江苏省苏州市2017届高三（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B= ． 2．复数z=

，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是 ．

﹣

=1的离心率为 ．

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是 人．

5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为 ． 6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间取值范围是 ．

内，则输入的实数x的

7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是 ．

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为 ． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a= ．

10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 ．

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11．已知正数x，y满足x+y=1，则12．若2tanα=3tan

，则tan（α﹣

的最小值为 ． ）= ．

13．已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三个

不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为 ．

14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则

二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．已知函数f（x）=

sin2x﹣cos2x

．

的取值范围为 ．

（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合． （2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=若sinB=2sinA，求a，b的值．

16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点． 求证：

（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD； （Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．

，f（C）=0，

17．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为

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，并且过点P（2，﹣1）

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

18．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=

（x∈[﹣2，

2]）DE均为开口向上的抛物线段，E分别为两抛物线的顶点．，曲线段AB，且A，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等． （1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中MP的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．

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（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由． 20．已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R） （1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．

（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围． （3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．

=

﹣

﹣…+（﹣1）n+1

，求数列{bn}

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2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B= {x|1＜x＜3} ． 【考点】交集及其运算．

【分析】由集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，结合集合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}， ∴A∩B={x|1＜x＜3}， 故答案为：{x|1＜x＜3} 2．复数z=

，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是 ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=

=

，

∴复数z的虚部是﹣． 故答案为：

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线【考点】双曲线的简单性质．

【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线故答案为：

4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽

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．

﹣=1的离心率为 ．

﹣=1，可知a=c=3，，则双曲线的离心率为： = ．

．

20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是 900 人．

【考点】分层抽样方法．

【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该校高二年级共有学生300人，算出全校共有的人数．

【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本， 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人， ∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15 ∵该校高二年级共有学生300人， ∴每个个体被抽到的概率是∴该校学生总数是故答案为：900．

5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为 0.4 ．

【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．

【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，

∴P（目标未受损）=0.4，∴P（目标受损）=1﹣0.4=0.6，

目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件， P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁）， 即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2， ∴P（目标受损但未完全击毁）=0.6﹣0.2=0.4． 故答案为：0.4．

6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间

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=

=900，

内，则输入的实数x的

取值范围是 [﹣2，﹣1] ．

【考点】选择结构．

【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围．

【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令

，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；

故答案为：[﹣2，﹣1]

7．已知实数x，y满足【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

，则z=2x﹣y的最大值是 5 ．

联立，解得：A（3，1），

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化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5．

故答案为：5．

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为 ﹣13 ． 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．

【分析】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组由通项公式可得．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a2=7，S7=﹣7，∴

，

解方程组可得，

∴a7=a1+6d=11﹣6×4=﹣13 故答案为：﹣13．

9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a= 【考点】圆的切线方程．

【分析】由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a=【解答】解：由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a=∴a=． 故答案为．

10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 3 ． 【考点】棱柱的结构特征．

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．

=﹣，即可得出结论．

=﹣，

【分析】设半径为r，由题意得减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，由此列出方程能求出圆孔的半径． 【解答】解：设半径为r，

∵在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，

∴减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积， ∴2πr2=2πr×3， 解得r=3．

∴圆孔的半径为3． 故答案为：3．

11．已知正数x，y满足x+y=1，则

【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】由条件可得（x+2）+（y+1）=4，则（条件．

【解答】解：正数x，y满足x+y=1， 即有（x+2）+（y+1）=4， 则= [5+≥ [5+2

= [（x+2）+（y+1）]（+

]

]=×（5+4）=，

）

= [（x+2）+（y+1）]

的最小值为 ．

），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的

当且仅当x=2y=时，取得最小值． 故答案为：．

12．若2tanα=3tan

，则tan（α﹣

）= ．

【考点】两角和与差的正切函数．

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【分析】利用特殊角的三角函数值及二倍角的正切函数公式可求tan用已知及两角差的正切函数公式化简所求，即可计算得解．

，整理可得：tan2

的值，利

【解答】解：∵tan=1=+2tan﹣1=0，解得：

tan=，或﹣1﹣，（舍去），

=（

），

∵2tanα=3tan，可得：tanα=tan

∴tan（α﹣）===．

故答案为：

．

13．已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三个

2， } ．，

不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为 {﹣e，﹣【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】作出y=|f（x）|的函数图象，根据直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点得出两函数图象的关系，从而得出a的值． 【解答】解：令f（x）=0得x=2或x=ln5，

∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

∴|f（x）|=，

作出y=|f（x）|的函数图象如图所示：

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∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2． 又椭圆C过点P（2，﹣1）， ∴4+4=4b2，得b2=2，则a2=8． ∴椭圆C的方程为

；

（2）证明：由题意，设直线PA的方程为y+1=k（x﹣2）， 联立

，得（1+4k2）x2﹣8（2k2+k）x+16k2+16k﹣4=0．

∴，即．

∵直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数， 设直线PB的方程为y=1=﹣k（x﹣2），同理求得

．

又

，∴y1﹣y2=k（x1+x2）﹣4k．

即=，．

∴直线AB的斜率为．

18．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥

第16页（共22页）

顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈[﹣2，

2]）DE均为开口向上的抛物线段，E分别为两抛物线的顶点．，曲线段AB，且A，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等． （1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中MP的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）设出方程，利用B为衔接点，即可求出曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）分类讨论，求最值，即可得出结论．

【解答】解：（1）由题意A为抛物线的顶点，设A（a，0）（a＜﹣2），则可设方程为y=λ（x﹣a）2（a≤x≤﹣2，λ＞0），y′=2λ（x﹣a）． 曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=y′=

（x∈[﹣2，2]），

，且B（﹣2，1），则曲线在B处的切线斜率为，

∴，∴a=﹣6，λ=，

∴曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y=（2）设P为曲线段AC上任意一点．

（﹣6≤x≤﹣2）；

①P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）1==

，

在[﹣6，﹣3]上为增函数，[﹣3，﹣2]上是减函数，最大为米； ②P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）2=

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=（x∈[﹣2，0]），

．

≤1（t=4取等号），此时最大为1米．

设t=x2，t∈[0，4]，（MP）2=y=t=0，y=0；0＜t≤4，y=

由上可得，最大爬坡能力为米； ∵0.8＜＜1.5＜2，

∴游客踏乘不能顺利通过该桥；蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥．

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由． 【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合．

【分析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1．即可得出． （2）

=

=

﹣

﹣…+（﹣1）n+1

，n≥2时，

=

﹣

=

﹣

﹣…+（﹣1）n+1

，求数列{bn}

﹣…+

=，解得b1=．

cn=2n+λbn，n≥3时，cn=2n+λ（3）

，相减可得：bn=（﹣1）n

．当n=1时，

cn﹣cn﹣1=2n﹣1+，

＞0，即（﹣1）n?λ＞﹣

．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣

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．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜

c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．

．当n=2时，

【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2； n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1． ∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为2．∴an=2n． （2）∵

=

=

﹣

﹣…+（﹣1）n+1

，

∴=﹣﹣…+，

∴

=（﹣1）n+1

，∴bn=（﹣1）n

．

当n=1时，

=，解得b1=．∴bn=．

（3）cn=2n+λbn， ∴n≥3时，cn=2n+λ

，cn﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ

，

cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n?λ＞﹣

．

①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅

当n=4时，λ＞﹣．

，当且仅当n=3时，λ＜

＞0，即λ＜8． ．

．

②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜当n=2时，c2﹣c1=综上可得：λ的取值范围是

第19页（共22页）

﹣

20．已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R） （1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．

（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围． （3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）由题意x＞0，

=lnx﹣k，由此根据k≤0，k

＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值． （2）问题转化为k+1＞则

对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=

，，

，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则

由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．

（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜

，即证

＜

，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．

【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）， ∴x＞0，

=lnx﹣k，

①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，

函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值； ②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，

当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，

∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞）， 在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值． （2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立， ∴f（x）﹣4lnx＜0，

即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立， 即k+1＞

对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=

，则

第20页（共22页）

，

令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则

，

∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，

∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣要使k+1＞∴k+1＞2﹣

，

对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，

，即实数k的取值范围是（1﹣

，+∞）．

证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，

在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0， 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1， 要证x1x2＜e2k，只要证x2＜

，即证

＜

，

∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（

），

又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜构造函数h（x）=f（x）﹣f（即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（

+

，

﹣k﹣1）

，

）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln

），x∈（0，ek） ）=（lnx﹣k）

，

∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek）， ∵

，故h（x）＜0，

∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（

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），∴x1x2＜e2k成立．

，

令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则

，

∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，

∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣要使k+1＞∴k+1＞2﹣

，

对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，

，即实数k的取值范围是（1﹣

，+∞）．

证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，

在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0， 不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1， 要证x1x2＜e2k，只要证x2＜

，即证

＜

，

∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（

），

又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜构造函数h（x）=f（x）﹣f（即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（

+

，

﹣k﹣1）

，

）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln

），x∈（0，ek） ）=（lnx﹣k）

，

∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek）， ∵

，故h（x）＜0，

∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（

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），∴x1x2＜e2k成立．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3sid.html