习题解答1

第三章 流体的运动

习题解答

1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？

答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。

答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：

S0v0= S1v1+S2v2 +……+Snvn，则

12?dv2S2v2422d2v2502?1.4v1?????0.72 m/s

12n1d12n1S119?162n1?d14

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。

解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，p1=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：

S1v14.0?10?4?5.0v2???2.5( m/s） ?4S28.0?10(b) 根据伯努利方程知：

33

?水=1.0×10 kg/m

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，h2=0，22p2?112?v12??gh1?p1??v2??gh22211??1.0?103?52?1.0?103?10?10?1.5?105??1.0?103?2.5222?2.6?105(Pa)6．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？ 解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，p1=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2

12?dvS1v1411d12v1(2d2)2v2???2??1.00?4.00(m/s) 212S2d2d2?d24112?p2 (b) 根据伯努利方程知（水平管）：?v12?p1??v22211112p2??v12?p1??v2??103?1.002?1.96?105??103?4.002?1.885?1052222(Pa)

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？

解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，p1=p0，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2 22 由于S1<< S2，则v2=0，因此

11p2?p0??v12??gh1??103?1.22?103?9.8?0.6?6.6?103 (Pa)

22

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？

解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，p1=5.5×104Pa，p2=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1?p2)1222(p1?p2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?(5.5?4.1)?104 22??3.14?0.25?0.1?4103?(0.254?0.14)?4.2?10?2(m3/s)

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。

解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，?=0.645kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1-p2)1222?'g(h1?h2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?1.0?103?9.8?(0.040?0.098) 22??3.14?0.2?0.1?40.645?(0.24?0.14)?0.525(m3?s )

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。

解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：

v?2g(h1?h2)?2?9.8?(0.054?0.005)?0.98(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。

解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，?=2kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：

v?2?'gh??2?1.0?103?9.8?0.02?14(m/s)

2所以5min采集的CO2为：

V?Svt?10?10?4?14?5?60?4.2(m3)?4.2?103 (L)

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h1=0.30m，p1?p2?p0，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，由于S1>> S2，则v1=0，因此 22v2?2gh1?2?9.8?0.3?2.42 (m/s)

(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？

解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：?p?f4.9??4.08?104(pa)，根据水平管的伯努利方程知： ?4S11.2?10112?v12?p1??v2?p2 22 由于p1?p0??p，p2?p0，S1>> S2，则v1≈0，因此

v2?2?p1?p2)??2?p2?4.08?104??9 (m/s) 3?1?10根据连续性方程知：S1v1=S2v2

S2v20.25?10?6?9v1???0.0188(m/s) ?4S11.2?10t?l0.04??2.13(s) v10.0188

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最

高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，

pA?pD?p0=1.013×105 Pa，应用伯努利方程，则有：

1122?vA??ghA??vD??ghD 22vD?2g(hA?hD)?2ghAD?2?9.8?0.6?3.43 (m/s)

B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得： ?ghB?pB??ghD?pD

pB?pD??g(hD?hB)?1.013?105?103?9.8?(?0.60?1.20)?0.84?105(pa) (b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。 解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：

v2?2gh和Q2?S22gh

2Q2(1.50?10?4)2h?2??0.45(m) ?52S2?2g(5.0?10)?2?10

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？

解：已知截面积SC?S1SD，由连续性方程得vC?DvD?2vD，考虑到A2SC槽中的液面流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

vD?2gh

对C、D两点列伯努利方程：

pC?1122?vC?pD??vD 22因为，pD?p0(大气压），所以，pC?p0?3?gh，即C处的压强小于p0，又因为F槽液面的压强也为p0，故E管中液柱上升的高度H应满足：

pC??gH?p0

解得 H?3h

17．使体积为25cm3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时，克服摩擦力做功是多少？

解：已知V=25 cm3=2.5×10－5m3，p1=1.3×105Pa，p2=1.1×105Pa，由实际流体运动规律知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2?1.3?105?1.1?105?2.0?104(Pa)（水平均匀管）

W?w?V?2.0?104?2.5?10?5?0.50(J)

18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？ 答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。

19．20℃的水，在半径为1.0cm的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s。求由于粘性使得管长为2.0m的两个端面间的压强差是多少？

解：已知R=1.0 cm，vmax=10cm/s=0.10m/s，L=2.0m，t=20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：?水?1.005?10?3 Pa?s，由泊肃叶定律的推导知：

v?p1?p22(R?r2) 4?L当r=0，vmax(p1?p2)R2??0.10m/s

4?L4?Lv4?1.005?10?3?2?0.10p1?p2???8.04(Pa)

R2(1.0?10?2)2

20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm。求液体在管路中流动的速度。 已知：h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm 求：v=?

解：由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2??g(h2?h1)??g?h(J/m3)

容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：

1?gh?p0??v2?p0?4w

2得： v?2g(h?4?h)?2?9.8?(0.23?4?0.05)?0.77(m/s)

21．直径为0.01mm的水滴，在速度为2 cm/s的上升气流中，能否向地面落下？设空气的η=1.8×10－5Pa?s。

解：已知d=0.01mm=10－5m，v=2 cm/s=0.02 m/s，η=1.8×10－5Pa?s，水滴受力分析：重力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：

f阻?6??rv?6???????????0.5?10?5?0.02?1.08??10?11(N)

131?d????')g???(10?5)3?103?10?0.17??10?11 (N)

mg?f浮?

22．水从一截面为5cm2的水平管A，流入两根并联的水平支管B和C，它们的截面积分别为4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速为100cm/s，在管C中的流速为50 cm/s。问：(a)水在管B中的流速是多大？(b)B、C两管中的压强差是多少？(c)哪根管中的压强最大？

解：(a)已知SA=5cm2，SB=4cm2，SC=3cm2，vA=100cm/s=1.00m/s，vC=50cm/s=0.50m/s，根据连续性方程知：SAvA= SBvB+SCvC

vB?SAvA?SCvC5?1?3?0.5??0.875(m/s)

SB4(b) 根据伯努利方程知：

1122??ghA?pA??vB??ghB?pB A、B两处： ?vA221122?vA??ghA?pA??vC??ghC?pC 221122?vB)??103?(0.52?0.8752)??258(Pa) 因此，pB?pC??(vC22A、C两处：

(c)由以上两个方程可知：vA?vB?vC则：pA?pB?pC，即C管压强最大。

23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h1H1=h2H2。

证明：根据小孔流速规律v?2gh知：v1?2gh1和v2?2gh2 再根据平抛运动规律知：

x=vt和H?联立以上关系式得：

4hH?x2

12gt 2由于 x1=x2 所以 h1H1=h2H2 证毕。

24．在一个顶部开启高度为0.1m的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间？(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间？并把此结果与(a)的结果进行比较。

解：(a)已知h1=0.1m，S2= S1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：v2?2gh，该处厚度为dh 的一薄层从小孔流出时间为：

dt?整个水箱的水流尽所需时间为

S1dhS1dh ?S2v2S22ght1??h10S1dhS22gh??0.10400dh2?9.8?h?4002?9.8?2h0.10?57(s)

(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m，则小孔速度始终不变为v2?2gh1 则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：

t2?比较(a)、(b)知：t1?2t2

S1h1?S2v2400?0.12?9.8?0.1?28.5(s)

第四章 振动和波

习题解答

1．一振动的质点沿x轴作简谐振动，其振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，经平衡位置处向x轴正方向运动，求运动方程。如该质点在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求运动方程。

解：已知A?5.0?10?2m,??2.0Hz,t=0时v>0。

通解方程式为x?5.0?10?2cos(2??2?t??0)?5.0?10?2cos(4?t??0) 由t=0时x=0 有cos?0?0,速度表达式为v??0???2

dx??4??5.0?10?2sin(4?t??0) dt根据已给条件t=0时v>0 有

sin?0?0，考虑?0???2,?0???2。

∴运动方程为x?5.0?10?2cos(4?t?

?2)m

2．质量为5.0×10kg的振子作简谐振动，其运动方程为

2x?6.0?10?2cos5t(?π)

3式中，x中的单位是m，t的单位是s。试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t=0时的位移、速度、加速度和所受的力；(c)t=0时的动能和势能。

?52?2??,T??解：(a)根据已给条件??5rad??5,??，2?2??5-3

A?6.0?10?2m。

(b) 将条件t=0带入方程

2?x?Acos()??6.0?10?2?0.5??3?10?2m/s

3dx2?2?v???A?sin(?t?)??6.0?10?2?5?sin??0.26m/s

dt33dv2?2?a???A?2cos(?t?)??6.0?10?2?5?5?cos??0.75m/s

dt331 (c) 动能Ep?mv2?0.169?10?5J

211 势能Ek?kx2??2mx2?5.625?10?4J

22

0.9g/cm3）？

解：一个小油滴表面能为Ei?S??4?r2?N

分裂过程中质量不变，一个大油滴可以分裂成的小油滴个数

MN??Mi1?10?3?2.7?1011 4900??r33所需能量为E?Ei?N?4?(1.0?6)2?18?10?3?2.7?1011?6.1?10?2J。 由于一个大油滴的表面能远小于分裂后的表面能，忽略大油滴的表面能，故破碎一个大油滴所需能量为6.1?10?2J。

15．在水中浸入同样粗细的玻璃毛细管，一个是直的，另一个是顶端弯曲的。水在直管中上升的高度比弯管的最高点还要高，那么弯管中是否会有水不断流出？为什么？ 答：水与玻璃浸润产生弯曲液面，此弯曲液面产生的附加压强使毛细管中液面上升。当水上升到毛细管管口时，弯曲液面的曲率发生改变，附加压强变小，所以水不会继续上升或向管口处继续流动。

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