2022优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第二章第1讲知能训练

1．下列四组函数中，表示同一函数的序号是________．

①y ＝x －1与y ＝（x －1）2；

②y ＝x －1与y ＝x －1x －1

； ③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2；

④y ＝lg x －2与y ＝lg x 100

； 解析：对于①，对应法则不同；对于②③，定义域不同．

答案：④

2．已知f ????1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.

解析：令t ＝1x ，所以x ＝1t ，所以f (t )＝1t 2＋5t . 所以f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)． 答案：5x ＋1x

2(x ≠0) 3．设函数f (x )＝???x ，x ≥0，－x ，x <0，

若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________. 解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.

答案：±1

4．下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的序号是________．

①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；

③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .

解析：对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (x )＝x －|x |＝?

????0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于③，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1≠2f (x )．对于④，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )．

答案：①②④

5．已知f (x )＝?

????－cos （πx ），x >0，f （x ＋1）＋1，x ≤0，则f ????43＋f ????－43＝________． 解析：f ????43＝12，f ????－43＝f ????－13＋1＝f ????23＋2＝52，f ????43＋f ???

?－43＝3. 案：3

6．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是________(填序号)．

解析：从球的形状可知，液体的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加

的速度又越来越快．

答案：③

7．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________．

解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①

将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.②

①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，

即f (x )＝x ＋1.

答案：x ＋1

8．(2016·盘锦模拟)已知函数f (x )＝?

????sin （πx 2），－1

解析：当－1

所以sin(πa 2)＝1，

所以πa 2＝2k π＋π2

，k ∈Z ， 所以a ＝± 2k ＋12

，k ∈Z ， 又－1

. 当a ≥0时，f (1)＋f (a )＝1＋e a －1＝2，

所以e a －1＝1，所以a ＝1.

综上，a 的所有可能值为－22

和1. 答案：－22

和1 9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．

解析：由已知可得M ＝N ，故?????a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1， 即?

????a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 答案：4

10．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．

解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．

11.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从点B 开始沿

着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若点P 运动的路程为x ，△P AB 的面积为y .

(1)写出y ＝f (x )的解析式，指出函数的定义域；

(2)画出函数的图象并写出函数的值域．

解：(1)由题意可求∠B ＝60°，如图所示，

①当点P 在BC 上运动时，如图①所示，

y ＝12×10×(x sin 60°)＝532

x ，0≤x ≤4. ②当点P 在CD 上运动时，如图②所示，

y ＝12

×10×4sin 60°＝103，4

y ＝12

×10×(14－x )sin 60° ＝－532

x ＋353，10

y ＝???532x ，0≤x ≤4，103，4

其定义域为[0，14]．

(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示．

由图象可知，函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标的取值范围是0≤y ≤10 3. 所以函数y ＝f (x )的值域为[0，103]．

12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x .

(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；

(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．

解：(1)因为对任意x ∈R 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.

若f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a .

(2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，故对任意x ∈R ，

有f (x )－x 2＋x ＝x 0.令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0.

又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝0，

故x 0＝0或x 0＝1.

若x 0＝0，则f (x )＝x 2－x ，但方程x 2－x ＝x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x 0≠0.若x 0＝1，则有f (x )＝x 2－x ＋1，易证该函数满足题设条件．

综上，所求函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3stl.html