2019年四川成都中考数学试题（解析版）

{来源}2019年成都市中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

{标题}成都市二〇一九年初中学业水平考试

考试时间：120分钟 满分：150分

A卷(共100分)

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．

{题目}1．(2019年四川成都T1)比－3大5的数是( ) A．－15 B．－8 C．2 D．8 {答案}C

{解析}∵－3＋5＝2，故比－3大5的数是2. {分值}3

{章节:[1-1-3-1]有理数的加法} {考点:两个有理数相加} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．(2019年四川成都T2)如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是( )

A．

B．

C． D．{答案}B

{解析}如图，该几何体的三视图如下，故选B.

主视图左视图俯视图{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．(2019年四川成都T3)2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为( )

4678

A．5500×10 B．55×10 C．5.5×10 D．5.5×10 {答案}C

{解析}科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10.若用科学记数法表示绝对值较大的数，则n的值等于该数的整数位数减去1，则a＝5.5，n＝4＋4－1＝7，故5.5万＝5.5×107.

{分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}4．(2019年四川成都T4)在平面直角坐标系中，将点(－2，3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为( ) A．(2，3) B．(－6，3) C．(－2，7) D．(－2．－1) {答案}A

{解析}将点(－2，3)向右平移4个单位得到的点为(－2＋4，3)，即(2，3). {分值}3

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:平面直角坐标系} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}5．(2019年四川成都T5)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为( )

12A．10° B．15° C．20° D．30° {答案}B

{解析}如图，∵矩形纸片的对边平行，∴∠2＝45°－∠3＝45°－∠1＝15°.

123 {分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:平行线的性质与判定} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．(2019年四川成都T6)下列计算正确的是( )

2242

A．5ab－3a＝2b B．(－3ab)＝6ab

2222

C．(a－1)＝a－1 D．2ab÷b＝2a {答案}D

{解析}逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A × 5ab与－3a不是同类项，不能合并. B × (－3a2b)2＝9a4b2. C × (a－1)2＝a2－2a＋1. D √ 2a2b÷b＝2a2. {分值}3 {章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:完全平方公式} {考点:积的乘方}

{考点:多项式除以单项式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．(2019年四川成都T7)分式方程

x?52＋＝1的解为( ) x?1xA．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 {答案}A

{解析}去分母，得：x(x－5)＋2(x－1)＝x(x－1)，去括号、移项、合并同类项，得：－2x＝2，系数化为1，得：x＝－1.检验：当x＝－1时，x(x－1)＝－1×(－2)＝2≠0，故原分式方程的解为x＝－1. {分值}3

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:解含两个分式的分式方程} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}8．(2019年四川成都T8)某校开展了主题为“青春?梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量(单位：件)分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是( ) A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 {答案}C

{解析}将该数据从小到大排列，得：42，45，46，50，50，中间的数是46件，故中位数是46件.

{分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}9．(2019年四川成都T9)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点(点P不与点D重命)，则∠CPD的度数为( )

ABOCDEPA．30° {答案}B

B．36°

C．60°

D．72°

{解析}连接OC、OD，则∠COD＝

11×360°. ＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°52ABCODEP{分值}3

{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理} {考点:正多边形和圆} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}10．(2019年四川成都T10)如图，二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是( )

2

yOABA．c＜0 C．a－b＋c＜0 {答案}D

{解析}逐项分析如下： 选项 逐项分析 A ∵抛物线与y轴的交点在原点上方，则c＞0. 2B 抛物线与x轴有两个点交，则b－4ac＞0. C 当x＝－1时，二次函数值是正数，故a－b＋c＞0. D 1?5由点A、B的坐标可知该抛物线的对称轴为x＝＝3. 2{分值}3 {章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

2

B．b－4ac＜0

D．图象的对称轴是直线x＝3

x正误 × × × √ {题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，合计16分． {题目}11．(2019年四川成都T11)若m＋1与－2互为相反数，则m的值为 ． {答案}1

{解析}由题意可知：m＋1＋(－2)＝0，解得：m＝1. {分值}4

{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:××}

{考点:相反数的定义}

{考点:解一元一次方程(移项)} {难度:2-简单}

{题目}12．(2019年四川成都T12)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．

ABDEC

{答案}9

{解析}∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴BD＝CE＝9. {分值}4

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}13．(2019年四川成都T13)已知一次函数y＝(k－3)x＋1的图象经过第一、二、四象限，

则k的取值范围是 ． {答案}k＜3

{解析}∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴k－3＜0，解得：k＜3. {分值}4

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的图象} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}14．(2019年四川成都T14)如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为 ．

DMAONM'N'EBC{答案}4

{解析}由尺规作图可知∠COE＝∠CAB，∴OE∥AB.由平行四边形的性质可知点O是AC中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝

1AB＝4. 2{分值}4

{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共6小题，合计54分． 0

{题目}15-(1)(2019年四川成都T15)计算：(π－2)－2cos30°－16＋|1－3|．

{解析}本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． {答案}解：解：原式＝1－2×＝1－3－4＋3－1， ＝－4． {分值}6

{章节:[1-6-3]实数} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:特殊角的三角函数值} {考点:算术平方根} {考点:零次幂}

{考点:绝对值的性质}

3－4＋3－1， 2

?3?x?2??4x?5，①?{题目}15-(2)(2019年四川成都T15)解不等式组：?5x?2 1?1?x.②?2?4{解析}先求出两个不等式的解集，再求其公共解． {答案}解： 由①，得，x≥－1， 由②，得，x＜2，

故不等式组的解集是－1≤x＜2． {分值}6

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:解一元一次不等式组}

4x2?2x?1{题目}16．(2019年四川成都T16)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝2＋1．

2x?6x?3{解析}先计算括号内的分式加减，同时将分式的除法转化为分式的乘法，因式分解分子、分母，约去公因式，最后代入x的值求解.

2?x?3?x?34{答案}解：原式＝(－)× 2x?3x?3?x?1?＝＝

x?12?x?3?×

x?3?x?1?22. x?1当x＝2＋1时，

22＝＝2. x?12?1?1{分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:分式的混合运算}

{题目}17．(2019年四川成都T17)随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

人数484236302418126在线答题20%在线讨论在线听课在线阅读 2418120在线阅读 在线听课在线答题在线讨论方式根据图中信息，解答下列问题： (1)求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；

(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

(3)该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

{解析}(1)根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；

(2)根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； (3)根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． {答案}解：(1)本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90， 在线听课的人数为：90－24－18－12＝36， 补全的条形统计图如图所示；

人数484236302418126362418120在线阅读 在线听课在线答题在线讨论方式

(2)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°×即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°； (3)2100×

12＝48°， 9024＝560(人)， 90答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人． {分值}8

{章节:[1-10-1]统计调查}

{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题} {类别:常考题} {考点:条形统计图} {考点:扇形统计图} {考点:用样本估计总体}

{题目}18．(2019年四川成都T18)2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)

35°45°ACDB {解析}作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．

{答案}解：作CE⊥AB于E，如图，则四边形CDBE为矩形，

35°45°ACDEB∴CE＝AB＝20，CD＝BE.

在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20， 在Rt△ACE中，tan∠ACE＝

AE， CE∴AE＝CE?tan∠ACE≈20×0.70＝14，则CD＝BE＝AB－AE＝6， 答：起点拱门CD的高度约为6米． {分值}8

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度}

{考点:解直角三角形的应用－仰角}

{题目}19．(2019年四川成都T19)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝(1)求反比例函数的表达式； (2)设一次函数y＝ABO的面积．

y1x＋5和y＝2k的图象经过点A． x1kx＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△2xABOx {解析}(1)联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

(2)联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．

1??x??2，?y?x?5，{答案}解：(1)由?得：故A(－2，4)， 2?y?4，???y??2x，∵反比例函数y＝

k的图象经过点A， x∴k＝－2×4＝－8，

∴反比例函数的表达式是y＝－

8； x8?y??，??x??2，?x??8，?x(2)解方程组?得：?或?故B(－8，1)，

y?4，y?1，1???y?x?5?2?由直线AB的解析式为y＝∴S△AOB＝

1x＋5得到直线与x轴的交点为(－10，0)， 211×10×4－×10×1＝15． 22{分值}10

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:反比例函数与一次函数的综合}

{题目}20．(2019年四川成都T20)

如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．

(1)求证：AC＝CD；

(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点(点F在线段PQ上)，求PQ的长．

CDEBAO

{解析}(1)由等腰三角形的性质和平行线的性质即可证明结论；

(2)通过证明△ACE∽△BCA，可求出AC，由勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径； (3)过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，通过证明△APC∽△CPB，可求PA、PO的长，通过证明△PHO∽△BCA，可求PH，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求PQ的长． {答案}解：(1)连接OD，如图1.

CDEBAO图1

∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OBC＝∠DBC， ∴∠AOC＝∠COD， ∴AC＝CD. (2)连接AC，如图1.

∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD. ∵∠BCA＝∠ACE， ∴△CBA∽△CAE， ∴

CACB＝. CECA∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4，解得：CA＝2. 又∵AB为⊙O的直径，则∠ACB＝90°.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝CA2?CB2＝22?42＝25. ∴⊙O的半径为5. (3)如图2，设AD与CO相交于点N.

CDEBPAFHO图2

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥BD，∴∠ANO＝∠ADB＝90°. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， ∴∠ANO＝∠PCO. ∴PC∥AE.

PACE11125＝＝，则PA＝AB＝×25＝.

3ABEB3332555∴PO＝PA＋AO＝＋5＝.

33∴

过点O作OH⊥PQ于点H，则∠OHP＝90°＝∠ACB.

∵PQ∥CB，

∴∠BPQ＝∠ABC， ∴△OHP∽△ACB， ∴

PHOPOH＝＝.

BCABAC2?55554?AC?OP3＝5,PH＝BC?OP＝3＝10. ∴OH＝＝3AB3AB2525连接PQ.

在Rt△OHQ中，由勾定理，得：HQ＝OQ?OH＝22?5?225?5?. ???＝3?3?2∴PQ＝PH＋HQ＝10?25. 3{分值}10

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:圆周角定理} {考点:切线的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:勾股定理}

B卷(共50分)

{题型:2-填空题}一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，合计20分． {题目}21．(2019年四川成都T21)估算：37.7≈ (结果精确到1)

{解析}∵36＜37.7＜49，∴36＜37.7＜49，即6＜37.7＜7，又∵37.7更靠近36，故737.≈6.

{答案}6 {分值}4

{章节:[1-6-3]实数} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:实数的大小比较}

{题目}22．(2019年四川成都T22)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为 ．

{解析}由一元 二次方程的根与系数之间的关系，得：x1＋x2＝－2，x1x2＝k－1，∴x12＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(－2)2－3(k－1)＝13，解得：k＝－2. {答案}－2 {分值}4

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:根与系数关系}

{题目}23．(2019年四川成都T23)一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为则盒子中原有的白球的个数为 ．

{解析}设盒子中原有的白球为x个，根据题意，得：

5，75x?5＝，解得：x＝20，经检验该根

10?x?57有意义，故盒子中原有的白球为20个. {答案}20 {分值}4

{章节:[1-25-1-2]概率} {难度:3-中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {考点:概率的意义}

{题目}24．(2019年四川成都T24)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C＋B'C的最小值为 ．

AB'A'DD'

{解析}过点C作直线l∥BD，以直线l为对称轴作点B’的对称点E，连接CE，A’E，则B’C＝CE，∠EB’D＝90°，B’E＝AC＝1.由菱形的性质可知∠ABD＝∠A’B’D’＝30°，∴∠A’B’E＝30°＋90°＝120°，又由A’B’＝B’E＝1，易求得A’E＝3.在△A’EC中，由三角形的三边关系可得：AC’＋CE≥A’E，∴ AC’＋CE的最小值是3，即AC’＋B’C的最小值是3. A'AB'BlCDD'BCE {答案}3

{分值}4

{章节:[1-18-2-2]菱形} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法} {类别:易错题} {考点:菱形的性质} {考点:最短路线问题}

{题目}25．(2019年四川成都T25)如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为(5，0)，点B在x轴的上方，△OAB的面积为内部(不含边界)的整点的个数为 ．

y15，则△OAB2OA{解析}在△OAB中，易求得OA边上的高线长为3.如图，点B的横坐标位于2~3之间时，△OAB内的整数点最多，有6个点；将点B沿着直线y＝3无限向左右移动，△OAB内始终至少有4个点.综上所述，整数点个数有4个或5个或6个.

yy＝3B2B1x OAx {答案}4或5或6

{分值}4

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法} {类别:易错题} {考点:点的坐标}

{考点:三角形的面积} {考点:平行线之间的距离}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共3小题，合计30分． {题目}26．(2019年四川成都T26)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝

y7000500011x＋来描述．根22据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

O15x

{解析}(1)根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可； (2)设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量和p＝数关系式，再根据函数性质求得结果．

{答案} (1)设函数的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，由图象可得，

?k??500，?k?b?7000，解得： ??b?7500，5k?b?5000，??∴y与x之间的关系式：y＝－500x＋7500； (2)设销售收入为w万元，根据题意得， w＝yp＝(－500x＋7500)(

2

11x＋，列出w与x的函2211x＋)， 22即w＝－250(x－7)＋16000，

∴当x＝7时，w有最大值为16000， 此时y＝－500×7＋7500＝4000(元).

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元． {分值}8

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:商品利润问题}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{题目}27．(2019年四川成都T27)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝

3，点D为BC4边上的动点(点D不与点B，C重合)．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF． (1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)当DE∥AB时(如图2)，求AE的长；

(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

AEFAFEBDCB图1 图2

{解析}(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． (2)解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出

DC

ABDB＝，可求得DB，由DE∥AB，推出CBABAEBD＝，求出AE即可． ACBC(2)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM可求出tan∠ADF和AN，CH，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题． {答案}(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.

∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE.

(2)过点A作AM⊥BC于点M.

在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM·tanB＝4k·＝3k. 由勾股定理，得：AB2＝AM2＋BM2，得： 202＝(3k)2＋(4k)2，解得：k＝4. ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BC＝2BM＝8k＝32. ∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE.

又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA，

34ABDB25AB2202∴＝，则DB＝＝＝.

CB32CBAB2∵DE∥AB， ∴

AEBD＝， ACBC∴AE＝

AC?BD＝BC20?252＝125. 3216AFEBDMC

(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF.

过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°.

∴四边形AMHN为矩形. ∴∠MAN＝90°，MH＝AN. ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝

11BC＝×32＝16. 22在Rt△ABM中，由勾股定理，得：AM＝AB2?BM2＝202?162＝12.

AEBFNMDHC

∵AN⊥FH，AM⊥BC， ∴∠ANF＝90°＝∠AMD. ∵∠DAF＝90°＝∠AMN， ∴∠NAF＝∠MAD， ∴△AFN∽△ADM.

3ANAF＝＝tan∠ADF＝tanB＝.

4AMAD33∴AN＝AM＝×12＝9.

44∴

∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.

当DF＝CF时，由点D不与点C重合时，可知△DFC为等腰三角形. 又∵FH⊥DC， ∴CD＝2CH＝14.

∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.

∴点D在BC边上运动 的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18. {分值}10

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {考点:勾股定理}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:几何综合}

2

{题目}28．(2019年四川成都T28)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过点A(－2，5)，与x轴相交于B(－1，0)，C(3，0)两点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标； (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

yAC'DBOCx {解析}(1)运用待定系数法列方程组求a、b、c即可； (2)根据抛物线的解析式和勾股定理可求出点C’到x轴的距离；利用∠BC’D和∠DBC的三角函数值求出点D到x轴的距离.由此可求出点C’和点D的坐标；

(3)分两种情况讨论：点Q可能在x轴上方也可能在x轴下方，根据等边三角形的性质，利用全等三角形求出∠CBP的度数，由此可找出直线BP上的两个特殊点的坐标，运用待定系数法即可求出直线BP的函数表达式.

?4a?2b?c?5，?a?1，??{答案}解：(1)由题意得：?a?b?c?0，解得：?b??2，

?9a?3b?c?0，?c??3.??∴抛物线的函数表达式为y＝x－2x－3．

(2)∵抛物线与x轴交于B(－1，0)，C(3，0)， ∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，

如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1，0)，BH＝2， 由翻折得C′B＝CB＝4，

AC'DBOHC2

yx在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝C'B2?BH2＝42?22＝23， ∴点C′的坐标为(1，23)，tan∠C’BH＝由翻折得∠DBH＝

C'H23＝＝3，∴∠C′BH＝60°.

2BH1∠C′BH＝30°， 223， 3在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝23)． 3(3)取(2)中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，

∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：

∴点D的坐标为(1，①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．

yAC'QDBOHCPx∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°， ∴∠BCQ＝∠C′CP，

∴△BCQ≌△C′CP(SAS)， ∴BQ＝C′P．

∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ，

∴C′P＝CQ＝CP， 又∵BC′＝BC，

∴BP垂直平分CC′，

由翻折可知BD垂直平分CC′， ∴点D在直线BP上，

设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b，则

?3??k?b?0，k?，???3， ?23解得：?k?b?，3?b??3??3? 33x＋． 33②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．

∴直线BP的函数表达式为y＝

yAC'QODHBEQPCx∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°． ∴∠BCP＝∠C′CQ，

∴△BCP≌△C′CQ(SAS)， ∴∠CBP＝∠CC′Q， ∵BC′＝CC′，C′H⊥BC， ∴∠CC’Q＝

1∠CC’B＝30°，则∠CBP＝30°. 233＝， 33设BP与y轴相交于点E，

在Rt△BOE中，OE＝OB·tan∠CBP＝OB·tan30°＝1×3)． 3设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n，则

?3??m?n?0，m??，???3 ?3，解得：?n??3?n??，?3??3?∴点E的坐标为(0，－33x－． 333333综上所述，直线BP的函数表达式为y＝x＋或y＝－x－．

3333{分值}12

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {类别:常考题} {类别:易错题} {考点:代数综合} {考点:几何综合}

{考点:二次函数中讨论等腰三角形} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {考点:等边三角形的判定与性质}

∴直线BP的函数表达式为y＝－

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3s08.html