《平方差公式》典型例题

典型例题

例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？ （1）

； （2）

；

（3） （5）

； （4）

．

分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式． 解：（1）两个二项式的两项分别是 ，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式． （2）这两个二项式的两项分别是 ，完全相同的项，所以不能用平方差公式． （3） 与

，

与 ， 与

和

，

两部分的符号都不相同，

和 ， ，所含字母不相同，没有

，没有完全相同的项，不能用平方差公式．

（4）两个二项式中， 完全相同，但的指数不同，所以不能用平方差公式． （5） 与用平方差公式． 例2 计算： （1） （2） （3） （4）

； ； ；

．

，

与

与 除去符号不同外，相同字母

，只有符号不同， 完全相同，所以可以用平方差公式．可

分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算． 解：（1）原式

（2）原式

或原式

（3）原式

（4）原式

说明：1）乘法公式中的字母

，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项

式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式． 例3 计算

．

分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为

可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有

数的两项，

和

，也可以直接用平方差公式计算，可得

，得

解： 或

．符号变

，两因式中都有

．

，又有互为相反 ．④可变形为

说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如

，并且 与 互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即

．

例 4 利用平方差公式计算 ：

（1）1999×2001； （2） ．

分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数

法．如第（2）题中， 解：（1）1999×2001=

（2）

说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便． 例5 计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)

分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算. 解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a) =2a-ab-4ab+2b-［(2a)-b］ 打括号 =2a-5ab+2b-(4a-b) =2a-5ab+2b-4a+b =-2a-5ab+3b

说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！

2

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