪的半径是：6cm；

地球仪的体积是：

π×63=288cm 3

，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2

=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是

（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．

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-9-【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．

【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2

=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，

可得

1﹣1＜

＜1+1，可得

＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题

13．命题p：a≥1；命题q：关于x 的实系数方程x 2

﹣2

x+a=0有虚数解，则p 是q 的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：若关于x 的实系数方程x 2

﹣2

x+a=0有虚数解，

则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，

∴p 是q 的必要不充分条件，

故选：B 14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1：S 2=（）

A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1

【考点】LG：球的体积和表面积．

【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．

【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S 1=6π，

球的表面积为：S 2=4π．

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-10-所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S 1：S 2=3：2．

故选C．

15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（

）

A．（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）

【考点】L7：简单空间图形的三视图．

【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．

【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，

需要看出所给的四个几何体的三视图，

正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，

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-11-圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，

圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，

四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，

故符合题意的有（2）（3）（4）三个，

故选A．

16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）

A．{2}∪（4，+∞）

B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．

【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x 2+y 2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O 作OC⊥AB，由三角形AOB 为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC 为斜边AB 的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC 的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O 半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．

【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x 2+y 2=λ的图象，如图所示，当AB 与圆O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O 作OC⊥AB，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2

，

∴OC=AB=，此时λ=OC 2=2；

当圆O 半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，

综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．

故选A

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-12

-三、简答题

17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，

（1）求点P 的轨迹C

（2）点A（3，1），P 在曲线C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P 的坐标．

【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．

【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C 的方程；

（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F 三点共线，此时点P 为直线AF 与抛物线的交点即可

【解答】解：（1）（1）设P（x，y），

∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x 2

=8y ∴点P 的轨迹C 是以原点为顶点，对称轴为y 轴的抛物线．

（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F 三点共线，

此时点P 为直线AF 与抛物线的交点．

直线AF 方程：x+3y﹣6=0由得P（

，）

|PA|+|PF|的最小值为．

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-13

-18．在长方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=3，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个

角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A 1C 1D 1．

（1）若A 1C 1的中点为O 1，求异面直线BO 1与A 1D 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点D 到平面A 1BC 1的距离

d．

【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．

【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求

出

．利

用空间向量的连结求解异面直线BO 1与A 1D 1所成的角．

（2）求出平面ABD 的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．

【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D 1（0，0，3）、A 1（2，0，3）、C 1（0，2，3）．

由O 1是A 1C 1中点，可得O 1（1，1，3）．

于是

，

．

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-14-设异面直线BO 1与A 1D 1

所成的角为θ，则

．

因此，异面直线BO 1与A 1D 1

所成的角为

．

（2）设是平面ABD 的法向量．∴又，

∴取z=2，可

得即平面BA 1C 1的一个法向量

是

．∴=

．

19．复数z 满足

z

+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】设z=a+bi （a，b∈R），

则

，代入

z +（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z 在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，

以

为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．

【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R）

，则

，代入

z

+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得

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-15-（a 2+b 2

+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，

即a 2+b 2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．

∴z 在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以

为半径的圆．

∴|z|=

，

则|z|的最大值为

．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R

（1）直线过定点P，求点P 坐标；

（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为4，求出直线l 方程．

【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．

【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0

可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）

（2）令y=0，得

A（﹣

）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB 的面积为

s=

==4，解得k

【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0

∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）

∴P（﹣2，1）．

（2）∵直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，

∴k＞0

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-16-令y=0，得

A（﹣

）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB 的面积为s=

==4

解得

k=

∴直线l

方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点．设点P（4，3），记PA、PB 的斜率分别为k 1和k 2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如果直线l 的斜率等于﹣1，求出k 1?k 2的值；

（3）探讨k 1+k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1+k 2

的取值范围．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．

（2）直线l：y=﹣x+1，设AB

坐标，联立利用韦达定理以及斜率公

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-17-式求解即可．

（3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．

【解答】解：（1）∵a=2，又

c=1，∴

，∴椭圆方程为

…

（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x 1，y 1）B（x 2，y 2），

由消y 得7x 2﹣8x ﹣8=0，

有

，

．…

…

（3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设

A（1，）

，B（1，﹣），则，，故k 1+k 2=2．…

当直线AB 的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x 1，y 1）B（x 2，y 2），由消y 得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+（4k 2

﹣12）=0，

有

，

．…

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-18

-

=…

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3swq.html