2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷（含详细解析）

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）

1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（ ） A．

B．

C．

D．

2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（ ）

A．1 B．0 C．﹣1 D．2

3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（ ） A．﹣1 B．8

C．2

D．2

4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（ ）

A．无法确定 B．S1+S3＜2S2 C．S1+S3=2S2 D．S1+S3＞2S2

仅有一个实数根，则实数k的取

5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+值共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（ ） A．32 B．36 C．40 D．44 7．（6分）若a=，则A．1

的值的整数部分为（ ）

D．4

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B．2 C．3

8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（ ）

A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN

9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（ ）

A．8个 B．10个 C．12个 D．14个

10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（ ） A．

二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）

11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是 ． 12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为 ．

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B． C．2 D．

13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6= ．

14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为 ．

15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若则k= ．

+=18，

16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD= ．

17．（6分）函数y=2+的最大值为 ．

18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为 ．

三、解答题（共2小题，满分42分）

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19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0） （1）求k的值；

（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）若S=2，求t的值；

（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．

20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值； （2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值； （3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值； （4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值．

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2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）

1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：过A作AE⊥BC，如图所示： ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC═60°， ∴∠BAE=30°， ∴BE=AB=1， ∴AE=

BE=

，

∴内切圆半径为

，

∴内切圆面积=π?（）2=

；

故选：A．

2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（A．1 B．0 C．﹣1 D．2

【解答】解：

，

②×5﹣①得：14y+3z=﹣17④，

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）

②×2﹣③得：5y+2z=﹣7⑤ ④×2﹣⑤×3得：13y=﹣13， 解得：y=﹣1，

把y=﹣1代入⑤得：z=﹣1， 把y=﹣1，z=﹣1代入②得：x=2， 则（a，b，c）=（2，﹣1，﹣1）， 则a+b+c=2﹣1﹣1=0． 故选：B．

3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（ ） A．﹣1 B．8 【解答】解：

∵圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2， ∴4﹣1＞2，故两圆内含，

不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O1A，连接O1O2，O2C， ∵半径确定，

∴弦心距越小，则弦越长， ∵AB是⊙O2的切线， ∴O2C⊥AB，

∴当O1、O2、C在一条线上时，弦AB最短， 由题意可知OC1=2+1=3，AO1=4， 在Rt△ACO1中，由勾股定理可得AC=∴AB=2AC=2故选：C．

，

=

，

C．2

D．2

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4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（ ）

A．无法确定 B．S1+S3＜2S2 C．S1+S3=2S2 D．S1+S3＞2S2

【解答】解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴

=，

∵△AOD与△AOB等高， ∴S1：S2=AD：BC=a：b， ∴S1=S2，S3=S2， ∴S1+S3=（+）S2=∵a≠b， ∴a2+b2＞2ab， ∴

＞2，

S2，

∴S1+S3＞2S2，

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故选：D．

5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+值共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：方程两边都乘x（x+2）得，（2k﹣4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x（k﹣5），

整理得，（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0．

①当k﹣2≠0时，∵△=（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=9＞0，

∴一元二次方程（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0有两个不相等的实数根． ∵关于x的分式方程2k﹣4+而x（x+2）=0时，x=0或﹣2，

∴x=0时，k+1=0，k=﹣1，此时方程﹣3x2﹣3x=0的根为x=0或﹣1， 其中x=0是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；

x=﹣2时，4（k﹣2）﹣2（2k﹣1）+k+1=0，k=5，此时方程3x2+9x+6=0的根为x=﹣2或﹣1，

其中x=﹣2是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意； 即k=﹣1或5；

②当k﹣2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=﹣1，符合题意； 即k=2．

综上所述，若关于x的分式方程2k﹣4+取值为﹣1或5或2，共有3个． 故选：C．

6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（ ） A．32 B．36 C．40 D．44

【解答】解：设从左向右位置为①，②，③，④，⑤，

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仅有一个实数根，则实数k的取

仅有一个实数根，

仅有一个实数根，则实数k的

∵英语书不在最左边， ∴最左边①有4种取法， ∵同类书不相邻，

∴②有3种取法，③有两种取法，④有两种取法，⑤有一种取法， 共4×3×2×2×1=48，

但是英语书排在第②位置时，只能是语文、英语、数学、语文、数学，或者数学、英语、语文、数学、语文，

故英语书排在第②位置时只有8种情况，故种情况为48﹣8=40种， 故选：C．

7．（6分）若a=，则A．1

B．2

C．3

D．4

=

，

的值的整数部分为（ ）

【解答】解：∵

=∴==

﹣﹣

+

=﹣=﹣

﹣

﹣+﹣

∵a=， ∴

=

=4，0＜a27＜a3=（）3=

＜，

∴＜1﹣a27＜1， ∴1＜∴

＜2，

的值的整数部分为2．

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故选：B．

8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（ ）

A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN

【解答】解：如图，在NM上截取NF=ND，连结DF，AF

∴∠NFD=∠NDF，

∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠ADC+∠B=180°， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，

∴∠AMN+∠ADN=180°， ∴A，D，N，M四点共圆， ∴∠MND+∠MAD=180°，

∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA， ∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°， ∴∠DFN=∠DAE， ∴A，F，E，D四点共圆，

∴∠DEN=∠DAF，∠AFM=∠ADE，

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