2013中考数学分类汇编：代数几何综合

2013中考全国100份试卷分类汇编

代数几何综合

1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB?4,点D?2，?在抛物线上，直线是一次函数

2??3?2?y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),

?a?b?c?0由点D(2，1.5)在抛物线上，所以?，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

4a?2b?c?1.5?又?b13?1，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以y??x2?x?. 2a22123x?x?，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 2273令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(,)，

2k22令kx-2=0，得l与x轴的交点E(,0)，

k（2）由（1）知y??根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,

272711??(3?)?(2?),解得k?, k2kk2k5131（3）由（1）知y??x2?x???(x?1)2?2,

222即：

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y??12x 2假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以

MM1PM1?,………………(1) NN1PN1?xMt?yM?,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, xNt?yN12x中，整理得x2+2kx-4=0, 2不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为

所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入y??所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，

故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.

考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.

点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。 （1）求二次函数的解析式和B的坐标； y （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不

A O C B D x l 存在，请说明理由。

b

解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - = 0 , 2ab=0 ,

点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；

②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）； （2）∠BOC=∠PDB=90o，点P在直线x=m上，

设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

OBDP1|p|m-11- m

①当△BOC∽△PDB时，= ,= ,p= 或p = ,

OCDB2m-122m-11- m

点P的坐标为（m， ）或（m， ）；

22②当△BOC∽△BDP时，

OBDB1m-1

= ，= ，p=2m-2或p=2-2m, OCDP2|p|

点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；

m-11- m

综上所述点P的坐标为（m， ）、（m， ）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；

22（3）不存在满足条件的点Q。

点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，

令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB， ∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，

m-1

① 当P的坐标为（m， ）时，

2m-1

m-x = ， m=0 m=1 2m-11

2x2-2- = m-1, x= x=1 22与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

1- m

② 当P的坐标为（m， ）时，

2

m-12

x-m= m=- m=1 291- m52x2-2- = m-1, x=- x=1 26与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，

9

m-x =2m-2 m= m=1 25

2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1 2与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ④当P的坐标为（m，2-2m）时，

5

x- m = 2m-2 m= m=1 187

2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1 6

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点Q。 3、（2013?昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系

xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标； （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标． 解答： 解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+3， 将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）+3=﹣x+3x； （2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（4，0）与C（0，3）代入得：， 22222解得：， 故直线AC解析式为y=﹣x+3， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 则点D坐标为（1，）； （3）存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则í∴直线BD的解析式为y=-ì1?b=4.解得，k=-，b=4.

2??8k+b=01x+4. 2113m+4），（m，m2-m-4） 242∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m，-如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形. ∴（-113m+4）-(m2-m-4)=4-(-4) 242化简得：m2-4m=0.解得，m1=0，（舍去）m2=4. ∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形. 此时，四边形CQBM是平行四边形. 解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴. ∴△BPM∽△BOD.∴

BPBM1BM=DM. ==.∴

BOBD2∵四边形CQMD是平行四边形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.

ì1?b1=-4解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则í.解得，k1=，b1=-4

2??8k1+b1=0∴直线BC的解析式为y=

1x-4 2又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6). ∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN. 又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4， 又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN. ∴四边形CQBM为平行四边形.

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.

7、（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，

将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值． 解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC= （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， =； ∴y=∵a==x， 2＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ， ∴x=1.5时，y最大=如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y==﹣； ， （3），如图4，∵y=﹣∴y=﹣y=﹣∵a=﹣（x﹣4x）﹣（x﹣2）+22； ， ， ＜0，开口向下， ， ∴x=2时，y最大=∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×1=π． 2 点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键． 8、（2013?新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题． 分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D； （3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴，解得2， 所以，抛物线的解析式为y=x﹣4x+3； （2）∵点A、B关于对称轴对称， ∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得， 所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， 22∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1， ∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小； （3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m， 联立，2 消掉y得，x﹣5x+3﹣m=0， 2△=（﹣5）﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣此时x=时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大， 53，y=﹣， 2453∴点E的坐标为（，﹣）， 24设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=﹣1=，0）， 9， 4∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°，

∴点F到AC的距离为又∵AC=9×4=3×=， =， ∴△ACE的最大面积=×3，此时E点坐标为（53，﹣）． 24 点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题． 9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

2

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

2

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长； （3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

2

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），

2

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x+x+4上，

2

∴点P的坐标为（m，﹣ m+m+4），

22

∴PM=PE﹣ME=（﹣m+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m+4m，

2

即PM=﹣m+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m+m+4﹣4=﹣m+m． 若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

2

即（﹣m+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=

．

2

2

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

2

即m：（3﹣m）=（﹣m+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为角形或等腰三角形．

或1，△PCM为直角三

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 10、（2013?曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积． （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算； （3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数． 解答： 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）． 2∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x+bx+c上， ∴， 解得：b=﹣3，c=4， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣3x+4． （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m． ∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m， ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m， ∴点E坐标为（m，8+m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴8+m=﹣m﹣3m+4，解得m=﹣2． ∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6， S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12． （3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）． ∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似 ∴△DBE必为等腰直角三角形． i）若∠BED=90°，则BE=DE， ∵BE=OC=﹣m， ∴DE=BE=﹣m， ∴CE=4+m﹣m=4， ∴E（m，4）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3， ∴D（﹣3，1）； ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m， 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m， ∴CE=4+m﹣2m=4﹣m， ∴E（m，4﹣m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4﹣m=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2， ∴D（﹣2，2）． 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）． 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数2法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点． 11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过A(?1,0),B(5,0),C(0,?)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由. y 52

O A B C x （第26题图）

解析：解：（1）设抛物线的解析式为 y?ax2?bx?c，

??a?b?c?0,? 根据题意，得?25a?5b?c?0,，

?5?c??.?2y N' A C M O P N B H x 1?a?,?2?解得?b??2,

?5?c??.2?∴抛物线的解析式为：y?M'

（第26题图）

125x?2x?. ………(3分) 22（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点

P，则P点 即为所求.

设直线BC的解析式为y?kx?b，

1?k?,?5k?b?0,???2由题意，得?解得 ? 5b??.?b??5.??2??2∴直线BC的解析式为y?∵抛物线y?15x?. …………(6分) 22125x?2x?的对称轴是x?2， 22153∴当x?2时，y?x???.

2223∴点P的坐标是(2,?). …………(7分)

2（3）存在 ??????????(8分)

(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为(0,?)，∴点N的坐标为

525(4,?). ?????????(11分)

2（II）当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作NH?x轴于点H，∵四边形ACMN是平行四边形，∴AC?M'N',?N'M'H??CAO, ∴Rt△CAO ≌Rt△NMH,∴NH?OC. ∵点C的坐标为(0,?),?NH?∴

'''''''52'55,即N点的纵坐标为， 221255x?2x??,即x2?4x?10?0 222解得x1?2?14,x2?2?14.

'∴点N的坐标为(2?14,)和(2?14,).

5252综上所述，满足题目条件的点N共有三个，

分别为(4,?).，(2?14,)，(2?14,) ?????????(13分)

525252

12、（2013?宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 考点： 一次函数综合题． 分析： （1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可； （2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP， ②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x； （3）当===2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，=2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可； 当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩理可得△BOD∽△FGB，形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据的坐标． 解答： 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： 即可求出点POB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD， ∴∠BOD=∠CDO， ∵∠CDO=∠ADP， ∴∠BDE=∠ADP， ②连结PE， ∵∠ADP是△DPE的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE， ∵∠BDE是△ABD的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB， ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB， ∵OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°， ∵DF是⊙Q的直径， ∴∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=DE，即y=x； （3）当BD：BF=2：1时， 过点F作FH⊥OB于点H， ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH， 又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD∽△FHB， ∴===2， ∴FH=2，OD=2BH， ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4﹣OD， ∵DE=EF， ∴2+OD=4﹣OD， 解得：OD=， ∴点D的坐标为（0，）， ∴直线CD的解析式为y=x+， 由得：， 则点P的坐标为（2，2）； 当=时， 连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP， 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA， ∵∠DEP=∠DPA， ∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 过点F作FG⊥OB于点G， 同理可得：△BOD∽△FGB， ∴===， ∴FG=8，OD=BG， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD， ∵DE=EF， ∴8﹣OD=4+2OD， OD=43， ∴点D的坐标为（0，﹣43）， 直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43， 由得：， ∴点P的坐标为（8，﹣4）， 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣ 4）． 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．

13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得

2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3， ?????1′ 解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ?????2′ （2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ?????3′

∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2. ?????4′ ∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，

即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1） ?????5′ （3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH. ∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2. 由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ?????6′ 设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况： ①AE=AM=5，则x=5－3，∴E（5－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0） ?????7′ ③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x=?（?7，0）. 47，0） ?????8′ 47，∴E4∴所求点E的坐标为（5－3，0），（1，0），（?

14、（2013四川宜宾压轴题）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标； （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题． 专题：代数几何综合题．

分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解； （3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．

解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1）， 所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1； （2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，点A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45°， 联立

，

解得，

∴点C的坐标为（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点A的右边时，坐标为（5，0）， 所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在． ∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y=x， 设与OC平行的直线y=x+b，

联立，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时x1=x2=×（﹣此时y=（

）=

， ， ，﹣

），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

﹣4）2﹣1=﹣

∴存在第四象限的点Q（

此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0， 解得b=﹣

，

，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣

=0，解得x=

， ，0），

设直线与x轴的交点为E，则E（

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大=

=×

， =

．

=，

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点．

15、(2013浙江丽水压轴题)如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），

M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t （1）当t?2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上？

②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿x轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，

C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。

16、（2013?自贡压轴题）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标． 解答： 解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2． ∵tan∠DBA==， ∴BE=6， ∴OB=BE﹣OE=4， ∴B（﹣4，0）． ∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）上， ∴， 2解得， ∴抛物线的解析式为：y=x+x﹣2． （2）抛物线的解析式为：y=x+x﹣2， 令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）， 令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）． 设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）， 如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m． S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC =BF?MF+（MF+OC）?OF+OA?OC =（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2 =﹣2n﹣m+1 ∵点M（m，n）在抛物线y=x+x﹣2上， ∴n=m+m﹣2，代入上式得： S四边形BMCA=﹣m﹣4m+5=﹣（m+2）+9， ∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9． （3）假设存在这样的⊙Q． 如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F． 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得： ， 解得：k=2，b=﹣2， ∴直线AC解析式为：y=2x﹣2， 令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6． 在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3． =． 222222设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ=设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=在Rt△AGF与Rt△QEF中， ∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE， ∴Rt△AGF∽Rt△QEF， ∴，即2． ， 化简得：n﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1． ∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）． 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 17、（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？ （3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形． 分析： （1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论． （2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度． （3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可． 解答： （1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°， ∵在△B1CQ和△BCP1中， ， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）， ∴CQ=CP1； （2）作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°， ∴P1D=AP1=1， ∵∠P1CD=45°， ∴=sin45°=， ， ∴CP1=P1D=又∵CP1=CQ， ∴CQ=； （3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=∠CBE=30°， ∴AC=BC， 由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC， ∴AP1：BE=AC：BC=：1， 设AP1=x，则BE=x， 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴AB=2BC=2， ∴S△P1BE=×=﹣x（2﹣x）=﹣2x+2x （x﹣1）+， ． 故当x=1时，S△P1BE（max）=点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度． 18、（2013?广安压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题． 分析： （1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线

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