用向量解决解析几何中角的有关问题

用向量解决解析几何中“角”的有关问题

同济二附中 钱嵘

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量，德国的斯提文（1548?-1620?）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。伽利略（1564-1642）清楚地叙述了这个定律。稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究向量。

向量是高中数学新教材与高中数学课程标准中新增内容，向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发并凝注学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。

向量具有代数与几何形式的双重身份，它可以作为新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与解析几何或三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.

本文主要从“角”的角度关注了一些近年来与向量相关的高考题，浅析了一些命题趋势，希望为向量教学或复习带来一些帮助。 一．用来证明直线间的垂直关系

例题1. （2004湖南文）如图，过抛物线x?4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段AB所成的比为?，证明:QP?(QA??QB)；

解：依题意，可设直线AB的方程为 y?kx?m,

2代入抛物线方程x?4y得x?4kx?4m?0. ①

22设A、B两点的坐标分别是 (x1,y1)、(x2,y2),

则x1,x2是方程①的两根.所以 x1x2??4m.

由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为?， 得

x1??x2x?0,即???1.又点Q是点P关于原点的对称点，

1??x2故点Q的坐标是（0，－m），从而QP?(0,2m).QA??QB?(x1,y1?m)??(x2,y2?m)

?(x1??x2,y1??y2?(1??)m).QP?(QA??QB)?2m[y1??y2?(1??)m]

2x12x1x2xxx?4m?2m[???(1?1)n]?2m(x1?x2)?124x24x24x2?4m?4m?2m(x1?x2)??0.所以 QP?(QA??QB).

4x2

二、用来求直线间的夹角

例题2. （2004年全国卷Ⅱ第21题）给定抛物线C：y?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

解：（Ⅰ）C的焦点为F?1,0?，直线l的斜率是1，所以l的方程为y?x?1，将y?x?12代入方程y?4x，并整理得x?6x?1?0，设A?x,?,?B2x1,y122，则有?2yx1?x2?6,x1x2?1，

OA?OB?x1x2?y1y2?2x1x2??x1?x2??1??3。。

22OAOB?x12?y12?x2?y2?x1x2??x1x2?4?x1?x2??16???41?cos??OA?OBOAOB?341?3，?????arccos，所以OA与OB的夹角的大小为

4141??arccos341。 41

三. 由角的大小确定其他变量的范围

例题3. (2007广东理) 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c?5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

解：(1) AB?(?3,?4), AC?(c?3,?4) 当c=5时，AC?(2,?4)

cos?A?cos?AC,AB??(2)若A为钝角，则

?6?165?25?15 进而sin?A?1?cos?A?225 5AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0 解得c>

2

25 325，+?) 3显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[

例题4. （2004年全国（湖北卷）高考题第19题）如图，在Rt?ABC中，已知BC?a，若长为2a 的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角?取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值。

解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设AB?c,AC?b，则A?0,0?,B?c,0?,C?0,b?。且

PQ?2a,BC?a,y??，设

P?,x?c，y则

Q??,x??,B?C??B??P,??x,?y?,C?Q??xyb?, c,bPQ???2x,?2y?，?BP?CQ??x?c???x??y??y?b????x2?y2??cx?by。

cos??PQ?BCPQ?BC?cx?by222，?cx?by?acos?，?BP?CQ??a?acos?故当2acos??1时，即??0（PQ与BC方向相同）时，BP?CQ最大，其最大值为0。

本题考查了向量的概念、平面向量的运算法则等知识，主要考查了学生作图、识图能力和函数解题的能力。考查了参数法、解析法、整体代换等数学思想方法。解决平面向量与平面几何的有关综合题往往有两种策略。一是，建立坐标系转化代数运算；二是直接运用向量关系式求解。本题中AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC，抓住AB?AC?0，于是BP?CQ可化为?a?AP?AB?AC??a?2??21?PQ?BC 2??a2?a2cos?。

四、由平面向量分解定理探求角平分线

例题5. （2003年江西、天津高考数学试题（理工）第4题）O是平面上一定点，A、B、

??ABAC?，???0,???，则?C是平面上不共线的三点，动点P满足OP?OA????ABAC???点P轨迹一定通过?ABC的（ ）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

因为

ABAB、

ACAC分别是与AB、AC同向的单位向量，由向量加法的平行四边形

法则知

ABAB?ACAC是与?BAC的角平分线（射线）同向的一个向量，又

??ABAC?,???0,???，知点P的轨迹是角?BAC的平分线，OP?OA?AP?????ABAC???从而选B。利用本题的结论和直线方程的点向式可以方便地求出平面解析几何中的角平线所

在直线的方程。角平分线的推广利用向量工具处理与角的有关问题，培养思维变通能力。 类似高考题

1.（05天津卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC |=2,则OC=?????10310?, ??55?

→→→AC→1ABACAB→→→

2.（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC

→→→→|2|AB||AC||AB||AC

A

为( )

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

??B ?ABAC?AB?BCAC?BC解析：?，可知 ??0??BC?0?ABAC?ABAC???由向量的数量积的定义可知，

C

AB?BC?cos???B?AB?AC?BC?cosCAC?0，得到BC?cos???B?+BC?cosC=0

所以，cosC-cosB=0,其中B,C为△ABC内角，则∠C=∠B

故△ABC为等腰三角形； 又由ABAB?ACAC?111?AB?AC??AB?AC?cosA??A?60o 222综上所述，可知△ABC为等边三角形.

说明：本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，在两个向量的数量积的运算中一定要注意夹角，必须是两个向量有共同的起点时所构成的角.

3.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在?ABC所在平面内，且

PB?PC?PCP?AOA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?N，P依次是?ABC的

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

，则点O，

由OA?OB?OC知,O为?ABC的外心；由NA?NB?NC?0知，O为?ABC的重心; PA?PB?PB?PC，?PA?PC?PB?0，?CA?PB?0,?CA?PB,同理，AP?BC,?P为?ABC的垂心，选C.

五、平面向量与三角的整合

将三角函数变换与平面 向量的数量积进行有机结合。不仅考查三角变换而且深化了向量的运算，同时也拓宽了三角与向量的命题范围。

例6：（2004年全国（福建卷）高考第17题）设函数f?x??a?b，其中向量

??

????（Ⅰ）若f?x??1?3且x???,?，a??2cosx,1?，b?cosx,3sin2x,x?R。

?33???求x；（Ⅱ）若函数y?2sin2x的图象按向量c??m,n??m??????平移后得到函数2?y?f?x?的图象，求实数m、n的值。

解：（Ⅰ）依题设，f?x??2cosx?3sin2x?1?2sin?2x?2?????。由6????1?2s?inx?2???6????1，3得

??3?s?ixn??2??6?2?。

??3?x??3，

?2?2x??6?5????，?2x???，即x??。 6634（Ⅱ）函数y?2sixn的2图象按向量c??m,?n平移后得到函数

y?2sin2?x?m??n的图象，即函数y?f?x?的图象。由（Ⅰ）得

???f?x??2sin2?x???1。

12??m??2,?m???12,n?1。

本题以向量为载体主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变形及图象变换的

基本技能，考查学生的运算能力。

然而不仅仅是双基运算，09安徽卷的巧妙的吧三角知识和平面向量分解整合在了一起，这样的题目更加值得引起我们的关注。

例8. （2009安徽卷）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y 的最大值是________. [解析]设?AOC??

o1?cos??x?y????OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,2，即? ???cos(1200??)??1x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,??2∴x?y?2[cos??cos(120??)]?cos??3sin??2sin(??0?6)?2

以上应用只不过是平面向量应用问题的一小部分，由于平面向量本身就是一个二维量，与坐标平面建立了对应关系，而解析几何正好是用代数方法研究几何问题，也是利用二维量（坐标）来研究问题，于是向量与解析几何有着极其密切的联系，它们都有共同的特征：几何特征和数量特征。所以平面向量在解析几何中的应由理应引起大家的足够关注。

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