长沙市长郡中学数学轴对称解答题(篇)(Word版 含解析)

长沙市长郡中学数学轴对称解答题（篇）（Word版含解析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在ABC

△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC

=，延长BE交AC于点F，求证：AF EF

=．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和

△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG

=，连接BG．

∵AD是BC边上的中线，

∴DC DB

=．

在ADC和GDB

△中，

AD DG

ADC GDB

DC DB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

（对顶角相等），

∴ADC≌GDB

△（SAS）．

∴CAD G

∠=∠，BG AC

=．

又BE AC

=，

∴BE BG

=．

∴BED G

∠=∠．

∵BED AEF

∠=∠

∴AEF CAD

∠=∠，即AEF FAE

∠=∠

∴AF EF

=．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

2．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC

?中，AB AC

=，点D在AC边上，且AD BD BC

==，求A

∠

的大小；

（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是ABC

?的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC

?中，27

B

∠=，AD和DE是ABC

?的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD BD

=，DE CE

=，请求出C

∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、

E 、C 在同一直线上，易得2种三角形

ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2

x 可得°180-22

x x = ∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：

（3）如图所示：

①当AD=AE 时，

∵2x+x=27°+27°，

∴x=18°；

②当AD=DE 时，

∵27°+27°+2x+x=180°，

∴x=42°；

综上所述，∠C 为18°或42°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

3．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=?，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD

上一点，连接CE，CED ABD

∠=∠，过点A作AG CE

⊥，垂足为G，交ED于点F．

(1)求证：2

FAD ABD

∠=∠；

(2)如图2，若AC CE

=，点D为AC的中点，求证：AB AC

=；

(3)在(2)的条件下，如图3，若3

EF=，求线段DF的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形的性质可得90

ADB ABD

∠=?-∠，90

EFG CED

∠=?-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；

（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF

∠=∠，进而可得AF AD

=，BFA CDE

∠=∠，然后即可根据AAS证明ABF

?≌CED

?，可得AB CE

=，进一步即可证得结论；

（3）连接AE，过点A作AH AE

⊥交BD延长线于点H，连接CH，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45

AED

∠=?，进而可得

AE AH

=，然后即可根据SAS证明△ABE≌△ACH，进一步即可推出90

CHD

∠=?，过点A作AK ED

⊥于K，易证△AKD≌△CHD，可得DK DH

=，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF=2EF，问题即得解决．

【详解】

（1）证明：如图1，90

BAC

∠=

?，90

ADB ABD

∴∠=?-∠，

AG CE

⊥，90

FGE

∴∠=?，90

EFG AFD CED

∴∠=∠=?-∠，

180

FAD AFD ADF CED ABD

∴∠=?-∠-∠=∠+∠，

CED ABD

∠=∠，2

FAD ABD

∴∠=∠；

（2）证明：如图2，90

AFD CED

∠=?-∠，90

ADB ABD

∠=?-∠，

CED ABD

∠=∠，

AFD ADF

∴∠=∠，AF AD

∴=，BFA CDE

∠=∠，

∵点D 为AC的中点，∴AD=CD，AF CD

∴=，

ABF

∴?≌CED

?（AAS），AB CE

∴=，

CE AC

=，AB AC

∴=；

（3）解：连接AE，过点A作AH AE

⊥交BD延长线于点H，连接CH，如图4．90

BAC

∠=?，BAE CAH

∴∠=∠，

设ABD CEDα

∠=∠=，则2,902

FAD ACG

αα

∠=∠=?-，

CA CE

=，45

AEC EACα

∴∠=∠=?+，

45

AED

∴∠=?，45

AHE

∴∠=?，AE AH

∴=，

AB AC

=，∴△ABE≌△ACH（SAS），

135

AEB AHC

∴∠=∠=?，90

CHD

∴∠=?，

过点A作AK ED

⊥于K，90

AKD CHD

∴∠=∠=?

，

AD CD

=，ADK CDH

∠=∠，

∴△AKD≌△CHD（AAS），DK DH

∴=，

∵,,

AK DF AF AD AE AH

⊥==，

,

FK DK EK HK

∴==，

3

DH EF

∴==，6

DF

∴=．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．

4．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且

AD=AE，连接DE．

⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；

⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；

⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设

∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．

【详解】

解： (1)∵∠B=∠C=35°，

∴∠BAC=110°，

∵∠BAD=80°,

∴∠DAE=30°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；

(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，

∴∠E=75°?18°=57°，

∴∠ADE=∠AED=57°，

∴∠ADC=39°,

∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，

∴∠BAD=36°.

（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β

①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α

∴

y x

y x

α

αβ

=+

?

?

=-+

?

①

②

-②得，2α﹣β=0，

∴2α=β；

②如图2，当点D在线段BC上时，∠AD C=y°+α

∴

+

y x

y x

α

αβ

=+

?

?

=+

?

①

②

-①得，α=β﹣α，

∴2α=β；

③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α

∴

180

180

y x

y x

αβ

α

-++=

?

?

++=

?

①

②

-①得，2α﹣β=0，

∴2α=β．

综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

5．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点

E、F．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；

（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，

求ABF

ACF

S

S的值．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；

②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；

【详解】

中，

（1）①证明：如图1

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，

∴∠1＝∠2

中，

②证明：如图2

∴BF＝2DF，

∵BF＝2AF，

∴BF＝AD，

∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，

∴△BFC≌△ADB，

∴∠BFC＝∠ADB＝90°，

∴BF⊥CF

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，

∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，

∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，

∴∠1+∠4＝∠2+∠4

∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，

∴△ABK≌CAF，

∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，

∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，

∴AF＝FK＝BK，

∴S△ABK＝S△AFK，

∴ABF

AFC

S

2

S

?

?

=．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

6．如图，在等边ABC

?中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE CD

=，BD 交CE于点P．

（1）如图1，求证120

BPC?

∠=；

（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．

①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是；

②若点A，P，M三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，

若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解

【解析】

【分析】

（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；

②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP （SAS ），可得CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ，最后再根据SAS 证明△ADP ≌△NCP ，即可证得结论．

【详解】

（1）证明：因为△ABC 为等边三角形，所以60A ACB ∠=∠=?

∵AC BC A ACB AE CD =??∠=∠??=?

，∴()AEC CDB SAS ≌ ，∴AEC CDB ∠=∠， 在四边形AEPD 中，∵360AEC EPD PDA A ∠+∠+∠+∠=?，

∴18060360AEC EPD CDB ∠+∠+?-∠+?=?，

∴120EPD ∠=?，∴120BPC ∠=?；

（2）①如图2，∵△ABC 是等边三角形，点M 是边BC 的中点，

∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AM ⊥BC ，∠CAP ＝

12

∠BAC ＝30°，∴PB ＝PC ， ∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°，

∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ，

∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ；

故答案为：2AP PM =；

②AP＝2PM成立，理由如下：

延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，∴△PCD是等边三角形，

∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，

∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，

∴∠BCP＝∠ACD，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，

∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，

延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，

∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，

∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，

∴∠NCP＝60°＝∠ADP，

在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

CM；

∴AP＝PN＝2

本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

7．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；

（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．

【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；

【详解】

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵BD＝BC＝AD，

∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，

设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝

180?-x

2

，

可得2x＝

180?-x

2

，

解得：x＝36°，

则∠A＝36°；

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图

1；

由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，

①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；

②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）如图4所示：

①当AD＝AE时，

∵2x+x＝30°+30°，

∴x＝20°；

②当AD＝DE时，

∵30°+30°+2x+x＝180°，

∴x＝40°；

综上所述，∠C为20°或40°的角．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）求∠CAM的度数；

（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；

（3）当动D在直线

．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有

∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论．

【详解】

（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°．

∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 12

=

∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =??∠=∠??=?

，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）； （3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．

∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即

11603022

BAM BAC ∠∠==??=?，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．

∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ACD和△BCE中，∵

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．

由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

③当点D在线段MA的延长线上时．

∵△ABC与△DEC都是等边三角

形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．

由（1）

得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

9．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，

（1）求证：△ABE≌△ADC；

（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；

（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．

【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析

【解析】

试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得

∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．

试题解析：

（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形

∴AB=AD，AE=AC，

∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

在△ABE和△ADC 中，

∴，

∴△ABE≌△ADC；

（2）由（1）知△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

∵∠ACD=15°，

∴∠AEB=15°；

（3）同上可证：△ABE≌△ADC，

∴∠AEB=∠ACD，

又∵∠ACD=60°，

∴∠AEB=60°，

∵∠EAC=60°，

∴∠AEB=∠EAC，

∴AC∥BE．

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.

，AD是BC边上的中线，点E是AB边上10．如图，在ABC中，已知AB AC

一动点，点P是AD上的一个动点．

（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；

（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；

（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．

【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =

．（3） 245. 【解析】

【分析】

（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.

（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长

（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.

【详解】

解：（1） AB AC =，

ACB ABC ∴∠=∠，

AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，

37BAD ∠=，

903753ABC ∴∠=-=，

53ACB ∴∠=．

（2） CE AB ⊥，

1122

ABC S BC AD AB CE ∴=?=?， 6BC =，4=AD ，5AB =，

245

CE ∴=． （3） 245

【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.

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