选考3：《不等式选讲》专题研究

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不等式选讲专题

一、2011-2015全国课标卷《不等式选讲》试题

1、（2011全国新课标卷文（理）24）设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0. （Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为xx??1，求a的值.

【考点】本题涉及到的考点：①考查绝对值的几何意义；②含绝对值不等式的解法及分段思想.

【解析】（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2．由此可得 x?3或x??1．

故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}． (Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0此不等式化为不等式组

??

?x?a?x?a 或 ??x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a????aa即 x? 或a?? ???4?2

因为a?0，所以不等式组的解集为

由题设可得?

a= ?1，故a?2 2【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数等，考察学生分析问题、解决问题的能力.

2、（2012全国新课标卷文（理）24）已知函数f(x)?x?a?x?2

（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

【考点】本题涉及到的考点：①考查绝对值的几何意义；②含绝对值不等式的解法及分段思想.

【解析】（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3

??x?2x?3??2?x?3?或??或??

?3?x?2?x?3?3?x?x?2?3?x?3?x?2?3文（理）科数学试题 第 1 页（共 6 页）

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?x?1或x?4

（2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立

?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立 ??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立

??3?a?0

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数等，考察学生分析问题、解决问题的能力.

3、（2013全国课标卷Ⅰ文（理）24）已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3. （Ⅰ）当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.

【考点】本题涉及到的考点：①考查绝对值的几何意义；②含绝对值不等式的解法及分段思想；③分段函数的图像与不等式解的关系．

【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为： |2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

1??5x,x?,?2?1?则y＝??x?2,?x?1,

2??3x?6,x?1.??其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)当x∈???a1?,?时，f(x)＝1＋a. ?22?不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.

?a1?,?都成立． ?22?a4故?≥a－2，即a≤.

234??从而a的取值范围是??1,?.

3??所以x≥a－2对x∈??【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数等，考察学生分析问题、解决问题的

能力.

4、（2013全国课标卷Ⅱ文（理）24）设a,b,c均为正数，且a?b?c?1，证明：

a2b2c21???1． （Ⅰ）ab?bc?ca?； （Ⅱ）bca3文（理）科数学试题 第 2 页（共 6 页）

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【考点】本题涉及到的考点：考查基本不等式的应用.

【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

1

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

3a2b2c2

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

bcaa2b2c2

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2

即＋＋≥a＋b＋c. bcaabc

所以＋＋≥1.

bca

【点评】本题主要考察不等式的证明与均值不等的应用，意在考察学生的运算求解能力与推理论证能力.

5、（2014全国课标卷Ⅰ文（理）24）若a?0,b?0,且（I）求a?b的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由. 【考点】本题涉及到的考点：考查基本不等式的应用. 【解析】(Ⅰ) 由ab?332

2

2

11??ab ab112??，得ab?2，且当a?b?2时等号成立， abab2时等号成立，

故a3?b3?3a3b3?42，且当a?b?33∴a?b的最小值为42. （Ⅱ）由6?2a?3b?26ab，得ab?3，又由(Ⅰ)知ab?2，二者矛盾， 2所以不存在a,b，使得2a?3b?6成立.

【点评】本题主要考察基本不等式的应用，意在考察学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力以及转化与化归的能力

6、（2014全国课标卷Ⅱ文（理）24）设函数f?x?=x?1?x?a(a?0)

a（Ⅰ）证明：f?x?≥2；

（Ⅱ）若f?3??5，求a的取值范围.

【考点】本题涉及到的考点：①考查绝对值三角不等式的应用；②基本不等式的应用；③分段讨论的思想

【解析】（I）由a?0，有f(x)?|x?所以f(x)?2

文（理）科数学试题 第 3 页（共 6 页）

111|?|x?a|?|x??(x?a)|?a??2 aaa武汉市第三十九中学 魏莉

1|?|3?a| a5?211当a?3时，f(3)?a?，由f(3)?5得3?a?

2a1?51当0?a?3时，f(3)?6?a?，由f(3)?5得?a?3

2a1?55?21综上，a的取值范围是(,)。

22（II）f(3)?|3?【点评】本题主要考察基本不等式的应用、绝对值不等式的性质及其解法，意在考察学生的

转化与化归思想、分类讨论思想及运算求解能力. 7、（2015全国课标卷Ⅰ文（理）24）已知函数f(x)?|x?1|?2|x?a|错误！未找到引用源。，a>0.

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

【考点】本题涉及到的考点①含绝对值不等式的解法；②分段函数；③一元二次不等式解法. 【解析】（Ⅰ）当a?1时，f(x)?1化为|x?1|?2|x?1|?1?0. 当x??1时，不等式化为x?4?0，无解； 当?1?x?1时，不等式化为3x?2?0，解得

2?x?1； 3当x?1时，不等式化为?x?2?0，解得1?x?2. 所以f(x)?1的解集为{x|2?x?2}. 3?x?1?2a,x??1,（Ⅱ）由题设可得，f?x????3x?1?2a,?1?x?a,

??x?1?2a,x?a,?所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2C(a,a?1)，?ABC的面积为(a?1)2.

32由题设得(a?1)2?6，故a?2.

3所以a的取值范围为(2,??).

2a?1,0)，B(2a?1,0)，3【点评】本题主要是考察绝对值不等式的解法，关键是要求学生解题时能依据绝对值的定义去绝对值，将绝对值零点分段讨论或转化为分段函数求解，从而也考察学生解一元一次（二次）不等式等基础知识，学生运算求解、化归转化和数形结合的能力.

8、（2015全国课标卷Ⅱ文（理）24）设a,b,c,d均为正数，且a?b?c?d，证明： （Ⅰ）若ab?cd，则a?b?（Ⅱ）a?b?c?d；

c?d是a?b?c?d的充要条件．

【考点】本题涉及到的考点：①综合法和分析法证明；②充要条件的证明

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22【解析】（Ⅰ）因为(a?b)?a?b?2ab，(c?d)?c?d?2cd，有题设

a?b?c?d，ab?cd，得(a?b)2?(c?d)2，所以a?b?c?d. 22（Ⅱ）若a?b?c?d，则(a?b)?(c?d)，即(a?b)?4ab?(c?d)?4cd，因为

22a?b?c?d，所以ab?cd，由（Ⅰ）得a?b?c?d. 若a?b?c?d，则(a?b)2?(c?d)2，即ab?cd，于是

(a?b)2?4ab?(c?d)2?4cd，即(a?b)2?(c?d)2，因此a?b?c?d，

综上，a?b?c?d是a?b?c?d的充要条件．

【点评】考查不等式的相关知识,具体涉及不等式的证明,意在考察学生的推理论证能力. 二、2011-2015全国新课标《不等式选讲》考题统计表

2015 2014 2013 2012 2011 试卷类别 备注 文科I卷 理科I卷 文科II卷 理科II卷 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 文科与理科I卷同题 文科与理科II卷同题 三、不等式选讲专题特点分析

2011—2015年这五年来新课标全国卷不等式选讲内容的考查分为两个阶段：

第一阶段（2011年，2012年），这两年的考查方式灵活，紧扣不等式的基本形式，与函数结合，考查不等式的求解方法，对去绝对值的方法、数形结合思想的应用要求较高； 第二阶段（2013年，2014年，2015年），这三年新课标全国卷分Ⅰ、Ⅱ卷，在第一阶段的基础上增加了不等式的证明，考查了绝对值三角不等式及不等式的证明方法.具体分析如下:

2011—2015年新课标全国卷不等式选讲考察目标统计表（文理科） 年份 2011 2012 2013 I 不等式选讲 本题考查绝对值的意义和含绝对值不等式的求解，考查分类讨论的数学思想 本题考查绝对值的意义、含绝对值不等式的求解方法以及集合的包含关系，考查分类讨论的数学思想、函数思想与数形结合思想，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 本题考查绝对值的意义和含绝对值不等式的求解，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑思维能力 2013 II 本题考查不等式的基本性质和重要不等式的应用，考察证明不等式的方法，考察学生的逻辑思维能力 2014 I 本题考查学生对二元均值不等式的理解与应用以及学生的运算求解能力，考查函数与方程思想和数形结合思想 2014 II 本题考查不等式的基本性质和重要不等式的应用，考察学生处理含绝对值不等式的能力和逻辑思维能力 2015 I 本题考查绝对值的意义和含绝对值不等式的求解，考查分类讨论的数学思想 2015 II 本题考查绝对值不等式的性质，分析法、综合法的应用，考查学生的逻辑思维能力 文（理）科数学试题 第 5 页（共 6 页）

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通过以上分析，近五年新课标全国卷不等式选讲试题有以下命题特点： 1、以考查绝对值不等式的解法为主，近三年开始考查不等式证明的方法； 2、与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是主要特点； 3、考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律； 4、基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据； 5、在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力 四、4－5：不等式选讲专题备考建议

1、在教学过程中不断整理全国卷这部分内容的分析整理，加强数学知识整合呼应，提高专题教学价值，思考这部分考题可能的走向，同时通过本专题的学习可以部分改善当前学生演绎推理能力薄弱局面，对学生在演绎证明方面进行一些补偿，可以侧重数学证明的观察发现、归纳类比、合情猜想、符号表示、规范表述等方面． 2、不等式选讲专题的解题教学

⑴ 掌握去绝对值的方法，并灵活应用是根本

解决含绝对值问题的基本思想就是利用绝对值的几何意义去绝对值，将之转化为不含绝对值的问题.根据上述对命题特点的分析，可以看出解决含绝对值不等式的问题，不论具体求解过程怎样变换，一个不变的规律就是依据绝对值的几何意义进行化简.不等式中含有的绝对值至多有 3 个，但是通过化简都能转化为一般不等式（组）.

在教学过程中不能只停留在就题论题的水平，不仅要知道答案是什么，而且要学会分析为什么这么做，怎样想到的，以逐步培养学生的分析能力，提高其概括能力.

⑵ 用函数的观点认识不等式问题，数形结合求解是突破口

求函数在某一范围内取值时，就转化为不等式，因此在函数的观点下认识不等式，借助函数图像，数形结合地求解不等式问题是解决这类问题的突破口.

⑶ 分析问题的方法是不等式证明的关键

关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.如2013年新课标全国卷Ⅱ、2014年新课标全国卷Ⅱ和 2015年新课标全国卷Ⅱ，虽然都是依托基本不等式或绝对值三角不等式进行考查的，但是拓展考查的范围是符合考纲要求的. 因此，在这一部分，关键是要掌握分析问题的方法. 通过分析思路，再用综合法书写过程.在证明问题的过程中，教师要注重对学生的这种分析能力的培养.

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通过以上分析，近五年新课标全国卷不等式选讲试题有以下命题特点： 1、以考查绝对值不等式的解法为主，近三年开始考查不等式证明的方法； 2、与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是主要特点； 3、考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律； 4、基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据； 5、在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力 四、4－5：不等式选讲专题备考建议

1、在教学过程中不断整理全国卷这部分内容的分析整理，加强数学知识整合呼应，提高专题教学价值，思考这部分考题可能的走向，同时通过本专题的学习可以部分改善当前学生演绎推理能力薄弱局面，对学生在演绎证明方面进行一些补偿，可以侧重数学证明的观察发现、归纳类比、合情猜想、符号表示、规范表述等方面． 2、不等式选讲专题的解题教学

⑴ 掌握去绝对值的方法，并灵活应用是根本

解决含绝对值问题的基本思想就是利用绝对值的几何意义去绝对值，将之转化为不含绝对值的问题.根据上述对命题特点的分析，可以看出解决含绝对值不等式的问题，不论具体求解过程怎样变换，一个不变的规律就是依据绝对值的几何意义进行化简.不等式中含有的绝对值至多有 3 个，但是通过化简都能转化为一般不等式（组）.

在教学过程中不能只停留在就题论题的水平，不仅要知道答案是什么，而且要学会分析为什么这么做，怎样想到的，以逐步培养学生的分析能力，提高其概括能力.

⑵ 用函数的观点认识不等式问题，数形结合求解是突破口

求函数在某一范围内取值时，就转化为不等式，因此在函数的观点下认识不等式，借助函数图像，数形结合地求解不等式问题是解决这类问题的突破口.

⑶ 分析问题的方法是不等式证明的关键

关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.如2013年新课标全国卷Ⅱ、2014年新课标全国卷Ⅱ和 2015年新课标全国卷Ⅱ，虽然都是依托基本不等式或绝对值三角不等式进行考查的，但是拓展考查的范围是符合考纲要求的. 因此，在这一部分，关键是要掌握分析问题的方法. 通过分析思路，再用综合法书写过程.在证明问题的过程中，教师要注重对学生的这种分析能力的培养.

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