高数 第二单元 导数与微分

第二单元 导数与微分

导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面学好积分，学好多元函数的导数。

[教学基本要求]

微积分 理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟练掌握基本求导公式，运算法则；掌握复合函数求导的链式法则及隐函数、分段函数、抽象函数的求导法.了解高阶导数的概念；了解微分的概念，微分形式的不变性，导数与微分的关系；掌握可微函数的微分方法。了解微分在近似计算中的应用。掌握经济函数与导数有关的内容。

高等数学 增加理解参数方程所确定函数的导数；了解求高阶导数的规律。

[知识要点] 1．f?(x0)?lim?y?x?limf(x0??x)?f(x0)?x，等价形式limf(x)?f(x0)x?x0，极限存在

?x?0?x?0x?x0时，该极限就是函数f(x)在x0点处的导数。极限存在的充要条件是左极限等于右极限，此时对应的是左导数等于右导数（注意：上一章求函数f(x)在x0点的极限，x0可以没有定义；现在求x0点处增量比的极限，x0必须有定义）。去掉x0的脚标，得到导函数的定义式

y??limf(x??x)?f(x)?x?x?0，或f?(x)?limf(x?h)?f(x)h（注意：对函数而言x在所论区

h?0间中可以任意取值，但是求极限的过程中，x是常量，?x和h是变量）。应记住表示导数、导函数的几种符号形式。

2．对照曲线的切线，明了切线的斜率对应导数，描述函数的变化率；图中对应?y和dy的两条线段，说明微分是函数增量的线性主部（近似值）。虽然有：可导?可微，求导公式与微分公式形式相近，可以在一起记忆，但是要区别求导、微分是两个不同的概念。增量比的极限存在，对应的曲线一定是连续、圆滑的；增量比的极限不存在，（除间断点外）可能是左导数不等于右导数，则曲线在该点不圆滑；也可能是振荡型（切线不唯一的点不可导），或者是无穷大（切线唯一但垂直于X轴的点也不可导）。

初等函数在其定义区间内是连续的，连续是可导的必要条件，所以可导函数必然连续；而连续函数不一定点点可导。

不连续处必定不可导；反之，不可导不能判定该点的连续性。

有一类问题是已知函数，判断其在某点的连续性，可导性。或者已知连续、可导，反过来确定函数中的未知常数。

还有一类问题是利用平面解析几何的直线方程，求已知函数的切线。或者已知可导，反过来确定切线中的待定常数。

3．熟记基本初等函数的导数（与微分）公式和四则运算法则，它们都是由导数的定义直接

或间接推导出来的，所以对可导的函数求导数，可以直接套用公式与法则，求出导函数。若求某一点的导数，应先求导函数，后代入该点坐标。对可导条件不清楚的点，比如分段函数的分段点必须用导数定义求。

4．复合函数(包括抽象函数)的导数与微分，必须对复合关系心中有数，避免出现重复求导或遗漏复合层次的错误。隐函数的求导，综合了求导公式、运算法则和复合函数的求导，所求结果可以是隐函数的形式。对数法求导，主要是解决幂指函数的求导，也能用于多因子大乘大除、大开方的函数，，可以简化步骤。

5．反函数的求导，参数式求导，高阶导数的求法，学习微积分可以有个基本的了解，比如参数方程的一阶导数，规律简单的高阶导数；学习高等数学应该准确理解，基本掌握求解的方法，比如参数方程的二阶导数，高阶导数的莱布尼兹公式。

6．掌握几个基本经济函数的导数，即边际函数。由相对变化率导出的关系叫做弹性，需求对价格的弹性，供给对价格的弹性，收益对价格的弹性。对计算出的边际函数和弹性应会作出准确的解释。

[典型例题补充] 例1．求 y?sinxx?asina 和 y?3x?x3?xx?ln3 的导数

3dydx。

注意：看清函数形式与结构，应使用哪个公式哪个法则。

x是自变量，与x无关的项的导数为零，初学者容易出错。 xx3是幂指函数，必须用对数法求导，也可第一步写为exlnx2再导。

例2．已知f(x)?(x?a)?(x)，其中?(x)在x?a的某邻域内有定义且在x?a处连续，求f?(a)。

若用公式求，f?(x)?(x?a)??(x)?(x?a)??(x)??(x)?(x?a)??(x)，结果

f?(a)??(a)。过程中出现??(x)，而条件中只有?(x)连续，没有可导，此处随意放宽条件的

做法是不对的。应该用定义来做：

f?(a)?limf(x)?f(a)x?ax?a?lim(x?a)?(x)?(a?a)?(a)x?af(lnx)?11?xx?a?lim?(x)??(a)

x?a例3．已知f(0)?1，f?(0)??1，求lim分析：原式=?limf(lnx)?f(ln1)x?1x?1

，与前面导数定义式比较，分子分母相联系的关键之

x?1处：(lnx)?(ln1)?x?1，原式为复合函数f(lnx)在x?1点对x的导数。

故原式=?[f(lnx)]?x?1??f?(lnx)(lnx)?x?1??f?(lnx)?也可以做代换u?lnx，原式=?lim=?limf(u)?f(0)u?0u?0x?1f(u)?f(0)x?1lnx?ln1x?1??lim1x|x?1?1。

f(u)?f(0)u?0 ?x?1u?0x?1x?1x?1u?0lim??f?(0)limx?1x?1??f?(0)(lnx)?x?1?1。

例4．f(x)?lnsinx，求f?(x)

如果对复合函数求导公式理解不准确，可能出现这样的表示，同时列出每一层对x的导数：

f?(x)?(lnsinx)?(sinx)?(sinx)?，这是不对的。 正确做法

f?(x)?(lnsinx)??1sinx(sinx)??11sinx2sinx(sinx)??12sinxcosx。

因为(lnsinx)?表示对x求导，每求一层，只是对这层内中间变量求导，然后才出现下一

层，直到最后一层对x求导完毕。上面的错误也说明对右肩上一撇的求导符号理解不够，只有

[f(x)]??f?(x)是等式，若x为其他的函数形式，比如 [f(?x)]?与f?(?x)，就不能是等号了，

前者表示对自变量x求导，后者表示对(?x)这个整体求导。

1x?12例5．设y?ln，求y?；解y??11x?12(x?1)??x，运算对否？

2分析：分解复合层次y?lnu,u?1v,v?w,w?x?1，y??1222dydudvdwdudvdwdx，

可见上面的运算缺少第二层的求导。如果把函数变形，y??导，得到结果为：?[课堂练习] 一、 填空题

xx?12ln(x?1)， 只有两层，容易求

，所以上面运算不对。

1．若f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,f?(0)?2，则limf(x0?3?x)?f(x0)?x22f(5x)?f(x)xx?0?（ ）。

2．若f(x)在x0点可导，则lim?x?0?（ ）。

3．若f(x)?e?2x，则f?(lnx)?（ ）。 4．已知limf(x?2?x)?f(x)?x?12。 x?2x,(x?0)，则df()?（ ）

x?x?0 5．若需求函数Q?100e?0.02p，则当价格p?50时的边际需求为（ ）， 此时需求量Q对价格p的弹性??（ ）。 二、 选择题

1．下列函数中，在点x?0处可导的是（ ）

A．f(x)?xx B．f(x)?sinx

1??xsinC．f(x)??x?0??x2?1 D．f(x)???xx?0x?0x?0x?0

2．下列函数中，在点x?0处连续，但是不可导的是（ ）

?sinx?A．f(x)??x?0?1??arctanf(x)??x?0x B．?x?x?0x?0x?0

1?2?xcosC．f(x)??x?0?x??1 D．f(x)??1?ex?0x?0?x?01x?0x?0

3．设f(x)连续,可微,且f(x)?0，f(0)?f?(0)?1，则lim[f(x)]x?( )

x?0?1A． 1 B． ?1 C． e D． e

4．设函数f(x)处处可导，且有f?(0)?1，并对任何实数 x 与 t ，恒有

f(x?t)?f(x)?f(t)?2tx，则f?(x)的表达式为（ ）

xA．2x?1 B．x?1 C．x D．e

5．设y?f(x)在x0点可导，当x由x0增至x0??x时，lim?y?dy?x?x?0?（ ）

A．0 B．1 C．f?(x)?三、解答题

?x2?1 1．设f(x)???2x?bdsinxxdxd(2dx?x D．不存在

x?1x?1sinxx2，判定f(x)在点x?1处是否可导。

sinxxdx2) 2．分析，

dx，dsinxxd()d(sinxxdx)2，， 各表示何意义。

3．设y?y(x)是由方程ex?y?cosxy?0所确定，求dy； 4．①设f(x)?ln(x?1),y?f[f(x)]，求 ②设y?f(ex)ef(x),f(x)可导，求

1dydx；

dydx，dy；

5．①设y?exxsinx，求y?；

1 ②设y?(1?x)x，求y?；

答案与提示

一、 填空题 1．8． 提示：lim ?5limf(5x)?f(x)x5xx?0?limf(0?5x)?f(0)?f(0?x)?f(0)xxx?0

f(0?5x)?f(0)x?0?limx?0f(0?x)?f(0)

22 2．6f(x0)f?(x0) 提示：分子按a?b?(a?b)(a?b)，凑出导数定义式。

或：设u?[f(x)]，由导数定义，原式=3[u(x)]?x?x

02 3．?2x2 提示：f(u)?e?2u，u?lnx；先求导后代换，或先代换后求导都可以，但是注

意，[f(lnx)]?不等于f?(lnx)。

1?2x2x2e3 4．?dx 注意：第二步x代换为

1x后，微分的最后一层是d()。

x1 5．?，1；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3srh.html