全国高中数学联赛模拟试题（三）部分答案

全国高中数学联赛模拟试题（三）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集? （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集 2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则

a＋b等于 （A）0 （B）－1 （C）1 （D）2

3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且

tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4

4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其

体积为V2．则（A）

1 2V2为 V1

（B）

2 3

12和 23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其

余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 （A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点

组的个数是 （A）36 （B）37 （C）48 （D）49

（C）常数，但不等于

二、填空题：（每小题9分，共54分）

11、若直线xcos?＋ysin?＝cos2?－sin2?（0＜?＜?）与圆x2＋y2＝有公共点，

4则?的取值范围是 ．

2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则

此圆的半径等于 ． 3、若常数a使得关于x的方程

lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0

有惟一解．则a的取值范围是 ．

x24、f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是 ．

8第 1 页 共 4 页

5、若k是一个正整数，且2k整除

212ii40062003 C04006?C40063???C40063???C40063则k的最大值为 ．

6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取

值范围是(a,b] ．则a＋b＝ ．

三、（20分）

设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥

l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．

四、（20分）

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

五、（20分）

试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．

第 2 页 共 4 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3sq2.html