高中数学竞赛训练题二
更新时间:2023-05-27 10:03:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数学训练题(二)
一、选择题 2、满足y
( ) x 3 x 2007的正整数数对(x,y)
(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在
3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M N使对任意的x∈M,都有3是奇数,则这样的映射f的个数是( )
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11 4、设方程
x2y2
1所表示的曲线是( ) 2007 2007
sin(19)cos(19)
(A)双曲线 (B)焦点在x轴上的椭圆
(C)焦点在y轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确
5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200
6、函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任何x,有。若g(x) 1
的解集是{x|x 0},则函数F(x)
2f(x)
f(x)是( g(x) 1
)
A、奇函数 B、及函数
C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数
二、填空题
7、边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角有
已知关于x的实系数方程x 2x 2 0和x 2mx 1 0的四个不同的根在复平面上对应的点,则m的取值范围是 。
10、设平面上的向量a,b,x,y满足关系a x y,b 2x y,又设a与b的模为1,且互相垂直,则x与y的夹角为
11、设函数f0(x) |x|,f1(x) |f0(x) 1|,f2(x) |f1(x) 2|,则函数f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。
12、若正整数n恰有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数,那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个正整数中奇异数有 三、的答题
13、已知△ABC的三边长分别为b、c,且满足abc=2(a 1)(b 1)(c 1).
(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若a>1,平>1,c>1,求出△ABC周长的最小值。
22
x2y2
14、已知椭圆2 2 1过达到A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x的交点为
ab
B、C。现有以A为焦点,过点B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为M(m,0)。当椭圆的离心率e满足
2
e2 1时,求实数m的取值范围。 3
答案:
1.(A) 解:
1 x313271x
=5 3 5 ()5,等号当且仅当 3 33,即x (1 log32)时成立,
5244
12
27
故f(x,y)的最小值是5 ()5
4
1
2、(B)解:设a2 x 3,b2 x 2007,其中a,b均为自然数,则y=a+b,
b2 a2 (b a)(b a) 2004 22 3 167。因为b+a与b-a有相同的奇偶性,且
b+a>b-a,所以
b a 1002 b a 334 a 500 a 164
或 解得 或
b a 2b a 6b 502b 170
3、(A) 解:当x=-2时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则f(-2)可取1,3,5,
有三种取法;当x=0时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则f(0)可取1,3,5,有3种取法;当x=1时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则f(1)可取1,2,3,4,5,有5种取法。由乘法原理知,共有3×3×5=45个映射。
4、(C) 解:192007 19 (192)1003 19 (360 1)1003 19(360n 1)(n N ) 于是,sin(192007) sin(360 19n 19) sin19 ,同理cos(192007) cos19 。 因为cos19 sin19 0,故应选(C)
5、(A)解:设三位数是a1a2a3,则a1a2a3+a3a2a1 100 (a1 a3) 10(a2 a2) (a1 a3)。 若a1 a3不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以a1 a3=11,13,15,17。
2因11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以a1,a3取值有4A2种可能; 2因13=9+4=8+5=7+6,所以a1,a3取值有3A2种可能; 2因15=9+6=8+7,所以a1,a3取值有2A2种可能; 2因17=9+8,所以a1,a3取值有A2种可能;
由于a2 a2不能进位,所以a2只能取0,1,2,3,4。
因此,满足条件的数共有:5(4A2+3A2+2A2+A2)=100(个) 6、(B) 解:由a1 6 5 2 an 5 2
n 1
1 12
2
2
2
1,a2 11 5 22 1 1, ,猜想:
1。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)
于是,当n>1时,an 1(mod10).
故a1 a2 a2007 6 2006 2(mod10) 因此,应选(B) 7 解:记方程组中的两个方程为(1),(2),消去x得
5y2 8yz 3z2 0,即(5y 3z)(y z) 0 所以5y 3z 0 , (3) 或 y z 0, (4)
由(1)、(3)得y 3x,z 5x,即x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有x=20,y=60,z=100; 由(1)(4),得x=-y=-z,与已知条件矛盾。 8. 解:易知方程x 2x 2 0的两根为x1 1 i,x2 1 i.
22
当 4m 4 0,即 1 m 1时,方程x 2mx 1 0有两个共轭的虚根x3,x4,
2
且x3,x4的实部为 m 1,这时x1,x2,x3,x4在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆。
22
当 4m 4 0,即m 1或m 0时,方程x 2mx 1 0有两个不等的实根
x3,x4,则x1,x2对应的点在以x3,x4对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为
即x2 y2 (x3 x4)x x3x4 0,将x3 x4 2m,x3x4 1(x x3)(x x4) y2 0,
及x1,x2对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得m 故m的取值范围是{m|-1<m<1或m=-3/2} 9、 3
。 2
)
2x, 解:由已知,得 ,设与y的夹角为 ,则
33
cos
x y
|x| |y|
10、
,所以 = )
10
解:函数y f2(x)的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为
S梯形ABCD S CDE
11、y
11
(2 6) 2 2 1 7 22
23 x
解:当AQ=x时,设GQ与面BDE交于 点N,作NM⊥BD于点M,联结QM交直 线BC于点P,取点P为点P,知此时
y=|MN|最小。
建立如图1的空间直角坐标系,则Q(0,x,1)且△BDE所在平面上的点(x,y,z)满足x+y=z,故可令N(x0,y0,x0 y0)。
由点N在QG上,知在(0,1)内存在λ使QN=λQG。 代入消去λ得2x0 y0 1,x0(x 1)y0 x.
'
'
1 x1 x
,y0 3 x3 x1 x1 x2
,,). 于是,N (
3 x3 x3 x
从而,x0
而点M在BD上,故可令M(x1,1 x1,1). 由MN BD 0,知x1 于是,y |MN| 12、2007
2007
1 xi2
解:设xi ,则ai 2 ,且 xi 1,所以
2 aixii 1
31 x
(). 23 x
61 x66() . 23 x23 x
a1a2 a2007 22007
1
(x2 x3 x2007) (x1 x3 x2007) (x1 x2 x2006)
x1x2 x2007
1
2006 x2x3 x2007 2006 x1x3 x2007 2006 x1x2 x2006
x1x2 x2007
22007
=2
2007
20062007 40122007
1111 . abc5
11114
(1 )(1 )(1 ) ()3。 2abc5
13解:(1)不妨设整数a≥b≥c,显然c≥2。 若c≥5,这时
由abc 2(a 1)(b 1)(c 1),可得矛盾,故c只可能取2,3,4。
当c=2时,ab (a 1)(b 1),有a
b 1.
又a≥b≥2,故无解。
)当c=3时,3ab 4(a 1)(b-1,即(a 4)(b 4) 12
又a≥b≥3,故
a 4 12 a 4 6 a 4 4
或 或
b 4 2b 4 3b 4 1
解得
a 16 a 10 a 8或 或
b 5 b 6 b 7
能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3。
当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。 能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4。
故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8 (2)由abc 2(a 1)(b 1)(c 1),可得
111(1 ) (1 ) (1 )
1111abc]3 (1 )(1 )(1 ) [2abc3
所以,
1112
3 abc2
1119932(a b c)( ) 9,则有a b c 又 1112abc2 1 3 abc2
故△ABC的周长最小值为
32
2 1
,当且仅当a b c
2
2 1
时,取得此最小值。
14. 解:椭圆过定点A(1,0),则a=1,c= b2,e b2 ∵
23
e2 1,∴0 b ,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线y=x(x≥0)33
的交点,就必过椭圆与射线y=-x(x≥0)的交点
y x(x 0)
b
解方程组 2y2,得x y
2x 1 b b2
∵b (0,
1),∴0 x
23
2
设抛物线方程为:y 2p(x m),p 0,m 1,
又∵
p
m 1,∴y2 4(1 m)(x m),m 1. 2
1
y x,x (0,)得x2 4(m 1)x 4m(m 1) 0.
2
2
令f(x) x 4(m 1)x 4m(m 1),(m 1,0 x
1), 2
12
f(0) 4m(m 1) 0
∴ 1 1
f() 2(m 1) 4m(m 1) 0 4 2
∵f(x)在(0,)内有根且单调递增,
m 1或m 0
3 2
∴ 3 3 2,故1 m
m 4 4 4
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