高中数学竞赛训练题二

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数学训练题(二)

一、选择题 2、满足y

( ) x 3 x 2007的正整数数对(x,y)

(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在

3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M N使对任意的x∈M,都有3是奇数,则这样的映射f的个数是( )

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11 4、设方程

x2y2

1所表示的曲线是( ) 2007 2007

sin(19)cos(19)

(A)双曲线 (B)焦点在x轴上的椭圆

(C)焦点在y轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确

5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200

6、函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任何x,有。若g(x) 1

的解集是{x|x 0},则函数F(x)

2f(x)

f(x)是( g(x) 1

A、奇函数 B、及函数

C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

二、填空题

7、边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角有

已知关于x的实系数方程x 2x 2 0和x 2mx 1 0的四个不同的根在复平面上对应的点,则m的取值范围是 。

10、设平面上的向量a,b,x,y满足关系a x y,b 2x y,又设a与b的模为1,且互相垂直,则x与y的夹角为

11、设函数f0(x) |x|,f1(x) |f0(x) 1|,f2(x) |f1(x) 2|,则函数f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。

12、若正整数n恰有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数,那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个正整数中奇异数有 三、的答题

13、已知△ABC的三边长分别为b、c,且满足abc=2(a 1)(b 1)(c 1).

(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若a>1,平>1,c>1,求出△ABC周长的最小值。

22

x2y2

14、已知椭圆2 2 1过达到A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=x的交点为

ab

B、C。现有以A为焦点,过点B、C且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为M(m,0)。当椭圆的离心率e满足

2

e2 1时,求实数m的取值范围。 3

答案:

1.(A) 解:

1 x313271x

=5 3 5 ()5,等号当且仅当 3 33,即x (1 log32)时成立,

5244

12

27

故f(x,y)的最小值是5 ()5

4

1

2、(B)解:设a2 x 3,b2 x 2007,其中a,b均为自然数,则y=a+b,

b2 a2 (b a)(b a) 2004 22 3 167。因为b+a与b-a有相同的奇偶性,且

b+a>b-a,所以

b a 1002 b a 334 a 500 a 164

或 解得 或

b a 2b a 6b 502b 170

3、(A) 解:当x=-2时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则f(-2)可取1,3,5,

有三种取法;当x=0时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则f(0)可取1,3,5,有3种取法;当x=1时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则f(1)可取1,2,3,4,5,有5种取法。由乘法原理知,共有3×3×5=45个映射。

4、(C) 解:192007 19 (192)1003 19 (360 1)1003 19(360n 1)(n N ) 于是,sin(192007) sin(360 19n 19) sin19 ,同理cos(192007) cos19 。 因为cos19 sin19 0,故应选(C)

5、(A)解:设三位数是a1a2a3,则a1a2a3+a3a2a1 100 (a1 a3) 10(a2 a2) (a1 a3)。 若a1 a3不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以a1 a3=11,13,15,17。

2因11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以a1,a3取值有4A2种可能; 2因13=9+4=8+5=7+6,所以a1,a3取值有3A2种可能; 2因15=9+6=8+7,所以a1,a3取值有2A2种可能; 2因17=9+8,所以a1,a3取值有A2种可能;

由于a2 a2不能进位,所以a2只能取0,1,2,3,4。

因此,满足条件的数共有:5(4A2+3A2+2A2+A2)=100(个) 6、(B) 解:由a1 6 5 2 an 5 2

n 1

1 12

2

2

2

1,a2 11 5 22 1 1, ,猜想:

1。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)

于是,当n>1时,an 1(mod10).

故a1 a2 a2007 6 2006 2(mod10) 因此,应选(B) 7 解:记方程组中的两个方程为(1),(2),消去x得

5y2 8yz 3z2 0,即(5y 3z)(y z) 0 所以5y 3z 0 , (3) 或 y z 0, (4)

由(1)、(3)得y 3x,z 5x,即x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有x=20,y=60,z=100; 由(1)(4),得x=-y=-z,与已知条件矛盾。 8. 解:易知方程x 2x 2 0的两根为x1 1 i,x2 1 i.

22

当 4m 4 0,即 1 m 1时,方程x 2mx 1 0有两个共轭的虚根x3,x4,

2

且x3,x4的实部为 m 1,这时x1,x2,x3,x4在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它们共圆。

22

当 4m 4 0,即m 1或m 0时,方程x 2mx 1 0有两个不等的实根

x3,x4,则x1,x2对应的点在以x3,x4对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为

即x2 y2 (x3 x4)x x3x4 0,将x3 x4 2m,x3x4 1(x x3)(x x4) y2 0,

及x1,x2对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得m 故m的取值范围是{m|-1<m<1或m=-3/2} 9、 3

。 2

)

2x, 解:由已知,得 ,设与y的夹角为 ,则

33

cos

x y

|x| |y|

10、

,所以 = )

10

解:函数y f2(x)的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为

S梯形ABCD S CDE

11、y

11

(2 6) 2 2 1 7 22

23 x

解:当AQ=x时,设GQ与面BDE交于 点N,作NM⊥BD于点M,联结QM交直 线BC于点P,取点P为点P,知此时

y=|MN|最小。

建立如图1的空间直角坐标系,则Q(0,x,1)且△BDE所在平面上的点(x,y,z)满足x+y=z,故可令N(x0,y0,x0 y0)。

由点N在QG上,知在(0,1)内存在λ使QN=λQG。 代入消去λ得2x0 y0 1,x0(x 1)y0 x.

'

'

1 x1 x

,y0 3 x3 x1 x1 x2

,,). 于是,N (

3 x3 x3 x

从而,x0

而点M在BD上,故可令M(x1,1 x1,1). 由MN BD 0,知x1 于是,y |MN| 12、2007

2007

1 xi2

解:设xi ,则ai 2 ,且 xi 1,所以

2 aixii 1

31 x

(). 23 x

61 x66() . 23 x23 x

a1a2 a2007 22007

1

(x2 x3 x2007) (x1 x3 x2007) (x1 x2 x2006)

x1x2 x2007

1

2006 x2x3 x2007 2006 x1x3 x2007 2006 x1x2 x2006

x1x2 x2007

22007

=2

2007

20062007 40122007

1111 . abc5

11114

(1 )(1 )(1 ) ()3。 2abc5

13解:(1)不妨设整数a≥b≥c,显然c≥2。 若c≥5,这时

由abc 2(a 1)(b 1)(c 1),可得矛盾,故c只可能取2,3,4。

当c=2时,ab (a 1)(b 1),有a

b 1.

又a≥b≥2,故无解。

)当c=3时,3ab 4(a 1)(b-1,即(a 4)(b 4) 12

又a≥b≥3,故

a 4 12 a 4 6 a 4 4

或 或

b 4 2b 4 3b 4 1

解得

a 16 a 10 a 8或 或

b 5 b 6 b 7

能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3。

当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。 能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4。

故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8 (2)由abc 2(a 1)(b 1)(c 1),可得

111(1 ) (1 ) (1 )

1111abc]3 (1 )(1 )(1 ) [2abc3

所以,

1112

3 abc2

1119932(a b c)( ) 9,则有a b c 又 1112abc2 1 3 abc2

故△ABC的周长最小值为

32

2 1

,当且仅当a b c

2

2 1

时,取得此最小值。

14. 解:椭圆过定点A(1,0),则a=1,c= b2,e b2 ∵

23

e2 1,∴0 b ,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线y=x(x≥0)33

的交点,就必过椭圆与射线y=-x(x≥0)的交点

y x(x 0)

b

解方程组 2y2,得x y

2x 1 b b2

∵b (0,

1),∴0 x

23

2

设抛物线方程为:y 2p(x m),p 0,m 1,

又∵

p

m 1,∴y2 4(1 m)(x m),m 1. 2

1

y x,x (0,)得x2 4(m 1)x 4m(m 1) 0.

2

2

令f(x) x 4(m 1)x 4m(m 1),(m 1,0 x

1), 2

12

f(0) 4m(m 1) 0

∴ 1 1

f() 2(m 1) 4m(m 1) 0 4 2

∵f(x)在(0,)内有根且单调递增,

m 1或m 0

3 2

∴ 3 3 2,故1 m

m 4 4 4

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/3qb4.html

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