小学奥数平面几何五大定律

金钥匙小学六年级奥数复习资料

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbB?S△BCD；

CD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

CBC

DAS2BDS4①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

第 1 页 共 27 页 2S1OS3S4CAS2aS1OS3BbC金钥匙小学六年级奥数复习资料

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDB①

FGEC

BGC

ADAEDEAF； ???ABACBCAG22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

AEFO三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

BD典型例题

【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面积为 ．

_HC _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

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【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ A_ E_ B

_ GD_ C _

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD中，S△ABG?1?AB?AB边上的高， 21S?S∴△ABG2同理，S△ABG?ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

1SEFGB． 2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽?8?8?10?6.4(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEGBFC D【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HAEGB 可得：S?EHB? 即S?EHB111S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

22211?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111?BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5． 22228?18?4.5?13.5

FC

而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF? 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF那么图形就可变成右图：

A 解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

D(H)EGBFC

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这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111S?S?S?S?S?36???36????36???36?13.5． 阴影ABCD?AED?BEF?CFD2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P点连接,求阴影部分面积．

ADA(P)DADPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部

11分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面

4611积为62?(?)?15平方厘米．

46（法2）连接PA、PC．

BC由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

11等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，

4611所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米．

46

【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积

为 ．

ADOEBFGC

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为120?1?30，所以三角形AOE和43DOG的面积之和为120??70?20；

4?11?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120?????30，所以四边形EFGO的面积为

?24?30?20?10．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120?70?50，所以四边形的面积为60?50?10．

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【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE?2ED，则阴影部分的面积为 ．

AOB【解析】 如图，连接OE．

EDAMOBENDC

C

根据蝴蝶定理，ON:ND?S?COE:S?CDE?11S?CAE:S?CDE?1:1，所以S?OEN?S?OED；

2211OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以S?OEM?S?OEA．

52又S?OED?11?S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部分面积为：3?1?6?1?2.7． 3425

【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDF

【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有S?ABCC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN，

?SAMHN．

1?400?43． 4即400?S丙? 200?200?SAMHN，所以S丙又S阴影?S?ADF?S甲?S乙?SAMHN，所以S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143?

【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

AACDBEFGCDBEFG

【解析】 连接AF，BD．

根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28； 所以，S?BEF?

15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 27282728第 5 页 共 27 页

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7122115S?CBF?38； S?ADG?S?CBF?65；S?ADG?于是：

28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．

【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘

米，求△ABC的面积．

AADEDEBCB【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，

C

，设S△ADE?8份，则S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是

70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互

补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三

角形ABC的面积是多少？

AADECDECB【解析】 连接BE．

∵EC?3AE ∴S∴SABC B

?3S?SABE

?15，∴S?15S?15．

又∵AB?5AD

ADEABE?5?SABCABCADE

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

AAEB甲DE乙C

B甲D乙C

【解析】 连接AD．

∵BE?3，AE?6 ∴AB?3BE，S∴S

第 6 页 共 27 页 ABD?3SBDE

，S乙?5S甲．

又∵BD?DC?4，

ABC?2SABD，∴SABC?6SBDE金钥匙小学六年级奥数复习资料

【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

DDAAEBCE【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)

BCS△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，

所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面

积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HHAGDFBCEAGDFBCE

【解析】 连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，

SAB?BC1?11∴△ABC???． S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．

同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．

所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．

S21所以ABCD??．

SEFGH3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

C1312O131213D131212AB

【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

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把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE，

中心为O，求?OBC的面积．

EEOA3B5CDOA3B5CD

【解析】 如图，将?OAB沿着O点顺时针旋转90?，到达?OCF的位置．

所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．

F

由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB，

由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5?3?8，所以它

1的面积为82??16．

45根据面积比例模型，?OBC的面积为16??10．

8

【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，?AEB?90?，AC、BD交于O．已

知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

CBCBOEDADOEAF

【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．

那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，

所以梯形AFBE的面积为：

1?3?5??3??12(cm2)．

2又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2?AE2?BE2?32?52?34，所以

S?ABD?1AB2?17(cm2)． 2那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，

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所以S?OBE?1S?BDE?2.5(cm2)． 2

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，

BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

BACGABCFEDFED

【解析】 如图，我们将?BCD平移使得CD与AF重合，将?DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重

合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形

BGFD的面积为24?18?432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于

点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC

S△ABFBD1S△ABFAE??1, ??，【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，

S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标

55S△ABC? 1212所以SDCEF?11S?S?方法二：连接DE，由题目条件可得到△ABD， △ABC331121BFS△ABD1??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以FES12233△ADES△DEF1111111??S△DEB???S△BEC????S△ABC?， 223232122115S???S?而△CDE．所以则四边形DFEC的面积等于． △ABC32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG C第 9 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?平方厘米. 1212

【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面

1积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3AODAHODGCCBB 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条

件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件

SABD:SBCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条

件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1． 解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G． ∵S?ABD111S?S?DOC， ?S?BCD，∴AH?CG，∴?AOD3331∴AO?CO，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1．

3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2B1G3DC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC

?1?2?3，那么SBGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGBECDF

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【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8，所以

△OCF的面积为8?4?4；

⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2，

根据蝴蝶定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2， 那么S?GCE?112S?CEF??2?． 1?233

【例 16】 如图，长方形ABCD中，BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方

形ABCD的面积．

AGDFC

AGDFC

B【解析】 连接AE，FE．

EBE因为BE:EC?2:3，DF:FC?1:2，所以S因为SDEF3111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD． 53210SAFD111?S，AG:GF?:?5:1，所以SAGD?5SGD?AEDF10平方厘米，所以长方形ABCD2210?12平方厘米．因为SAFD?1S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

6

【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

BCGAD

【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

MS△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，设S△AGM?1份，则S△MCD?1?2?3

份，所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，S阴影?2?2?4份，所以S阴影:S正方形?1:3，所以

S阴影?1平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘

米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

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ADFBEC

2S梯形?（1?2）?9(平方厘米)，

【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝴蝶定理得

S△ECD?3(平方厘米)，那么SABCD?12(平方厘米)．

【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是

平方厘米．

AODAODB【解析】 连接AC．

CEBCE

由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3， 根据梯形蝴蝶定理，S方厘米)，

COE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以SAOC?6(平

SAOD?9(平方厘米)，又SABC?SACD?6?9?15(平方厘米)，阴影部分面积为

(平方厘米)． 6?15?21

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

A9214BEDA921CBO4

DEC

2【分析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD根据蝴蝶定理，S?OCD所以S?OCD?S?OAE．

?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD?36，

?6(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

第 12 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

A8162BEDA816CBO2EDC

【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．

根据蝴蝶定理，

S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?161S2，故

S?OCD2?16，所以

S?OCD?4(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?ABED1???16?8??12(平方厘米)， 2所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．

【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

AE25O8F?BAE25O8F?BD

【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SDCCFOC

，又根据蝴蝶定理，S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，

所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那

么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米)．【例 20】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的

面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？

DKBEAGDKAG

【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和

11?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的?，那么?BDK的

1?341面积也是?ABC面积的．

4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

FCBEMFCAM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．

1那么?BDK的面积为48??12．

4第 13 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中

m点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，(m?n)的值等

n于 ．

AHDAHDEGEG

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都

比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M． 左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的

BFCBFC1，所以三角形AMD的面积为411111 12???．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1??4?．

24882AHDAHDMEGENGBFCBFC

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的

1，所以三角形BEF 的面4111113积为12???，梯形AEFC的面积为??．

248288在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

311，那么四边形BENF的面积12:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为??81?2?2?42411111为? ?．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1??4?．82466311m3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:?3:2，即?，

23n2那么m?n?3?2?5．

【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．

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ADFBEGC

【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，

所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9， 因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，

进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5

【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．

ADBE

【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10

【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，

AD?DF?FM?MP?PB，则

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?

． 【解析】 设

CADFEGS△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3份，同理有

BMNQCS四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．

所以有

PS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9

【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABABABGFGFGFD

【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM?BF:FC?1:1，

因此CM?4，根据题意有CE?3，再根据另一个沙漏有GB:GE?AB:EM?4:7，所以

ECDECMDECS△ABG?4S△4?7432??(4?4?2?)． ABE1111第 15 页 共 27 页

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方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF?4?2?2?4，S△AEF?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7，根据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF?BG:GE?4:7，所以S△ABG?4432S△ABE??(4?4?2)?． 4?71111

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M，求?BMG的面积．

AFFDIADEBHMGCB

EMHGC

【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FD:BC?FH:HC?1:2，

EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3，

并得G、H是BD的三等分点，所以BG?GH，所以

2BG:EF?BM:MF?2:3，所以BM?BF，S?BFD5111?S?ABD??S222ABCD?1； 41212111又因为BG?BD，所以S?BMG???S?BFD????．

35354303 解法二：延长CE交DA于I，如右图，

可得，AI:BC?AE:EB?1:1，从而可以确定M的点的位置，

21 BM:MF?BC:IF?2:3，BM?BF，BG?BD(鸟头定理)，

53 可得S?BMG?

【例 25】 如图，ABCD为正方形，AM?NB?DE?FC?1cm且MN?2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？

DERSPAMNBQFC21211?S?BDF???S53534ABCD?1 30DERSPFCQ【解析】 (法1)由AB//CD，有

MQMBMPPC，所以PC?2PM，又，所以 ??QCECMNDC11111MQ?QC?MC，所以PQ?MC?MC?MC，所以SSPQR占SAMCF的，

2236612所以SSPQR??1?(1?1?2)?(cm2)．

631(法2)如图，连结AE，则S?ABE??4?4?8(cm2)，

2

AMNB

第 16 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

RBERRBAB2216，所以???2，S?ABR?S?ABE??8?(cm2)．

ABEFEFEF33311MNMP而S?MBQ?S?ANS??3?4??3(cm2)，因为， ?22DCPC1114所以MP?MC，则S?MNP??2?4??(cm2)，阴影部分面积等于

32331642S?ABR?S?ANS?S?MBQ?S?MNP??3?3??(cm2)．

333而

【例 26】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27 S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB

第 17 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

AEFHB【分析】 连接AH、BI、CG．

AEFIDC

GGHIDC

B222AC，故S?ABE?S?ABC?； 555根据燕尾定理，S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3，S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2，所以

49S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9，则S?ACG?，S?BCG?；

19192248那么S?AGE?S?AGC???；

5519959同样分析可得S?ACH?，则EG:EH，EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19，所以??SACG:?SAC?H4:919EG:GH:HB?4:5:，同样分析可得10AG:GI:ID?10:5:4，

55215511所以S?BIE?S?BAE???，S?GHI?S?BIE???．

1010551919519【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．

由于CE:AE?3:2，所以AE?AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC?6份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4，S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6

S6得S△BGC?4(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC?19(份)，因此△AGC?,

S△ABC19SS6S619?6?6?61同理连接AI、CH得△ABH?,△BIC?,所以△GHI? ?S△ABC19S△ABC19S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

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ADGFHB【分析】 如图，连接AI．

ADGFHIC

IC

EBE根据燕尾定理，S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1，S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2，

22所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI?S?ABC?S?ABC．

1?2?472同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于?ABC面积的

7211??3?，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍． 77

【巩固】如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCBFIGDCHAE

【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得

S2S△AGC?2(份)，S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得

S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面

积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出

这9部分的面积各是多少?

AAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，

第 19 页 共 27 页 DEC金钥匙小学六年级奥数复习资料

CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则

1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?

5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．

72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????

3357042321426321642

【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形

JKIH的面积是多少？

CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJ．

CDEGKB

JIFJIDEHB

HA根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，

1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．

1?2?473212类似分析可得S?AGI?．

151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?．

41117那么，SCGKJ???．

4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为

84172161619SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2???，所以四边形JKIH的面积为1??．

84153707070

【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与

BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN．

NDEFC

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；

5第 20 页 共 27 页

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再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以

AN:NF?4:3，那么

1根据题意，有S△ABC5S△ANG151542?2????，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?S△ABC．

7428S△AFC24?37?7?5?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米) 28

【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面

积.

ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2 设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),

1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,

431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,

121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的

6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,

11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC

3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2 1?111?11S△ABC 所以S△ABP?S△ABC，所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?1055?52121?1111113同理另外两个五边形面积是△ABC面积的，所以S阴影?1??3? ?3?610570105

【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形

面积.

ADEIHADEQCNRIPHBFGBMFSGC

【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR

在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1,

第 21 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2

222所以S△ABR?S△ABC,同理S△ACS?S△ABC,S△CQB?S△ABC

77722211所以S△RQS?1????，同理S△MNP?

7777711131根据容斥原理，和上题结果S六边形????

777010

课后练习：

练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．

AFDBEC

【解析】 S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，

S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6

设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米

练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求四边形ABCD的面积．

HDAE【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGFHCBGDCBGFAEF

?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即S△CGF?2S△CDB

同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD

S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD

所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米

练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是

平方厘米．

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ADEGHFADBCEGHF M【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积．

BC

1由题意可得到：EG:GC?EB:CD?1:2，所以可得：S?EBG?S?BCE

3将AB、DF延长交于M点，可得：

BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1，

12而EH:HC?EM:CD?(AB?AB):CD?3:2，得CH?CE，

251121而CF?BC，所以S?CHF??S?BCE?S?BCE

2255111 S?BCE??AB?BC??120?30

2241177 S四边形BGHF?S?S?S?S?01?．4 ?EBC?EBC?EBC?EBC3?351515 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也能解出．

练习4. 如图，已知AB?AE?4cm，BC?DC，?BAE??BCD?90?，AC?10cm，则S?ABC?S?ACE?S?CDE?

cm2．

CBCBAEDA'AEDC'

【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接A'C'，

显然AC?AC'，AC?A'C，AC?A'C?AC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系： S?AEC?S?A'DC'；S?AEC'?S?A'DC；S?CED?S?C'DE．

11所以S?ABC?S?ACE?S?CDE?S?AEC'?S?ACE?S?CDE?SACA'C'??10?10?50cm2．

22

练习5. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面

积是_____平方厘米．

第 23 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

ADADEGHEGHBFC

BFC【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD?1:2,设S△BHC?1份，根据燕尾定理S△CHD1277（1?2?2)?2?10份，SBFHG???，所以SBFHG?120?10??14(平方厘米). 此S正方形?2366

练习6. 如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若?ABC的面积为1，那么四

边形CDMF的面积是_________．

?2份，S△BHD?2份，因

ADNCBADNBEMMCFE

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那

F么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而S?ACM?2S?ADM，所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那么

4BM?4DM，即BM?BD．

5BMBF4214147那么S?BMF?． ??S?BCD????，S四边形CDMF???BDBC53215215301111另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?S?ABD???，

55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???．

31030

练习7. 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积．

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC?12份

第 24 页 共 27 页 金钥匙小学六年级奥数复习资料

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?4:3?12:9，S△ABG:S△AGC?BD:DC?4:3?16:12

S12得S△BGC?9(份)，S△ABG?16(份)，则S△ABC?9?12?16?37(份)，因此△AGC?,

S△ABC37同理连接AI、CH得

S△ABH12S△BIC12S37?12?12?121,,所以△GHI? ???S△ABC37S△ABC37S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74?1?2 37

月测备选

【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角

边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．

甲234乙6

甲234乙6

【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所

以阴影部分面积为：3?4?6?2? （3?6?2?4?2?2）?11（cm2）

【备选2】 如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的

面积是 平方厘米．

DMOAPNC

【解析】 因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO面积为矩形ABCD的

1面积的，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的

4面积之和是18?9?3?6平方厘米．

又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18?6?12(平方厘米)．

【备选3】 如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占

△ABC 面积的几分之几？

B第 25 页 共 27 页

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