高中物理一轮复习全套教案（上册）

第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究

第1单元 直线运动的基本概念

1、 机械运动：一个物体相对于另一物体位置的改变（平动、转动、直线、曲线、圆周）

参考系、质点、时间和时刻、位移和路程

运动的描述 速度、速率、平均速度

加速度

直线运动的条件：a、v0共线

即时速度：对应于某一时刻（或位置）的速度，方向为物体的运动方向。（v?lim?s）

?t?0?t 即时速率：即时速度的大小即为速率；

【例1】物体M从A运动到B，前半程平均速度为v1，后半程平均速度为v2，那么全程的平均速度是：（ D ）

2v12?v22v1v2A．（v1+v2）/2 B．v1?v2 C． D．

v1?v2v1?v2【例2】某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游

某处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航经过1小时追上小木块时，发现小木块距离桥有匀速直线运动 s=vt ，s-t图，（a＝0）

125400米远，若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等。试求河水的流速为多大？ vt?v0?at,s?v0t?at2解析：选水为参考系，小木块是静止的；相对水，船以恒定不变的速度运动，到船“追上”小典型的直线运动 规律

木块，船往返运动的时间相等，各为1 小时；小桥相对水向上游运动，到船“追上”小木块，小v0?vt22t v?v0?2as,s?桥向上游运动了位移5400m，时间为2小时。易得水的速度为0.75m/s。 匀变速直线运动 v - t图 t2自由落体（a＝g） 6、平动：物体各部分运动情况都相同。 转动：物体各部分都绕圆心作圆周运动。

特例 7、加速度：描述物体速度变化快慢的物理量，a=△v/△t （又叫速度的变化率），是矢量。a的方

竖直上抛（a＝g）

向只与△v的方向相同（即与合外力方向相同）。

参考系：假定为不动的物体 （1）加速度与速度没有直接关系：加速度很大，速度可以很小、可以很大、也可以为零（某（1） 参考系可以任意选取,一般以地面为参考系 瞬时）；加速度很小，速度可以很小、可以很大、也可以为零（某瞬时）； （2） 同一个物体，选择不同的参考系，观察的结果可能不同 （2）加速度与速度的变化量没有直接关系：加速度很大，速度变化量可以很小、也可以很大；（3） 一切物体都在运动，运动是绝对的，而静止是相对的 加速度很小，速度变化量可以很大、也可以很小。加速度是“变化率”——表示变化的快慢，不表2、 质点：在研究物体时，不考虑物体的大小和形状，而把物体看成是有质量的点，或者说用一个示变化的大小。

有质量的点来代替整个物体，这个点叫做质点。 （3）当加速度方向与速度方向相同时，物体作加速运动，速度增大；若加速度增大，速度增（1） 质点忽略了无关因素和次要因素，是简化出来的理想的、抽象的模型，客观上不存在。 大得越来越快；若加速度减小，速度增大得越来越慢（仍然增大）。当加速度方向与速度方向相反（2） 大的物体不一定不能看成质点，小的物体不一定就能看成质点。 时，物体作减速运动，速度减小；若加速度增大，速度减小得越来越快；若加速度减小，速度减小（3） 转动的物体不一定不能看成质点，平动的物体不一定总能看成质点。 得越来越慢（仍然减小）。 （4） 某个物体能否看成质点要看它的大小和形状是否能被忽略以及要求的精确程度。 8 匀速直线运动和匀变速直线运动 3、时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。例如几秒初，几秒末。 【例3】一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，经过1s后的速度的大小为10m/s，那 时间：前后两时刻之差。时间坐标轴线段表示时间，第n秒至第n+3秒的时间为3秒 么在这1s内，物体的加速度的大小可能为 (6m/s或14m/s) （对应于坐标系中的线段） 【例4】关于速度和加速度的关系，下列说法中正确的是（B） 4、位移：由起点指向终点的有向线段，位移是末位置与始位置之差，是矢量。 A．速度变化越大，加速度就越大 B．速度变化越快，加速度越大 路程：物体运动轨迹之长，是标量。路程不等于位移大小 C．加速度大小不变，速度方向也保持不变 （坐标系中的点、线段和曲线的长度） D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小

s5、速度：描述物体运动快慢和运动方向的物理量， 是矢量。

9、匀速直线运动：v?，即在任意相等的时间内物体的位移相等．它

平均速度：在变速直线运动中，运动物体的位移和所用时间的比值，υ=s/t（方向为位移的方t向） 是速度为恒矢量的运动，加速度为零的直线运动． 平均速率：为质点运动的路程与时间之比,它的大小与相应的平均速度之值可能不相同（粗略描匀速s - t图像为一直线：图线的斜率在数值上等于物体的速度。

述运动的快慢）

- 1 -

直线运动

第2单元 匀变速直线运动规律

匀变速直线运动公式 1．常用公式有以下四个

vt?v0?at s?v0t?v?vt122at vt2?v0t ?2as s?0222．匀变速直线运动中几个常用的结论

①Δs=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm-sn=(m-n)aT 2 ②vt/2综合应用例析

【例1】在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为v2，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为v1，则v2∶v1=?

【解析】

v?vts?0?，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。

2tv?v ，某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度）。 2202ts??s?，而s?v1v?(?v2)t，?s??1t 得v2∶v1=2∶1 22 vs/2?可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有vt/2?vs/2。

3．初速度为零（或末速度为零）的匀变速直线运动

做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为： v?gt ， s?思考：在例1中，F1、F2大小之比为多少？（答案：1∶3）

【例2】一辆汽车沿平直公路从甲站开往乙站，起动加速度为2m/s2，加速行驶5秒，后匀速行驶2分钟，然后刹车，滑行50m，正好到达乙站，求汽车从甲站到乙站的平均速度？

解析：起动阶段行驶位移为：

匀加速 匀速 匀减速

12s1 s2 s3

s1=at1 ……（1）

212vat ， v2?2as ， s?t 22匀速行驶的速度为： v= at1 ……（2）

匀速行驶的位移为： s2 =vt2 ……（3） 刹车段的时间为： s3 =

甲 t1 t2 t3 乙

4．初速为零的匀变速直线运动

①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……

③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为1∶2∶3∶……

④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1∶2?1∶（3?2）∶…… 对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。 5．一种典型的运动

经常会遇到这样的问题：物体由静止开始先做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动到静止。用右图描述该过程，可以得出以下结论：

①s?vt3 ……（4） 2汽车从甲站到乙站的平均速度为：

??v=

s1?s2?s325?1200?501275?m/s?m/s?9.44m/s

t1?t2?t35?120?10135【例3】一物体由斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初的3秒内的位移为s1，最后3秒内的

位移为s2，若s2-s1=6米，s1∶s2=3∶7，求斜面的长度为多少？

解析：设斜面长为s，加速度为a，沿斜面下滑的总时间为t 。则：

斜面长： s =

A B C 6、解题方法指导：

解题步骤：

（1）确定研究对象。（2）明确物体作什么运动，并且画出运动示意图。（3）分析研究对象的运动过程及特点，合理选择公式，注意多个运动过程的联系。（4）确定正方向，列方程求解。（5）对结果进行讨论、验算。

解题方法：

（1）公式解析法：假设未知数，建立方程组。本章公式多，且相互联系，一题常有多种解法。要熟记每个公式的特点及相关物理量。

（2）图象法：如用v—t图可以求出某段时间的位移大小、可以比较vt/2与vS/2，以及追及问题。用s—t图可求出任意时间内的平均速度。

（3）比例法：用已知的讨论，用比例的性质求解。

（4）极值法：用二次函数配方求极值，追赶问题用得多。

（5）逆向思维法：如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动来求解。

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v11,t?,s?t ②v1?v2?v?B aa2a1、s1、t1 a2、s2、t2

12 …… ( 1)

at21前3秒内的位移：s1 = at12 ……（2）

21后3秒内的位移： s2 =s -a (t-3)2 …… (3)

2（t-3）s 3s s2-s1=6 …… (4) s1∶s2 = 3∶7 …… (5) 解（1）—（5）得：a=1m/s2 t= 5s s=12 . 5m 【例4】物块以v0=4米/秒的速度滑上光滑的斜面，途经A、B两点，已知在A点时的速度是B点时的速度的2倍，由B点再经0.5秒物块滑到斜面顶点C速度变为零，A、B相距0.75米，求斜面的长度及物体由D运动到B的时间？

解析：物块匀减速直线运动。设A点速度为VA、B点速度VB，加速度为a，斜面长为S。

A到B： vB2 ? vA2 =2asAB ……(1) vA = 2vB … …(2)

C D B到C： 0=vB + at0 ……..(3)

解（1）（2）（3）得：vB=1m/s a= ?2m/s2

2

D到C 0 ? v0=2as (4) s= 4m

从D运动到B的时间： D到B： vB =v0+ at1 t1=1.5秒 D到C再回到B：t2 = t1+2t0=1.5+2?0.5=2.5(s)

【例5】一质点沿AD直线作匀加速直线运动，如图，测得它在AB、BC、CD三段的时间均为t，测得位移AC=L1，BD=L2，试求质点的加速度？

解：设AB=s1、BC=s2、CD=s3 则：

A B C D

s2?s1=at2 s3?s2=at2 两式相加：s3?s1=2at2

由图可知：L2?L1=（s3+s2）?（s2+s1）=s3?s1 则：a =

v1=

ttss ……（1） v2= ……（2）v2=v1+a（1?2） ……（3）

22t1t212at1 ……（1） 2解（1）（2）（3）得相同结果。 方法（3）：设前一段位移的初速度为v0，末速度为v，加速度为a。 前一段s： s=v0t1 + 后一段s： s=vt2 +

12at2 ……（2） v = v0 + at ……（3） 2解（1）（2）（3）得相同结果。

例8．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10 s内下降高度为1800 m，造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动.

（1）求飞机在竖直方向上产生的加速度多大？

（2）试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅.

解：由s=

L2?L1 22t【例6】一质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度为a1的匀加速运动，接着做加速度为a2的匀减速直线运动，抵达B点时恰好静止，如果AB的总长度为s，试求质点走完AB全程所用的时间t？

解：设质点的最大速度为v，前、后两段运动过程及全过程的平均速度相等，均为

v。 2122s2?1800at及：a=2?m/s2=36 m/s2. 21000tv全过程： s=t ……（1）

2匀加速过程：v = a1t1 ……（2） 匀减速过程：v = a2t2 ……（3） 由（2）（3）得：t1=

vv t2? 代入（1）得： a1a22sa1a2vvvs = (? ) s=

a1?a22a1a2将v代入（1）得： t =

2s?v2s2sa1a2a1?a2?2s(a1?a2)

a1a2【例7】一个做匀加速直线运动的物体，连续通过两段长为s的位移所用的时间分别为t1、t2，求物体的加速度？

解：方法（1）：设前段位移的初速度为v0，加速度为a，则：

12at1 ……（1） 212全过程2s： 2s=v0（t1+t2）+a(t1?t2) ……（2）

22s(t1?t2)消去v0得： a =

t1t2(t1?t2)前一段s： s=v0t1 +

方法（2）：设前一段时间t1的中间时刻的瞬时速度为v1,后一段时间t2的中间时刻的瞬时速度为v2。所以：

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由牛顿第二定律：F+mg=ma得F=m(a-g)=1560 N,成年乘客的质量可取45 kg~65 kg,因此，F相应的值为1170 N~1690 N

第3单元 自由落体与竖直上抛运动

1、 自由落体运动：物体仅在重力作用下由静止开始下落的运动

重快轻慢”――非也

亚里斯多德――Y 伽利略――――N

（1）特点：只受重力作用，即υ0=0、a=g（由赤道向两极，g增加由地面向高空，g减小一般认为

g不变）

（2）运动规律： V = g t H = g t2. / 2 V2 = 2 g H

对于自由落体运动，物体下落的时间仅与高度有关，与物体受的重力无关。 （3）符合初速度为零的匀加速直线运动的比例规律

2、 竖直上抛运动：物体上获得竖直向上的初速度υ0后仅在重力作用下的运动。 特点：只受重力作用且与初速度方向反向，以初速方向为正方向则---a=-g

运动规律：

（1） V＝V0－g t t＝V0 / g （2） H＝V0 t－g t2 / 2

（3） V02－V2＝2gH H＝V02 / 2g

（4） v = ( V0 +V) / 2

?例：竖直上抛，V0＝100m / s 忽略空气阻力

（1）、多长时间到达最高点？

0＝V0－g t t＝V0 / g=10秒 500米

理解加速度

（2）、最高能上升多高？（最大高度） 100m/s

0－V02＝－2g H H= V02/2g＝500米

（3）、回到抛出点用多长时间？

H＝g t2. / 2 t＝10秒 时间对称性

（4）、回到抛出点时速度＝？

V＝g t V＝100m / s 方向向下 速度大小对称性 （5）、接着下落10秒，速度＝？

v＝100＋10×10＝200m/s 方向向下

（6）、此时的位置？

s＝100×10＋0.5×10×102＝1500米

（7）、理解前10秒、20秒 v（m/s）

30秒 内的位移

100

0 10 20 30 t (s)

－100

－200 结论：时间对称性

速度大小对称性

注意：若物体在上升或下落中还受有恒空气阻力，则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛运动，分别计算上升a上与下降a下的加速度，利用匀变速公式问题同样可以得到解决。 例题分析：

例1、 从距地面125米的高处，每隔相同的时间由静止释放一个小球队，不计空气阻力，g=10米/

2

秒，当第11个小球刚刚释放时，第1个小球恰好落地，试求：（1）相邻的两个小球开始下落的时间间隔为多大？（2）当第1个小球恰好落地时，第3个小球与第5个小球相距多远？

（拓展）将小球改为长为5米的棒的自由落体，棒在下落过程中不能当质点来处理，但可选棒上某点来研究。

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例2、 在距地面25米处竖直上抛一球，第1秒末及第3秒末先后经过抛出点上方15米处，试求：

（1）上抛的初速度，距地面的最大高度和第3秒末的速度；（2）从抛出到落地所需的时间（g=10m/s2）

例3、 一竖直发射的火箭在火药燃烧的2S内具有3g的竖直向上加速度，当它从地面点燃发射后，

它具有的最大速度为多少？它能上升的最大高度为多少？从发射开始到上升的最大高度所用的时间为多少？（不计空气阻力。G=10m/s2）

第4单元 直线运动的图象

知识要点：

1、 匀速直线运动

对应于实际运动

1、 位移～时间图象，某一时刻的位移 S＝v t

⑴截距的意义：出发点距离标准点的距离和方向 ⑵图象水平表示物体静止

斜率绝对值 = v的大小 ⑶，交叉点表示两个物体相遇 2、 速度～时间图象，某一时刻的速度 V（某时刻的快慢） V?S t阴影面积 ＝ 位移数值（大小）上正下负

2、 匀变速直线运动的速度——时间图象（υ—t图）

a?t vt?v0?vt?v0?at t Vt VO α △ V

0 t

(1) 截距表示初速度 (2) 比较速度变化的快慢，即加速度

v (3) 交叉点表示速度相等

(4) 面积 = 位移 上正下负 v 【例1】 一个固定在水平面上的光滑物

q 块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC。 p 已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q

o 同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下tq tp p A q t

B C 滑，比较它们到达水平面所用的时间

A.p小球先到 B.q小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定

解：可以利用v-t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同（曲线和横轴所围的面积相同），显然q用的时间较少。

【例2】 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小a’ a /

球a和a 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通l2 v2 过拐角处时无机械能损失) l1 解析：首先由机械能守恒可以确定拐角处v1> v2，而两小球到达出

l1 口时的速率v相等。又由题薏可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第

v1 二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球

l2 a/第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小

v /v 球a第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，v显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a/ 的速度图象只能如蓝线所示。因此有o t t1 t2 t1< t2，即a球先到。

【例3】一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为vB?vA?vC，则 2A．a1> a2 B．a1= a2 C．a1< a2 D．不能确定

解析：依题意作出物体的v-t图象，如图所示。图线下方所围成的面积表示物体的位移，由几何知识知图线②、③不满足AB=BC。只能是①这种情况。因为斜率表示加速度，所以a1

【例4】蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的

距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？

解析：本题若采用将AB无限分割，每一等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。

题中有一关键条件：蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离x成反比，11即?x，作出?x图象如图示，为一条通过原点的直线。从图上可以vv看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到B的时间：

2L21112?L1T?(?)(L2?L1)??75s

2v1v22L1v1

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第二章 相互作用

第1单元 力 重力和弹力 摩擦力

一、力：是物体对物体的作用

（1） 施力物体与受力物体是同时存在、同时消失的；力是相互的 （2） 力是矢量（什么叫矢量——满足平行四边形定则） （3） 力的大小、方向、作用点称为力的三要素 （4） 力的图示和示意图

（5） 力的分类：根据产生力的原因即根据力的性质命名有重力、弹力、分子力、电场力、磁场

力等；根据力的作用效果命名即效果力如拉力、压力、向心力、回复力等。(提问：效果相同，性质一定相同吗？性质相同效果一定相同吗？大小方向相同的两个力效果一定相同吗？)

（6） 力的效果：1、加速度或改变运动状态 2、形变

（7） 力的拓展：1、改变运动状态的原因 2、产生加速度 3、牛顿第二定律 4、牛顿第三定

律

二、常见的三种力 1重力

（1） 产生：由于地球的吸引而使物体受到的力，是万有引力的一个分（2） 方向：竖直向下或垂直于水平面向下 （3） 大小：G=mg，可用弹簧秤测量

两极 引力 = 重力 （向心力为零）

赤道 引力 = 重力 + 向心力 （方向相同） 由两极到赤道重力

加速度减小，由地面到高空重力加速度减小

（4） 作用点：重力作用点是重

心，是物体各部分所受重力的合力的作用点。 重心的测量方法：均匀规则几何体的重心在其几何中心，薄片物体重心用悬挂法；重心不一定在物体上。

2、弹力

（1）产生：发生弹性形变的物体恢复原状，对跟它接触并使之发生形变的另一物体产生的力的作用。

（2）产生条件：两物体接触；有弹性形变。

（3）方向：弹力的方向与物体形变的方向相反，具体情况有：轻绳的弹力方向是沿着绳收缩的方向；支持力或压力的方向垂直于接触面，指向被支撑或被压的物体；弹簧弹力方向与弹簧形变方向相反。

（4）大小：弹簧弹力大小F=kx（其它弹力由平衡条件或动力学规律求解）

1、 K是劲度系数，由弹簧本身的性质决定 2、 X是相对于原长的形变量 3、 力与形变量成正比

（5） 作用点：接触面或重心

【例1】如图所示，两物体重力分别为G1、G2，两弹簧劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2，最后平衡时拉力F=G1+2G2，求该过程系统重力势能的增量。

解析：关键是搞清两个物体高度的增量Δh1和Δh2跟初、末状态两根弹簧的形变量Δx1、Δx2、/

Δx1、Δx2/间的关系。

F 无拉力F时 Δx1=(G1+G2)/k1，Δx2= G2/k2，（Δx1、Δx2为压缩量）

G2 加拉力F时 Δx1/=G2/k1，Δx2/= (G1+G2) /k2，（Δx1/、Δx2/为伸长量）

/ Δx2k2 而Δh1=Δx1+Δx1/，Δh2=(Δx1/+Δx2/)+(Δx1+Δx2)

G2

系统重力势能的增量ΔEp= G1?Δh1+G2?Δh2

Δx2 k2 G1 ?G1?G2G2?整理后可得：?EP??G1?2G2?? ??G1 Δx1/ k?k?1 k2?Δx1 k1 1?练习

1.关于两物体之间的弹力和摩擦力，下列说法中正确的是( ) A.有摩擦力一定有弹力

B.摩擦力的大小与弹力成正比

F C.有弹力一定有摩擦力

D.弹力是动力，摩擦力是阻力 力

2.如图，两本书A、B逐页交叉后叠放在一起并平放在光滑的水平桌面上，设每张书页的质量为5g，每本书均是200张，纸与纸之间的动摩擦因数为0.3,问至少要用多大的水平力才能将它们拉开?(g取10米/秒2)

3、弹簧秤的读数是它受到的合外力吗？

3、摩擦力

（1）产生：相互接触的粗糙的物体之间有相对运动（或相对运动趋势）时，在接触面产生的阻碍相对运动（相对运动趋势）的力；

（2）产生条件：接触面粗糙；有正压力；有相对运动（或相对运动趋势）； （3）摩擦力种类：静摩擦力和滑动摩擦力。

静摩擦力

（1）产生：两个相互接触的物体，有相对滑动趋势时产生的摩擦力。 （2）作用效果：总是阻碍物体间的相对运动趋势。

（3）方向：与相对运动趋势的方向一定相反（**与物体的运动方向可能相反、可能相同、还可能成其它任意夹角）

（4）方向的判定：由静摩擦力方向跟接触面相切，跟相对运动趋势方向相反来判定；由物体的平衡条件来确定静摩擦力的方向；由动力学规律来确定静摩擦力的方向。 (5) 作用点 V = 2 滑动摩擦力

V = 3

（1）产生：两个物体发生相对运动时产生的摩擦力。 （2）作用效果：总是阻碍物体间的相对运动。

（3）方向：与物体的相对运动方向一定相反（**与物体的运动方向可能相同；可能相反；也可能成其它任意夹角）

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（4）大小：f=μN（μ是动摩擦因数，只与接触面的材料有关，与接触面积无关） (5) 作用点

V f = μmg

a f = μ(mg +ma)

f = μmg cosθ

第2单元 力的合成和分解

一、标量和矢量

矢量：满足平行四边行定则（力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度）

标量：不满足平行四边行定则（路程、时间、质量、体积、密度、功和功率、电势、能量、

磁通量、振幅）

1．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。

矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

2．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。

二、力的合成与分解

力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。 合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。

1．力的合成

（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是

F F1 F |F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2 F1

（4） 共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。 O O F2 F2

【例1物体受到互相垂直的两个力F1、

【例2】 小车向右做初速为零的匀加速运动，物体恰好沿车后壁匀速下滑。试分析下滑过程中物体所受摩擦力的方向和物体速度方向的关系。

解析：物体受的滑动摩擦力始终和小车的后壁平行，方向竖直向上，而物体相对于地面的速度方向不断改变（竖直分速度大小保持不变，水平分速度逐渐增大），所以摩

a v相对 擦力方向和运动方向间的夹角可能取90°和180°间的任意值。

点评：无明显形变的弹力和静摩擦力都是被动力。就是说：弹力、静摩擦力的大小和方向都无法由公式直接计算得出，而是由物体的受力情况和运动情况共同决定的。

例题分析：

例3、下面关于摩擦力的说法正确的是： D A、阻碍物体运动的力称为摩擦力；

B、滑动摩擦力方向总是与物体的运动方向相反； C、静摩擦力的方向不可能与运动方向垂直； D、接触面上的摩擦力总是与接触面平行。

例4、如图所示，物体受水平力F作用，物体和放在水平面上的斜面都处于静止，若水平力F增大一些，整个装置仍处于静止，则：A

A、 斜面对物体的弹力一定增大；

B、 斜面与物体间的摩擦力一定增大；

C、 水平面对斜面的摩擦力不一定增大； D、 水平面对斜面的弹力一定增大；

例5、用一个水平推力F=Kt（K为恒量，t为时间）把一重为G的物体压在竖直的足够高的平整墙上，如图所示，从t=0开始物体所受的摩擦力f随时间t变化关系是哪一个？B

- 7 -

F2的作用，若两力大小分别为53N、５ N，求这两个力的合力．

解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F1、F2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：

F?F1?F2?(53)2?52N=10 N

合力的方向与F1的夹角θ为：

22F53 θ＝30° tg??2??F15332．力的分解

（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。

【例2将放在斜面上质量为m的物体的重力mg分解为下滑力F1和对斜面的压力F2，这种说法正确吗？

解析：将mg分解为下滑力F1这种说法是正确的，但是mg的另一个分力F2不是物体对斜面的压力，而是使物体压紧斜面的力，从力的性质上看，F2是属于重力的分力，而物体对斜面的压力属于弹力，所以这种说法不正确。

【例3将一个力分解为两个互相垂直的力，有几种分法？

解析：有无数种分法，只要在表示这个力的有向线段的一段任意画一条直线，在有向线段的另一端向这条直线做垂线，就是一种方法。如图所示。

（3）几种有条件的力的分解

①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。 ③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。 ④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

（4）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：

①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα

②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2

取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα

③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜

（5）正交分解法：

把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。 用正交分解法求合力的步骤：

①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向

②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向

③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合

④求合力的大小 F?合力的方向：tanα=

Fy合Fx合（α为合力F与x轴的夹角）

【例4质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?

A．μmg Ｂ．μ（mg+Fsinθ）

Ｃ．μ（mg+Fsinθ） Ｄ．Fcosθ 解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fμ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即

Fcosθ＝Fμ ① FN＝mg+Fsinθ ② 又由于Fμ＝μFN ③

∴Fμ＝μ（mg+Fsinθ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．

三、综合应用举例

【例5水平横粱的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图甲所示，则滑轮受

2

到绳子的作用力为（g=10m/s）

A．50N B．503N C．100N D．1003N 解析：取小滑轮作为研究对象，悬挂重物的绳中的弹力是T＝mg=10×10N=100 N，故小滑轮受绳的作用力沿BC、BD方向的大小都是100N，分析受力如图（乙）所示． ∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，∴∠CBF=60°，⊿CBF是等边三角形．故F＝100 N。选C。

【例6已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直O 线OP向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的

θ 最小值是多少？

解析：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP方向。用三角形定则从右图中不难看出：重力矢量OG的大小方向确定后，合力F的方向确定（为Eq OP方向），而电场力Eq的矢量起点必须在G点，终点必须在OP射线上。在图

P mg 中画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP方向垂直时Eq才会最小，所以E也最小，有E =mgsin? A B q N

F1 F2 【例7轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能

- 8 -

(Fx合)2?(Fy合)2

G 承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值。

解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N是压力G的平衡力，方向竖直向上。因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d∶l =15∶4，所以d最大为15l

4

【例8一根长2m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，如图所示，求直棒重心C的位置。

解析：当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点．则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示由几何知识可知：

BO=AB/2=1m BC=BO/2=0.5m 故重心应在距B端 0.5m处。

【例9如图（甲）所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？

解析：虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力 N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图（乙）所示，

当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1

大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图（乙）中虚线所示，由图可看出挡板AO与斜面垂直时β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力N2min =mgsinα。

第3单元 共点力作用下物体的平衡

一、物体的受力分析 1．明确研究对象

在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体。在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力。

2．按顺序找力

先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力；接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）。 3．只画性质力，不画效果力

画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复。

4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形） 二、物体的平衡

物体的平衡有两种情况：一是质点静止或做匀速直线运动，物体的加速度为零；二是物体不转

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动或匀速转动（此时的物体不能看作质点）。

理解：对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态．因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止．还需注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态。

总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态 三、共点力作用下物体的平衡

1．共点力——几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点（该点不一定在物体上），这几个力叫共点力。

2．共点力的平衡条件

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0 3．判定定理

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。（表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形）

【例1如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1 =10N，F2 =3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为A

A．0 B．水平向右，3N C．水平向左，7N D．水平向右，7N

【例2】氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是_____，水平风力的大小是____ （答案：43N 23N）

四、综合应用举例

1．静平衡问题的分析方法

【例3如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹

m2角为α=60°。两小球的质量比m为A

13232F1 F2 F1

A．3 B．3 C．2 D．2 2．动态平衡类问题的分析方法

G 【例4 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过

程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

（F1逐渐变小，F2先变小后变大。当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

G F2

【例5如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30o。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

【解析】AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：AO/G=OB/T。说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T=Gcos30o。球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30o。 3．平衡中的临界、极值问题

当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）时的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。

极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”、“极小”、“极左”、“极右”）从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，便于解答。 例题分析：

例2、拉力F作用重量为G的物体上，使物体沿水平面匀速前进，如图8-2所示，若物体与地面的动摩擦因数为μ，则拉最小时，力和地面的夹角θ为多大？最小拉力为多少？ 21/221/2) (θ=arcCOS1/（1+μ）时，Fmin=μG/（1+μ）

例6如图8-3所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推

1/2

木块才能使球离开地面？(F=G[h（2R-h）]/（R-h））

【例7跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图l—4－3（甲）所示），已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ

【例8 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。 G 解：当F?2G时，f=0；当F?2G时，f?3F?G，方向竖直

F α 233合的方法。

隔离法：物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。

整体法：在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。

【例9 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是 B

A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小 C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小

例10图7-1所示，两个完全相同重为G的球，两球与水平面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？

例11图7-3所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

5．“稳态速度”类问题中的平衡

【例12物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且

-42

正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10Ns/m。已知水的密度??1.0?10kg/m，重力加速度为g?10m/s。求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。

解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上。当雨滴达到稳态速

3

2

33向下；当F?2G时，f?G?F，方向竖直向上。

23

4．整体法与隔离法的应用

对于连结体问题，如果能够运用整体法，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法，对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法和隔离法相结

O P A F α 度后，加速度为0，二力平衡，用m表示雨滴质量，有mg-krv=0，m?4?r3?/3，求得

v?4?r2?g/3k，v=1.2m/s。

6．绳中张力问题的求解 【例13】重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成

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Q B N F1 α P A B O C F2 G/2 F1 α O G/2 mg

α角。求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。

解：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：

跨过滑轮连接A和B的轻绳长为L，求平衡时OA和OB分别多长？

针对训练

1．把重20N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为 12 N，则弹簧的弹力为（ ）

A．可以是22N，方向沿斜面向上 B．可以是2N．方向沿斜面向上 C．可以是2N，方向沿斜面向下 D．可能为零

2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连， A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）

A．mg，（M－m）g B．mg，Mg C．（M－m）g， M g D．（M+m）g，（M－m）g

3如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（ ）

A．绳子受的拉力增大

B．物林m对斜面的正压力减小 C．物体m受到的静摩擦力可能增大 D．物体m受到的静摩擦力可能减小

4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q ，当两环稳定时细绳拉力为（ ）

A．Fsinθ B．F/sinθ C．Fcosθ D．F/cosθ 5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力正确的是（ ）

A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T

C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2T D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T

6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（ ）

A．管内空气压强恒为（p0十ρgh）(ρ为水银密度） B．管内空气压强将升高 C．细线上的拉力将减小 D．玻璃管位置降低

F1?GG,F2?

2sin?2tan?

F2

7 解答平衡问题时常用的数学方法

根据平衡条件解答平衡问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，在选择数学方法可针对如下几种情况进行：

1、物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角，一般将三力平衡化为二力平衡，对应数学方法：

（1）正弦定理：如图6-1所示，则有F1/sinα=F2/sinβ=F3/sinγ （2）三角形相似：这种方法应用广泛，具体应用时先画出力的 三角形，再寻找与力的三角形相似的空间三角形，（即具有物理 意义的三角形和具有几何意义的三角形相似）由相似三角形建立 比例关系求解。

2、多力合成时为了便于计算，往往把这些力先正交分解，根据：∑FX=0 ∑FY=0 求解。 3、动态平衡问题：解析法和图象法。

解析法：对研究对象形的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数

关系，然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。

图象法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图

中作出若干状态下的平衡图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。

【例14】如图所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。

解析：小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。任选一状态，受力如图4所示。不难看出，力三角形ΔFAG’与几何关系三角形ΔBAO相似，从而有：

NRFL??， G'hG'h（其中G’与G等大，L为绳子AB的长度）

由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见：球面的支持力N?RLG大小不变，绳子的拉力F?G在减小。 hh

例15图6-2所示，小圆环重G，固定的竖直大环半径为R，轻弹簧原长为L（L﹤R）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ？

提示：可利用正弦定律求解或三角形相似法求解

例34、如图6-3所示，一轻杆两端固结两个小物体A、B，mA=4mB

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7．如图（甲）所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。图（乙）所示为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的 拉力是多大？

8．长L的绳子，一端拴着半径为r，重为G的球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面的A点上，如图所示，试求绳子中的张力

参考答案：

1．ABCD 2．A 3．BCD 4．B 5．AD 6．D

7．33mg 8．T?G(L?r)sin? L2?2rL

- 12 -

第三章 牛顿运动定律

知识网络：

第1单元 牛顿运动三定律

一、牛顿第一定律(内容)：

（1）保持匀速直线运动或静止是物体的固有属性；物体的运动不需要用力来维持

（2）要使物体的运动状态（即速度包括大小和方向）改变，必须施加力的作用，力是改变物体运动状态的原因

1.牛顿第一定律导出了力的概念

力是改变物体运动状态的原因。（运动状态指物体的速度）又根据加速度定义：a??v，有速

?t度变化就一定有加速度，所以可以说：力是使物体产生加速度的原因。（不能说“力是产生速度的原因”、“力是维持速度的原因”，也不能说“力是改变加速度的原因”。） 2.牛顿第一定律导出了惯性的概念

惯性：物体保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质。惯性应注意以下三点：

（1）惯性是物体本身固有的属性，跟物体的运动状态无关，跟物体的受力无关，跟物体所处的地理位置无关

（2）质量是物体惯性大小的量度，质量大则惯性大，其运动状态难以改变

（3）外力作用于物体上能使物体的运动状态改变，但不能认为克服了物体的惯性 3.牛顿第一定律描述的是理想化状态

牛顿第一定律描述的是物体在不受任何外力时的状态。而不受外力的物体是不存在的。物体不受外力和物体所受合外力为零是有区别的，所以不能把牛顿第一定律当成牛顿第二定律在F=0时的特例。

4、不受力的物体是不存在的，牛顿第一定律不能用实验直接验证，但是建立在大量实验现象的基础之上，通过思维的逻辑推理而发现的。它告诉了人们研究物理问题的另一种方法，即通过大量的实验现象，利用人的逻辑思维，从大量现象中寻找事物的规律。

5、牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不能简单地认为它是牛顿第二定律不受外力时的特例，牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系，牛顿第二定律定量地给出力与运动的关系。

【例1】在一艘匀速向北行驶的轮船甲板上，一运动员做立定跳远，若向各个方向都用相同的力，则 （ D ）

A．向北跳最远 B．向南跳最远

C．向东向西跳一样远，但没有向南跳远 D．无论向哪个方向都一样远

【例2】某人用力推原来静止在水平面上的小车，使小车开始运动，此后改用较小的力就可以

维持小车做匀速直线运动，可见（ ）

A．力是使物体产生运动的原因 B．力是维持物体运动速度的原因 C．力是使物体速度发生改变的原因 D．力是使物体惯性改变的原因

【例3】如图中的甲图所示，重球系于线DC下端，重球下再系一根同样的线BA，下面说法中正确的是（ ）

A．在线的A端慢慢增加拉力，结果CD线拉断 B．在线的A端慢慢增加拉力，结果AB线拉断 C．在线的A端突然猛力一拉，结果AB线拉断 D．在线的A端突然猛力一拉，结果CD线拉断

解析：如图乙，在线的A端慢慢增加拉力，使得重球有足够的时间发生

向下的微小位移，以至拉力T2逐渐增大，这个过程进行得如此缓慢可以认为重球始终处于受力平衡状态，即 T2＝T1＋mg，随着T1增大，T2也增大，且总是上端绳先达到极限程度，故CD绳被拉断，A正确。若在A端突然猛力一拉，因为重球质量很大，力的作用时间又极短，故重球向下的位移极小，以至于上端绳未来得及发生相应的伸长，T1已先达到极限强度，故AB绳先断，选项C也正确。

二、牛顿第三定律(12个字——等值、反向、共线 同时、同性、两体、) 1.区分一对作用力反作用力和一对平衡力

一对作用力反作用力和一对平衡力的共同点有：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。不同点有：作用力反作用力作用在两个不同物体上，而平衡力作用在同一个物体上；作用力反作用力一定是同种性质的力，而平衡力可能是不同性质的力；作用力反作用力一定是同时产生同时消失的，而平衡力中的一个消失后，另一个可能仍然存在。 2.一对作用力和反作用力的冲量和功

一对作用力和反作用力在同一个过程中（同一段时间或同一段位移）的总冲量一定为零，但作的总功可能为零、可能为正、也可能为负。这是因为作用力和反作用力的作用时间一定是相同的，而位移大小、方向都可能是不同的。 3、效果不能相互抵消

【例4】汽车拉着拖车在水平道路上沿直线加速行驶，根据牛顿运动定律可知（B C ） A．汽车拉拖车的力大于拖车拉汽车的力 B．汽车拉拖车的力等于拖车拉汽车的力 C．汽车拉拖车的力大于拖车受到的阻力 D．汽车拉拖车的力等于拖车受到的阻力

【例5】甲、乙二人拔河，甲拉动乙向左运动，下面说法中正确的是AC A．做匀速运动时，甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等

B．不论做何种运动，根据牛顿第三定律，甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等 C．绳的质量可以忽略不计时，甲乙二人对绳的拉力大小一定相等 D．绳的质量不能忽略不计时，甲对绳的拉力一定大于乙对绳的拉力 【例6】物体静止在斜面上，以下几种分析中正确的是D A．物体受到的静摩擦力的反作用力是重力沿斜面的分力 B．物体所受重力沿垂直于斜面的分力就是物体对斜面的压力

C．物体所受重力的反作用力就是斜面对它的静摩擦力和支持力这两个力的合力 D．物体受到的支持力的反作用力，就是物体对斜面的压力 【例7】物体静止于水平桌面上，则

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Ａ．桌面对物体的支持力的大小等于物体的重力，这两个力是一对平衡力 Ｂ．物体所受的重力和桌面对它的支持力是一对作用力与反作用力 Ｃ．物体对桌面的压力就是物体的重力，这两个力是同一种性质的力 Ｄ．物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对平衡的力 三、牛顿第二定律

1．定律的表述

物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，即F=ma （其中的F和m、a必须相对应）

特别要注意表述的第三句话。因为力和加速度都是矢量，它们的关系除了数量大小的关系外，还有方向之间的关系。明确力和加速度方向，也是正确列出方程的重要环节。

若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不是物体的实际加速度。

2．对定律的理解：

（1）瞬时性：加速度与合外力在每个瞬时都有大小、方向上的对应关系，这种对应关系表现为：合外力恒定不变时，加速度也保持不变。合外力变化时加速度也随之变化。合外力为零时，加速度也为零

（2）矢量性：牛顿第二定律公式是矢量式。公式a?F只表示加速度与合外力的大小关系.m矢量式的含义在于加速度的方向与合外力的方向始终一致.

（3）同一性：加速度与合外力及质量的关系，是对同一个物体（或物体系）而言，即 F与a均是对同一个研究对象而言.

（4）相对性；牛顿第二定律只适用于惯性参照系 3．牛顿第二定律确立了力和运动的关系

牛顿第二定律明确了物体的受力情况和运动情况之间的定量关系。联系物体的受力情况和运动情况的桥梁或纽带就是加速度。

4．应用牛顿第二定律解题的步骤

①明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为mi，对应的加速度为ai，则有：F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan

对这个结论可以这样理解：先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律：∑F1=m1a1，∑F2=m2a2，……∑Fn=mnan，将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现并且大小相等方向相反的，其矢量和必为零，所以最后得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。

②对研究对象进行受力分析。同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。

③若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则（或三角形定则）解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题（注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。

④当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。 例9：如图，质量m=4kg的物体与地面间的动摩擦因数为μ=0.5，F θ 在与水平成θ=37°角的恒力F作用下，从静止起向右前进t1=2.0s后撤去F，又经过t2=4.0s物体刚好停下。 求：F的大小、最大速度vm、总位移s。 (54.5 20 60 )

四、超重和失重问题

升降机中人m =50kg，a=2 m/s向上或向下，求秤的示数 N 1、 静止或匀速直线 N＝mg

视重＝重力 平衡 a = 0

2、 向上加速或向下减速，a向上 N N－mg＝ma a ∴N＝mg＋ma

视重＞重力 超重 mg 3、 N 向下加速或向上减速，a向下 mg－N＝ma

∴N＝mg－ma 视重＜重力 失重

4， 如果a＝g向下，

则N＝0 台秤无示数

完全失重 注意：

①、物体处于“超重”或“失重”状态，地球作用于物体的重力始终存在，大小也无变化； ②、发生“超重”或“失重”现象与物体速度方向无关，只决定于物体的加速度方向；

③、在完全失重状态，平常一切由重力产生的物理现象完全消失。如单摆停摆、浸在水中的物体不

受浮力等。

五、牛顿定律的适用范围：

（1） 只适用于研究惯性系中运动与力的关系，不能用于非惯性系； （2） 只适用于解决宏观物体的低速运动问题，不能用来处理高速运

动问题；

（3） 只适用于宏观物体，一般不适用微观粒子。

例10、如图所示，升降机内质量为m的小球用轻弹簧系住，悬在升降机内，当升降机以a=

g加速度减速上升时，秤系数为（ A ） 3A、2mg/3 B、mg/3 C、4mg/3 D、mg

例10、如图所示，电梯中有一桶水，水面上漂浮一木块，其质量为m，静止时木块一部分浸在水中，当电梯以a加速上升时，问木块浸在水中的深度如何变化？（不变） 注意：

①、电梯加速运动时，水也处在超重状态；

②、物体所受浮力是物体上、下表面受到的水的压力差f=m（g?a）V排 ③、

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第2单元 牛顿运动定律的应用

一、牛顿运动定律在动力学问题中的应用

1．运用牛顿运动定律解决的动力学问题常常可以分为两种类型

（1）已知受力情况，要求物体的运动情况．如物体运动的位移、速度及时间等． （2）已知运动情况，要求物体的受力情况（求力的大小和方向）．

但不管哪种类型，一般总是先根据已知条件求出物体运动的加速度，然后再由此得出问题的答案．常用的运动学公式为匀变速直线运动公式，

2式可得v0?2?gs得??0.09，t1=3.3s

（2）在斜面上运动的时间t2=

2h?0.8s，t=t1+t2=4.1s 2gsin?vt?v0?at,s?v0t?122sv?vt2at,vt?v0?2as,v??0?vt/2等. 2t2【例3】静止在水平地面上的物体的质量为2 kg，在水平恒力F推动下开始运动，4 s末它的

速度达到4m/s，此时将F撤去，又经6 s物体停下来，如果物体与地面的动摩擦因数不变，求F的大小。

解析：物体的整个运动过程分为两段，前4 s物体做匀加速运动，后6 s物体做匀减速运动。

前4 s内物体的加速度为a1?2．应用牛顿运动定律解题的一般步骤

（1）认真分析题意，明确已知条件和所求量，搞清所求问题的类型.

（2）选取研究对象.所选取的研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的整体.同一题目，根据题意和解题需要也可以先后选取不同的研究对象.

（3）分析研究对象的受力情况和运动情况.

（4）当研究对象所受的外力不在一条直线上时：如果物体只受两个力，可以用平行四边形定则求其合力；如果物体受力较多，一般把它们正交分解到两个方向上去分别求合力；如果物体做直线运动，一般把各个力分解到沿运动方向和垂直运动的方向上.

（5）根据牛顿第二定律和运动学公式列方程，物体所受外力、加速度、速度等都可根据规定的正方向按正、负值代入公式，按代数和进行运算.

（6）求解方程，检验结果，必要时对结果进行讨论. 3．应用例析 【例1】一斜面AB长为10m，倾角为30°，一质量为2kg的小物体（大小不计）从斜面顶

2

端A点由静止开始下滑，如图所示（g取10 m/s）若斜面与物体间的动摩擦因数为0.5，求小物体下滑到斜面底端B点时的速度及所用时间．

【例2】如图所示，一高度为h=0.8m粗糙的水平面在B点处与一倾角为θ=30°光滑的斜面BC连接，一小滑块从水平面上的A点以v0=3m/s的速度在粗糙的水平面上向右运动。运动到B点时小滑块恰能沿光滑斜面下滑。已知AB间的距离s=5m，求：

（1）小滑块与水平面间的动摩擦因数； （2）小滑块从A点运动到地面所需的时间；

解析：（1）依题意得vB1=0，设小滑块在水平面上运动的加速度大小为a，则据牛顿第二定律可得f=μmg=ma，所以a=μg，由运动学公

v?04?m/s2?1m/s2 ① t14设摩擦力为F?，由牛顿第二定律得F?F??ma1 ② 后6 s内物体的加速度为a2?0?v?42?m/s2??m/s2 ③ t263物体所受的摩擦力大小不变，由牛顿第二定律得 ?F??ma2 ④ 由②④可求得水平恒力F的大小为 F?m(a1?a2)?2?(1?2)N?3.3N 3

二、整体法与隔离法

1．整体法：在研究物理问题时，把所研究的对象作为一个整体来处理的方法称为整体法。采用整体法时不仅可以把几个物体作为整体，也可以把几个物理过程作为一个整体，采用整体法可以避免对整体内部进行繁锁的分析，常常使问题解答更简便、明了。

运用整体法解题的基本步骤：

①明确研究的系统或运动的全过程.

②画出系统的受力图和运动全过程的示意图.

③寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解

2．隔离法：把所研究对象从整体中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。可以把整个物体隔离成几个部分来处理，也可以把整个过程隔离成几个阶段来处理，还可以对同一个物体，同一过程中不同物理量的变化进行分别处理。采用隔离物体法能排除与研究对象无关的因素，使事物的特征明显地显示出来，从而进行有效的处理。

运用隔离法解题的基本步骤：

①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象.选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少.

- 15 -

②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来. ③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图.

④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解.

3．整体和局部是相对统一的，相辅相成的。

隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成.

4．应用例析

【例4】如图所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A、B间的弹力FN。

解析：这里有a、FN两个未知数，需要要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B、（A+B）为对象较为简单（它们在水平方向上都只受到一个力作用）。可得FN?第3单元 解析典型问题

问题1：必须弄清牛顿第二定律的矢量性。

牛顿第二定律F=ma是矢量式，加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。在解题时，可以利用正交分解法进行求解。

例1、如图1所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上运动

y时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的

FN x Ff 多少倍？ x a分析与解：对人受力分析，他受到重力mg、支持力FN和摩擦力ay mgFf作用，如图1所示.取水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，

ax 300 此时只需分解加速度，据牛顿第二定律可得：

Ff=macos300, FN-mg=masin300 图1

因为

mBF

mA?mBFfFN63. ?，解得?mg5mg5点评：这个结论还可以推广到水平面粗糙时（A、B与水平面间μ

相同）；也可以推广到沿斜面方向推A、B向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。

【例5】如图所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的

11，即a=g，则小球在下滑的过22程中，木箱对地面的压力为多少？

解法一：（隔离法）

mg-Ff=ma ① FN -Ff′-Mg=0 ②

且Ff=Ff′ ③ 由①②③式得FN=

2M?mg 22M?mg. 2由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为 FN′=FN =

解法二：（整体法）

对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式： （mg+Mg）-FN = ma+M×0

2M?mg，由牛顿第三定律知： 22M?m木箱对地面压力FN′=FN=g.

2故木箱所受支持力：FN=

另例： 如图所示，在箱内倾角为α的固定光滑斜面上用平行于斜面的细线固定一质量为m的木块。求：⑴箱以加速度a匀加速上升，⑵箱以加速α 度a向左匀加速运动时，线对木块的拉力F1和斜面对箱的压力F2各多大？ 解：⑴a向上时，由于箱受的合外力竖直向上，重y F v F2 力竖直向下，所以F1、F2的合力F必然竖直向上。ay F2 a 可先求F，再由F1=Fsinα和F2=Fcosα求解，得到： F1

F1 x F1=m(g+a)sinα，F2=m(g+a)cosα ax Gx a v 显然这种方法比正交分解法简单。

G

Gy G ⑵a向左时，箱受的三个力都不和加速度在一条直

线上，必须用正交分解法。可选择沿斜面方向和垂直于斜面方向进行正交分解，（同时正交分解a），然后分别沿x、y轴列方程求F1、F2： F1=m(gsinα-acosα)，F2=m(gcosα+asinα)

还应该注意到F1的表达式F1=m(gsinα-acosα)显示其有可能得负值，这意味这绳对木块的力是推力，这是不可能的。这里又有一个临界值的问题：当向左的加速度a≤gtanα时F1=m(gsinα-acosα)沿绳向斜上方；当a>gtanα时木块和斜面不再保持相对静止，而是相对于斜面向上滑动，绳子松弛，拉力为零。

问题2：必须弄清牛顿第二定律的瞬时性。

牛顿第二定律是表示力的瞬时作用规律，描述的是力的瞬时作用效果—产生加速度。物体在某一时刻加速度的大小和方向，是由该物体在这一时刻所受到的合外力的大小和方向来决定的。当物体所受到的合外力发生变化时，它的加速度随即也要发生变化，F=ma对运动过程的每一瞬间成立，加速度与力是同一时刻的对应量，即同时产生、

L1 θ 同时变化、同时消失。

L2 图2(a)

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例2、如图2（a）所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。

（l）下面是某同学对该题的一种解法：

分析与解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡,有

T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2， T2＝mgtanθ

剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。

你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。

（2）若将图2(a)中的细线L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，

L1 如图2(b)所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（l）完全相同，

θ 即 a＝g tanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。

L2 分析与解：（1）错。因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化。剪断瞬时物体的加速度a=gsinθ.

图2(b) （2）对。因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度来不及发生变化，

其大小和方向都不变。

问题3：必须弄清牛顿第二定律的独立性。

当物体受到几个力的作用时，各力将独立地产生与其对应的加速度（力的独立作用原理），而物体表现出来的实际加速度是物体所受各力产生加速度叠加的结果。那个方向的力就产生那个方向的加速度。

m 例3、如图3所示，一个劈形物体M放在固定的斜面上，上表面水平，

M 在水平面上放有光滑小球m，劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜

面前的运动轨迹是：C

A．沿斜面向下的直线 B．抛物线

C．竖直向下的直线 D.无规则的曲线。 图3 问题4：必须弄清牛顿第二定律的同体性。 F F 加速度和合外力(还有质量)是同属一个物体的，所以解题时一定要把研究对象确定好，把研究对象全过程的受力情况都搞清楚。 (m+M)g 例4、一人在井下站在吊台上，用如图4所示的定滑轮图5 装置拉绳把吊台和自己提升上来。图中跨过滑轮的两段绳都

F 认为是竖直的且不计摩擦。吊台的质量m=15kg,人的质量为图4

FN M=55kg,起动时吊台向上的加速度是a=0.2m/s2,求这时人对吊台的压力。(g=9.8m/s2) a

分析与解：选人和吊台组成的系统为研究对象，受力如图5所示，F为绳的拉

Mg 力,由牛顿第二定律有：2F-(m+M)g=(M+m)a

图6

则拉力大小为：F?(M?m)(a?g)?350N

2再选人为研究对象，受力情况如图6所示，其中FN是吊台对人的支持力。由牛顿第二定律得：F+FN-Mg=Ma,故FN=M(a+g)-F=200N.

由牛顿第三定律知，人对吊台的压力与吊台对人的支持力大小相等，方向相反，因此人对吊台的压力大小为200N，方向竖直向下。

问题5：必须弄清面接触物体分离的条件及应用。

相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。

例5、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图7所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

图7 m(g?a)当N=0时，物体与平板分离，所以此时x?

k因为x?12at，所以t?22m(g?a)。

ka例6、一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。现给P施加一个竖直向

F 上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）

分析与解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘的质量m1=1．5kg，所以此时弹簧不能处于原长，这与例2轻盘不同。设在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离为x,对物体P据牛顿第二定律可得： F+N-m2g=m2a

对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得： 图9

?(m?m2)g?F?k?1?x??(m1?m2)g?(m1?m2)a

k??令N=0，并由述二式求得x?m2g?m1a12，而x?at，所以求得a=6m/s2.

2k当P开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P整体有Fmin=(m1+m2)a=72N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m2(a+g)=168N. 问题6：必须会分析临界问题。

例7、如图10，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物

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图10

体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则：

A．Ａ物体3s末时的加速度是初始时的5／11倍； B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动； C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零；

D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。

分析与解：对于A、B整体据牛顿第二定律有：FA+FB=(mA+mB)a,设A、B间的作用为N，则对B据牛顿第二定律可得： N+FB=mBa

解得N?mB有不同的速度和加速度。以质点组为研究对象的好处是可以不考虑组内各物体间的相互作用.

M 例9、用质量为m、长度为L的绳沿着光滑水平面拉动质量F m 为M的物体，在绳的一端所施加的水平拉力为F， 如图14所示，求：

图14 (1)物体与绳的加速度； (2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀，下垂度

可忽略不计。)

分析与解：(1)以物体和绳整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F=（M+m）a,解得a=F/(M+m).

(2)以物体和靠近物体x长的绳为研究对象，如图15所示。根据牛顿第二定律可得：Fx=(M+mx/L)a=(M+

FA?FB16?4t?FB?N

mA?mB3M

mx Fx 当t=4s时N=0，A、B两物体开始分离，此后B做匀加速直线运动，而A做加速度逐渐减小的加速运动，当t=4.5s时A物体的加速度为零而速度不为零。t＞4.5s后,Ａ所受合外力反向，即A、

mFx) . LM?m由此式可以看出：绳中各处张力的大小是不同的，当x=0时，绳施于物体M的力的大小为

图15

FA?FBa?B的加速度方向相反。当t<４s时，A、B的加速度均为。

mA?mB综上所述，选项A、B、D正确。

例8、如图11所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度a= 向左运P 动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g的加速度向左运动时，线中拉力T= 。

a 分析与解：当滑块具有向左的加速度a时，小球受重力mg、绳

A 450 的拉力T和斜面的支持力N作用，如图12所示。

在水平方向有Tcos450-Ncos450=ma; 在竖直方向有

图11

00

Tsin45-Nsin45-mg=0.

T m(g?a)m(g?a)N ,T?由上述两式可解出：N? 002sin452cos45450 由此两式可看出，当加速度a增大时，球受支持力N减小，绳拉

a 力T增加。当a=g时，N=0，此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于

mg 临界状态。这时绳的拉力T=mg/cos450=2mg.

图12 T 当滑块加速度a>g时，则小球将“飘”离斜面，只受两力作用，如图13所示，此时细线与水平方向间的夹角α<450.由牛顿第二定律得：Tcos

22α=ma,Tsinα=mg,解得T?ma?g?MF。

M?mA 例10、如图16所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一轻环，B

θ 环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，

L m 现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当细绳与AB成θ角时，小球速度的水平分量和竖直分量的大小各是多少？轻环移动图16 距离d是多少？

分析与解：本题是“轻环”模型问题。由于轻环是套在光滑水平横杆上的，在小球下落过程中，由于轻环可以无摩擦地向右移动，故小球在落到最低点之前，绳子对小球始终没有力的作用，小球在下落过程中只受到重力作用。因此，小球的运动轨迹是竖直向下的，这样当绳子与横杆成θ角时，小球的水平分速度为Vx=0,小球的竖直分速度Vy?2gLsin?。可求得轻环移动的距离是

α a mg 图13

d=L-Lcosθ.

例11. 如图所示，mA=1kg，mB=2kg，A、B间静摩擦力的最大值是5N，水

A 平面光滑。用水平力F拉B，当拉力大小分别是F=10N和F=20N时，A、BB F 的加速度各多大？

解：先确定临界值，即刚好使A、B发生相对滑动的F值。当A、B间的静

摩擦力达到5N时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经

2

发生了相对滑动，A在滑动摩擦力作用下加速运动。这时以A为对象得到a =5m/s；再以A、B系统为对象得到 F =（mA+mB）a =15N

⑴当F=10N<15N时， A、B一定仍相对静止，所以aA?aB?5mg。

问题7：必须会用整体法和隔离法解题。

在应用牛顿第二定律解题时，有时为了方便，可以取一组物体（一组质点）为研究对象。这一组物体一般具有相同的速度和加速度，但也可以

F?3.3m/s2

mA?mB⑵当F=20N>15N时，A、B间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：

- 18 -

F?mAaA?mBaB，而a A =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2

问题8：必须会分析与斜面体有关的问题。（系统牛顿第二定律）

例12. 如图，倾角为α的斜面与水平面间、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。

解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，整体法：Ff?mg(sin???cos?)cos?

共用时间 t?t1?t2?1SV2 摩擦力对零件做功 W?mV ?2V2?gｏ

α FN=Mg+mg(cosα+μsinα)sinα

例13、（难）如图17所示，水平粗糙的地面上放置一质量为M、倾角为θ的斜面体，斜面体表面也是粗糙的有一质量为m的小滑块以初速度V0由斜面底端滑上斜面上经过时间t到达某处速度为零，在小滑块上滑过程中斜面体保持不动。求此过程中水平地面对斜面体的摩擦力与支持力各为多大？

y 分析与解：取小滑块与斜面体组成的系统为研究对象，系统受到V0 m 的外力有重力(m+M)g/地面对系统的支持力N、静摩擦力f(向下)。建M θ x 立如图17所示的坐标系，对系统在水平方向与竖直方向分别应用牛顿第二定律得：

图17

－f=0－mV0cosθ/t, [N－(m+M)g]=0－mV0sinθ/t 所以f?例15、（难）如图19所示，传送带与地面的倾角θ=37，从A到B的长度为16ｍ，传送带以V0=10m/s的速度逆时针转动。在传送带上端无初速的放一个质量为0.5㎏的物体，它与传送带之间的动摩擦

ｏｏ

因数μ=0.5，求物体从A运动到B所需的时间是多少？(sin37=0.6,cos37=0.8)

分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图20（a）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图20(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变” 。

开始阶段由牛顿第二定律得:ｍｇsinθ＋μｍｇcosθ=ｍa1;

2

所以:a1=ｇsinθ＋μｇcosθ=10m/s;

物体加速至与传送带速度相等时需要的时间ｔ1＝ｖ／a1＝1s;发生的位移：

2

ｓ＝a1ｔ1/2＝5ｍ＜16ｍ;物体加速到10m/s 时仍未到达B点。

2

第二阶段，有：ｍｇsinθ－μｍｇcosθ＝ｍa2 ;所以：a2＝2m/s ;设第二阶段物体滑动到B 的

2/

时间为t2 则：LAB－S＝ｖｔ2＋a２ｔ2/2 ；解得：t2＝1s , ｔ2=-11s （舍去）。故物体经历的总时间ｔ=t1＋t 2 =2s .

A N a1 N f2 B a2 f1 ω (a) mg mg

(b)

图 19 图 20

mV0cos?mV0sin?，方向向左；N?(m?M)g?。 ttP V S 图18

Q 问题9：必须会分析传送带有关的问题。

例14、如图18所示，某工厂用水平传送带传送零件，设两轮子圆心的距离为S，传送带与零件间的动摩擦因数为μ，传送带的速度恒为V，在P点轻放一质量为m的零件，并使被传送到右边的Q处。设零件运动的后一段与传送带之间无滑动，则传送所需时间为

，摩擦力对零件做功为 .

分析与解：

由于f=μmg=ma,所以a=μg.

2

- 19 -

加速时 t1?VV121V? 加速位移 S1?at1? a?g22?g 通过余下距离所用时间 t2?

S?S1SV ??VV2?g第四章 机械能

③用动能定理W =ΔEk 或功能关系 5、变力做功的计算

①动能定理

②用平均值代替公式中的F。如果力随位移是均匀变化的，则平均值 F =

F1?F2 2③F～S图象中面积＝功 ④W = Pt

【例2】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（ D ）

A．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大 B．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大 C．两过程中拉力做的功一样大 D．上述三种情况都有可能

第1单元 功和功率

一、功

1．功：力对空间积累效应,和位移相对应（也和时间相对应）。功等于力和沿该力方向上的位移的乘积。求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的 2、功的正负

0

①0≦θ≦90时， W＞0 正功 利于物体运动，动力

0

②、 θ＝90 时， W＝0 零功 不做功

00

③、 90≦θ≦180 时 W＜0 负功 阻碍物体运动，阻力

【例1】质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（A、C、D ） [注意功是怎样改变能量的]

A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功 C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功 3、功是标量

符合代数相加法则，功的正负不具有方向意义，只能反映出该力是有利于物体运动，还是阻碍物体运动，是动力还是阻力。 4、合力功的计算

①w合 = F合×S COSθ

②w合 = 各个力的功的代数和

11W1?F1?s1?m(g?a)?at2?m(g?a)at222解析： ①

W2?F2s2?mgat2 ②

比较①、②知：当a>g时，W1?W2；当a=g时，W1?W2；当a

6．一对作用力和反作用力做功的特点

（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。

（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做总功可能为正、可能为负、可能为零。 （3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。

拓展：作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等，方向相反，矢量和为零。 7．功的物理含义

关于功不仅要从定义式W=Fs cos α 进行理解和计算， 还应理解它的物理含义． 功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化．对物体做正功，物体的能量增加．做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功，物体的能量就减少多少．因此功的正、负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量． 8、区别保守力和非保守力做功的不同:与路径有无关系 二、功率 ——功率是描述做功快慢的物理量。

⑴功率的定义式：P?W，所求出的功率是时间t内的平均功率。 t⑵功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时

- 20 -

刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。P的正负取决于cosθ的正负，即功的正负

【例3】 质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g取

10m/s2）

121gt??10?22?20m，WG?mgh?0.5?10?20?100J， 22W?50W， 2s末速度vt?gt?10?2m/s?20m/s， 平均功率P?t解析：前2s，h?2s末即时功率P?mgvt?100W。

⑶重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。

⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma

v

①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随a 着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加

f F PPmm速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值vm?。可见恒定?Ff功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因

为F为变力）。

②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速

PP运动结束，其最大速度为vm此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速??m?m?vm，Ff运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F?s计算，

不能用W=P?t计算（因为P为变功率）。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

【例4】质量为m、额定功率为P的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2

解析：①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。以最大速度行驶时，根据P =Fv，可求得F =4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。

②设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v =a t =2t，这时汽车的功率为额定功率。由P =Fv，将F =8000N和v =2 t代入得t =5s。

③由于3s时的速度v =at =6m/s，而牵引力由F—Ff =m a得F = 8000N，故此时的功率为P = Fv = 4.8×104W。

④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引

5

力的功为W = Pt = 40000×5J=2×10J. 三、针对训练

1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=T时刻F的功率是（ ）

F2T2F2TA． B．

mmF2T C．

2mF2T2 D．

2m2．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ ）

A．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大 B．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小

C．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，发动机的功率这时应减小

D．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比

3．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系（ ）

A．W1?W2、P1?P2 B．W1?W2、P1?P2 C．W1?W2、P1?P2 D．W1?W2、P1?P2

4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（ ）

2

A．物体加速度大小为2 m/sB．F的大小为21N

C．4s末F的功率大小为42W D．4s内F做功的平均功率为42W

5．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少?

P(v1?v2)P11PP， F? 得 a?(?)? v1v2mv1v2mv1v2【例5】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若

2

汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s，运动中的阻力不变。求：①汽车所受阻力的大小。②汽车做匀加速运动的时间。③3s末汽车的瞬时功率。④汽车在匀加速运动中牵引力

- 21 -

6．如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功

1、重力势能（Ep）?举高。物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。 Ep＝m g h （h是重心相对于零势能面的高度） （1）、相对性 ①“零高度”或“零势能面”，（大地或最低点） ②势能的正负和大小是相对于零势能面的 ③势能的正负和大小于零势能面的选取有关 （2）重力势能变化量的绝对性——

①跟物体的初位置的高度和末位置的高度有 关，跟物体运动的路径无关。 ②重力势能改变量与零势能面的选取无关 ③重力势能的改变量与路径无关

（3）重力势能的改变——重力做正功，重力势能减 小，重力做负功，重力势能增大（等值变化）

2、弹性势能（Ep）?弹性形变

发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。 三、动能定理

1． 动能定理的推导

物体只在一个恒力作用下，做直线运动

第2单元 动能 势能 动能定理

一、动能

1．动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。其表达式为：Ek?V22?V121212 w＝FS＝m a × 即 w＝mv2?mv1

222a推广： 物体在多个力的作用下、物体在做曲线运动、物体在变力的作用下 结论： 合力所做的功等于动能的增量 w?112mv2?mv12 合力做正功动能增加，合力2212mv。 2做负功动能减小

注：动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

【例1】 一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在力的方向上获得的速度分别为v1、v2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为

A．

2．对动能的理解

（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应．动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值．

（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关．如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。

3．动能与动量的比较

（1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量，

12111mv B．mv2 C．mv2 D．mv2

3642错解：在分力F1的方向上，由动动能定理得

W1?11v12mv1?m()2?mv2，故A正确。 222cos30?612mv，某个分力的功为2正解：在合力F的方向上，由动动能定理得，W?Fs?12p2Ek?mv＝ 或 p?2mEk

22m（2）动能是标量，动量是矢量。物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则

其动量不一定变化。

（4）动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。

二、势能（位能）

W1?F1scos30??F11scos30??Fs?mv2，故B正确。

2cos30?24

2．对外力做功与动能变化关系的理解：

外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功． 功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化．所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量．即 ．

3．应用动能定理解题的步骤

- 22 -

（1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。

（2）对研究对象受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 （3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负） （4）写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。

【例2】 将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。

解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

11122?2f?mg mv0，可得H=v0/2g，mgH?mv0和0.8?mg?f?H422再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：f?2?0.8H?112mv0?mv2，解得v?223v0 5四、动能定理的综合应用

1．应用动能定理巧求变力的功

如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

【例5】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．

解析：设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则据动能定理可得：

W?mgh?【例3】如图所示，质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10停止，则

（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？

（2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。

解析：（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0。取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考

111平面，则重力的功WG=mgh，阻力的功WF=? Ff h， 代入得

1Hmv2 因绳总长不变，所以： h??H 2sin?根据绳联物体的速度关系得：v=vBcosθ 由几何关系得：??由以上四式求得： W??4

12mvB?mg(2?1)H 41010111mgh?Ff h=0，故有Ff /mg=11。即所求倍数为11。 1010 （2）设钢珠在h处的动能为EK，则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=△EK =0，进一步展开为9mgh/8—Ff h/8= —EK，得EK=mgh/4。

【例4】 质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以

v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出， 木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求

木块与台面间的动摩擦因数为μ。

解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有

机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：

子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，

有：?MgL?2．应用动能定理简解多过程问题。

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。

【例7】 如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

解析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：

2mgS0sin??11202mv mgS0sin???mgLcos??0?mv0得L?

2?mgcos?112Mv12?Mv2……②

22木块离开台面后平抛阶段，s?v2

2hg…③ ， 由①、②、③可得μ=0.50

3．利用动能定理巧求动摩擦因数

【例8】 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。

解析：滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，

- 23 -

设滑块质量为m，动摩擦因数为?，斜面倾角为?，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得：

mgh??mgcos??s1h??mgs2?0s1?s2?s 由以上两式得??

scos?从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。

4．利用动能定理巧求机车脱钩问题

【例9】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？ 解：对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：

12FL?k(M?m)gs1??(M?m)v0对

2车尾，脱钩后用动能定理得：

?kmgs2??12mv0 2ML。

M?m而?s?s1?s2，由于原来列车匀速，所以F=kMg，以上方程解得?s?

五、针对训练

1．质量为m的物体，在距地面h高处以g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中正确的是

5．如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出……，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁相碰时不损失能量）

（1）小球第一次离槽上升的高度h；

（2）小球最多能飞出槽外的次数（取g=10m/s2）。

11A.物体的重力势能减少mgh B.物体的动能增加mgh

3311C.物体的机械能减少mgh D.重力做功mgh

332．质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空

气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为

A.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL

3．如图所示，木板长为l，板的A端放一质量为m的小物块，物 块与板间的动摩擦因数为μ。开始时板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物块始终保持与板相对静止。对于这个过程中 各力做功的情况，下列说法正确的是 ( )

A、摩擦力对物块所做的功为mglsinθ(1-cosθ)

B、弹力对物块所做的功为mglsinθcosθ C、木板对物块所做的功为mglsinθ D、合力对物块所做的功为mgl cosθ

4．质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，求：(1)飞机受到的升力大小;(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能.

- 24 -

第3单元 机械能守恒定律

一、机械能守恒定律

1、 条件

⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。（和只受到重力不同）

⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。 (3) 其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧） 2、对机械能守恒定律的理解：

①“守恒”是时时刻刻都相等。 ② “守恒”是“进出相等” ③要分清“谁”、“什么时候”守恒 ④、是否守恒与系统的选择有关 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

3、机械能守恒定律的各种表达形式

⑴初状态 = 末状态 ⑵ 增加量 = 减少量

用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。 4、解题步骤

⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。 5、动能定理与机械能守恒的联系

1、 动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统 2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制 3、 动能定理有时可改写成守恒定律 二、机械能守恒定律的综合应用

例1、如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的

AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，O 求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。

B 解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦

和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

A A O O v1/2 ⑴过A α O θ θ 程中A的

重力势能

α B 减少， A、B B B的动能

v1 和B的重力势能增⑴ ⑵ ⑶ 加，A的即

左偏了α角。2mg?2Lcosα=3mg?L（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，

112?2m??2v???3m?v2=2mg?2Lsinθ-3mg?L（1-cosθ） 224gL=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mg?L，解得vm?

11

例2、如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？

解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，A、B两球通过的路程相等，

A上升的高度为h?R；B球下降的高度为H?由机械能守恒定律得：??EP??EK ；

2?R?R?；对于系统，42??EP??Mg?R2?RMg?2mgR ?vc?M?m?mgR?1(M?m)v2 2

例3、如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的

1悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链541LL11mg2L?mg(2L?)?mg?mv2 得：v?74gL 5510225下端刚要着地时的速度？ 解：选取地面为零势能面：

11v?8gL时速度总是B的2倍。2mg?2L?3mg?L??2m?v2??3m? ??，解得v?1122?2?⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向

2

例4、如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？

K （管的内部横截面很小，摩擦忽略不计）

解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则

L1mg???8m?v2，得v?gL。

228点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

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例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？

解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为

112?mvC?mg2R?mv?22取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律2②

由①、②两式消去v′，可得vC?5gR

同理可得小球滑过D点时的速度vD?5gr，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用

12m1mv0?2?RgR?mv2 2L2?g要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有v0?2R

Lm，则据机械能守恒定律得：

例6、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？

解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线

运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。

1212mvD?mvC22动能定理，

5(R?r)l?v2? 将C、vD代入，可得

??mgl?

三、针对训练

1．将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（ ）

A．t上>t下，?E上>?E下 B．t上

C．t上

tt?E上=?E下

v2mg?mR① 根据题意，在C点时，满足

112mv2?mvB22从B到C过程，由机械能守恒定律得②

12R?gt2v?5gR 从C回到A过程，满足2由①、②式得B③

?mg2R?水平位移s=vt，

2．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜和上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则（ ）

A．hA?hB?hC B．hA?hB?hC

C．hA?hB?hC D．hA?hB,hA?hC

3．质量相同的两个小球，分别用长为l和2 l的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（ ）

A．两球运动的线速度相等 B．两球运动的角速度相等 C．两球运动的加速度相等 D．细绳对两球的拉力相等

4．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（ ）

A．上抛球最大 B．下抛球最大 C．平抛球最大 D．三球一样大

5．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为vm，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点处的速度为________，在远地点处的速度为______。

v?gR④ 由③、④式可得s=2R

2从A到B过程，满足2as?vB⑤ ∴

a?5g4

例7、如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。

解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为

，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运

v?2mg?mR① 动公式有

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第4单元 功能关系 动量能量综合

一、功能关系

功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其它=ΔE机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能守恒定律。

⑷物体电势能的改变由重力做的功来量度。 （5）弹性势能的改变由弹力做功来完成

F （6）一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于v

摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f ?d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。 a

【例1】 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个G 过程中，下列说法中正确的有A、C

A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH C.物体的机械能增加了FH

D.物体重力势能的增加小于动能的减少

A 【例2】 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置

B 有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受

C 弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的

是（B、C、D）

A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大

C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 二、动量能量综合问题

我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机a b c 械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。

【例3】 如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有

A．它们同时到达同一水平面 B．重力对它们的冲量相同 C．它们的末动能相同 D．它们动量变化的大小相同

变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。

【例4】 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？

解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水

p2平动量守恒，由动能和动量的关系式EK?知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量

2m2成反比，炮弹的动能E1?1mv12?E,E2?1mv2?2等于抛出时初速度之比?s2?v2?sv1ME，由于平抛射高相等，两次射程的比

2M?mMM

?s2?sM?mM?m【例5】 质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑v m 水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦

因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？

解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对

2Mmv2静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是Q?；当M=m时，显

M?m然最终共同速度为零，当M

墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能Q?1?M?m?v2 2【例6】 用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v＝ 6 m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大? （2）弹性势能的最大值是多大?

（3）A的速度有可能向左吗?为什么?

解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v＝（mA+mB+mC）vA′

解得 vA′=

(2?2)?6 m/s=3 m/s

2?2?42?6=2 m/s 2?4

（2）B、C碰撞时B、C系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则 mBv=（mB+mC）v′ v′=

2h解析：b、c飞行时间相同（都是；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；

g）

但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量

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设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，

211?221根据能量守恒Ep=（mB+mC）v? +mAv-（mA+mB+mC）vA 222=

111×（2+4）×22+×2×62-×（2+2+4）×32=12 J 222（2）两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移Δs＝L-d 由功能关系可得：FΔs=

（3）A不可能向左运动

系统动量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB

设 A向左，vA＜0，vB＞4 m/s 则作用后A、B、C动能之和

111mAvA2+（mB+mC）vB2＞（mB+mC）vB2=48 J 2221?2实际上系统的机械能 E=Ep+（mA+mB+mC）·vA=12+36=48 J

2根据能量守恒定律，E?＞E是不可能的

E′=

【例7】 如图所示，滑块A的质量m＝0.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01 kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2 m，线长分别为L1、L2、L3…（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开始时，滑块以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰

（1）滑块能与几个小球碰撞?

（2）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式. 解析：（1）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s0，有

111mBvB02-（mAvA2+mBvB2）② 代人数据解得F=2.25 N 222mv（3）根据动量定理，对A球有：Ft=mAvA-0 t=AA

F32代入数值解得t= s=3.56 s

9

三、针对训练

1．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间Δt1内动能由0增大到E1，在时间Δt2内动能由E1增大到E2.设合力在Δt1内做的功是W1、冲量是I1；在Δt2内做的功是W2、冲量是I2.那么

A.I1＞I2，W1＝W2 B.I1＜I2，W1＝W2 C.I1＜I2，W1＜W2 D.I1＝I2，W1＜W2

2．如图所示，分别用两个恒力F1和F2先后两次将质量为m的物体从静止开始，沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力F1的方向沿斜面向上，第二次力F2的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这两个过程中

??mgs0?0?s12mv0（个） 得s0＝25 m n?0?12 2s（2）滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为vn′

?2vn1122??2mgLn ① mg?m对小球,有: mvn?mvn ②

22Ln1122对滑块，有：??mgns?mvn?mv0 ③

222v0?2?gsn50?4n解 ①②③三式: Ln? ?5g25

【例8】 如图所示，两个小球A和B质量分别是mA=2.0 kg，mB=1.6 kg.球A静止在光滑水平面上的M点，球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动.假设两球相距L≤18 m时存在着恒定的斥力F，L＞18 m时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距

离为d＝2 m，此时球B的速度是4 m／s.求：

（1）球B的初速度；（2）两球之间的斥力大小；

（3）两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间. 解析：（1）设两球之间的斥力大小是F，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是t0当两球相距最近时球B的速度是vB=4 m/s，此时球A的速度与球B的速度大小相等，vA＝vB＝4 m/s. 由动量守恒定律可得：mBvB0＝mAvA+mBvB ① 代人数据解得vB0＝9 m/s（1分）

A.F1和F2所做功相同 B.物体的机械能变化相同

C.F1和F2对物体的冲量大小相同 D.物体的加速度相同

3．一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长

A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关

D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功

4．如图所示，质量均为M的木块A、B并排放在光滑水平面上，A上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小钉（质量不计）O上系一长度为L的细线，细线的另一端系一质量为m的小球C，现将C球的细线拉至水平，由静止释放，求：

（1）两木块刚分离时，A、B、C速度各为多大？ （2）两木块分离后，悬挂小球的细线与竖直方向的最大夹角多少？

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第五章 曲线运动

第1单元 运动的合成与分解 平抛物体的运动

一、曲线运动

1．曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。物体能否做曲线运动要看力的方向，不是看力的大小。

2．曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。 二、运动的合成与分解(猴爬杆)

1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循四边形定则。

2．求已知运动的分运动，叫运动的分解，解题按实际“效果”分解，或正交分解。 3．合运动与分运动的特征：

①运动的合成与分解符合平行四边形法则。分运动共线时

变成了代数相加减。——矢量性 v1 v ②合运动与分运动具有“同时性”——同时性 a1 ③每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响——独立性 a ④合运动的性质是由分运动决定的——相关性

o v2 ⑤实际表现出来的运动是合运动

a ⑥速度、时间、位移、加速度要一 一对应

⑦运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解)

4．两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？

三、应用举例：

1． 过河问题

例1、一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么： （1）怎样渡河时间最短？

（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？

（3）若VcVs时，船才有可能垂直于河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.

船漂的最短距离为：xmin?(Vs?Vccos?)v1 甲 v2 v1 α 乙 L.

Vcsin?α va α vb

此时渡河的最短位移为：s?LV?sL. cos?VcL.

Vcsin?Vc θV2

图2甲

可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，

V1 Vs Vc θ V Vs 图2乙

2．连带运动问题

【例2】如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2

解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1

【例3】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb 解析：a、b沿杆分速度分别为vacosα和vbsinα ∴va∶vb= tanα∶1

3、会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。

求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的V1 方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

B E VR θ P 例4、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运

动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7V O Vc 所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，图7 α θ Vs 求竖直杆运动的速度。

A 解：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上由于弹力方向沿OP

图2丙

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方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有 V0sin??V1cos?，解得V1=V0.tgθ. 四、平抛运动

当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

1、 （合成与分解的角度）平抛运动基本规律

① 速度：vx?v0，vy?gt 合速度 v?22vx?vy 方向 ：tanθ=

vmin?s/2(h?H)g ?sg2(h?H)vyvx?gt vo实际扣球速度应在这两个值之间。

例6、如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

分析与解：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从

V0 A运动到B处所需的时间为t,则： V0 A 水平位移为x=V0t

Vy1 12B 竖直位移为y=gt θ 2②位移x=vot y=

12yggt 合位移大小：s=x2?y2 方向：tanα=??t 2x2vo2V0tan?12数学关系得到: gt?(V0t)tan?,t?

2g图8

122y③时间由y=gt得t=（由下落的高度y决定）

2x竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

④一个有用的推论

A O v 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速0 B 度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，

则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan??vyvx?2h，所以有s??h?s

tan?2s（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以t1?

V0tan?。 g 第2单元 圆周运动

一、描述述圆周运动物理量：

v0 θ D C vt vy

v 1、线速度＝

s弧长 v＝ 矢量方向――切向

t时间2、平抛运动是匀变速曲线运动

3、平抛中能量守恒

注意：两个分解（位移和速度）和两个物理量（角度和时间）

h 4．应用举例

【例5】 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。

解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度

O vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：

理解：单位时间内通过的弧长

匀速圆周运动不匀速,是角速度不变的运动 可理解为前面学过的即时速度 2、角速度＝

?角度 ?? 矢量方向――不要求 单位：rad / s 弧度/ 秒

t时间s H L vmax??L?s?/

2hg； ?(L?s)g2h 理解：单位时间内转过的角度

3 线速度和角速度是从两个不同的角度去描速同一个运动的快慢

3、周期和频率

周期（T）――物体运动一周所用的时间

A

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1频率（f）――单位时间内完成多少个圆周， 周期倒数(Hz S) T?

f－1

v2 提供的向心力 需要的向心力m

r ＝ 圆周运动 ＞ 近心运动

＜ 离心运动 ＝0 切线运动

1、火车转弯

如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供

转速（n）――单位时间内转过的圈数 （r/s r/min）

【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。 解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4 二、向心力和加速度

c b d a v21、大小F＝m ωr F?m

r2

v2mgtan??m?v?grtan?,v增加，外轨挤压，如果v减小，

r内轨挤压

问题：飞机转弯的向心力的来源

2、汽车过拱桥

N 2、方向： 把力分工—切线方向， 改变速度大小

半径方向， 改变速度方向，充当向心力 注意：区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同 3、来源：一个力、某个力的分力、一些力的合力

mg v2 mgcos??N?m

r mg sinθ = f 如果在最高点，那么

v2 mg?N?m 此时汽车不平衡，mg≠N

r 说明：F＝mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。

v2 补充 ：N?mg?m (抛体运动)

r3、圆锥问题

N v24?22??r?2r?4?2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻向心加速度a：（1）大小：a =rT变化 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 三、应用举例

（临界或动态分析问题）

Nsin??mg

Nco?s?m?r?tan??2g?2r??? g mg rtan?例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。

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1频率（f）――单位时间内完成多少个圆周， 周期倒数(Hz S) T?

f－1

v2 提供的向心力 需要的向心力m

r ＝ 圆周运动 ＞ 近心运动

＜ 离心运动 ＝0 切线运动

1、火车转弯

如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供

转速（n）――单位时间内转过的圈数 （r/s r/min）

【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。 解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4 二、向心力和加速度

c b d a v21、大小F＝m ωr F?m

r2

v2mgtan??m?v?grtan?,v增加，外轨挤压，如果v减小，

r内轨挤压

问题：飞机转弯的向心力的来源

2、汽车过拱桥

N 2、方向： 把力分工—切线方向， 改变速度大小

半径方向， 改变速度方向，充当向心力 注意：区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同 3、来源：一个力、某个力的分力、一些力的合力

mg v2 mgcos??N?m

r mg sinθ = f 如果在最高点，那么

v2 mg?N?m 此时汽车不平衡，mg≠N

r 说明：F＝mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。

v2 补充 ：N?mg?m (抛体运动)

r3、圆锥问题

N v24?22??r?2r?4?2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻向心加速度a：（1）大小：a =rT变化 （3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 三、应用举例

（临界或动态分析问题）

Nsin??mg

Nco?s?m?r?tan??2g?2r??? g mg rtan?例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3r87.html