高中数学复习学案（第1讲）集合的概念与运算

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题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算

高考要求 1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义 2掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 3理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件

的意义 4学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质知识点归纳定义：一组对象的全体形成一个集合特征：确定性、互异性、无序性表示法：列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P}韦恩图

分类：有限集、无限集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ 关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};

补运算CUA＝{x|x?A且x∈U}，U为全集

性质：A?A； φ?A；若A?B，B?C，则A?C；

A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A； A∩B＝A?A∪B＝B?A?B；

A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；

CU(A?B)＝(CUA)∩(CUB) 方法：韦恩示意图, 数轴分析注意：① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ ③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子

集的个数是2n-1, 所有非空真子集的个数是2n?2 ④区分集合中元素的形式：如A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；

C?{(x,y)|y?x?2x?1}；D?{x|x?x2?2x?1}；E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

2F?{(x,y')|y?x?2x?1}；G?{z|y?x?2x?1,z?22yx} ⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系空集是任何集

合的子集，是任何非空集合的真子集条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况 ⑥符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系

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解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0， ① 由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1 ② 由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2 评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并

的方法例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

APQ

BQP

CP=Q

DP∩Q=Q

剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0 综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0} 答案：A

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视例3 已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠?，求实数m的取值范围剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0

与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质

?x2?mx?y?2?0,解：由?得

x?y?1?0(0?x?2),?x2+（m－1）x+1=0 ①

∵A∩B≠?，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解 2

首先，由Δ=（m－1）－4≥0，得m≥3或m≤－1 当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内

综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］评述：上述解法应用了数形结合的思想如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x

－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解例4设A?{xx?4x?0},B?{xx?2(a?1)x?a?1?0},若B?A，求实数a的取值范围 222分析：若满足B?A，则集合B需分两种情况求解 ①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集

解：由A?{xx2?4x?0}?{xx?0或x??4}?{0,?4} ∵B?A，∴B??或B?{0}或B?{?4}或B?{0,?4}

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当B??时，即x2?2(a?1)x?a2?1?0无实根，由??0，即4(a?1)2?4(a2?1)?0，解得a??1；

2当B?{0}时，由根与系数的关系：0?0＝－2(a?1)，0?0＝a?1?a??1

当B?{?4}时，由根与系数的关系：?4?4＝－2(a?1)，(-4)?(?4)＝a2?1?a??

2当B?{0,?4}时，由根与系数的关系：0?4＝－2(a?1)，0?(?4)＝a?1?a?1

综上所得a?1或a??1 例5 求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自

然数共有多少个？

分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法解：如图先画出文氏图，不难看出不符合条件

的数共有

（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)

＋(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

5的倍数2的倍数3的倍数例6 已知全集S?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由分析：此题的关键是理解符号CSA?{0}是两层含义：0?S且0?A

32解：∵CSA?{0} ∴0?S且0?A，即x?x?2x＝0，

解得x1?0,x2??1,x3?2

当x?0时，2x?1?1，为A中元素当x??1时，2x?1?3?S 当x?2时，2x?1?3?S

∴这样的实数x存在，是x??1或x?2 另法：∵CSA?{0} ∴0?S且0?A，3?A

32∴x?x?2x＝0且2x?1?3

∴x??1或x?2 变式思考题：

同时满足条件：①M?{1,2,3,4,5};②若a?M,则6－a?M，这样的集合M有多少个，

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举出这些集合来答案：这样的集合M有8个：

?,{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}

例7 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？

解：设学舞蹈的学生有x人，学唱歌的人有y人，

既学舞蹈又学唱歌的人又z人，

由题意可列方程：

?x?z?67?x?34?? ?y?z?45 解得?y?22

?x?y?z?79?z?33??100歌唱yz舞蹈x所以，同时学舞蹈和唱歌的有33人例8对于集合A?{xx2?4ax?4a?3?0},B?{xx?22x?a?a?2?0}是否存在实数a,使A?B??？若存在，求出a的取值，若不存在，试说明理由

22解：?A?B?? ∴A?B?? , 即二次方程:

x?4ax?4a?3?0与x?22x?a?a?2?0均无实数解2???1＝4a?4(4a?3)?0 ?? ,解之得1?a?2

2???2?8a?4(a2?a?2)?0222，

故存在实数a且a?{a1?a?2},使A?B?? 2例9已知集合A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq}，其中m?0,

且A?B,求q的值解：由A?B可知， ?m?d?mq（1）??m?2d?mq?m?d?mq2，或（2）?

?m?2d?mq2解（1）得q?1，解（2）得q?1,或q??12

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例10已知R为全集，A?{x|log1(3?x)??2},B?{x|25x?2?1},求CRA?B 解:由log12(3?x)??2可解得－1?x?3

所以A?{x|?1?x?3},故CRA?{x|x??1，或x?3} 由

5x?2?1，可解得?2?x?3,故B?{x|?2?x?3}

?CRA?B?{xx??1,或x?3}?{x|?2?x?3}?{x|?2?x??1,或x?3}

例11已知集合A?{?1,1},B?{x|x2?2ax?b?0},若B??且A?B?A，求a,b的值解：?A?B?A,B???B?A且B??,故B有两种存在情况：（1）当B含有两个元素时：B?A?{?1,1},此时a?0,b??1；（2）当B含有一个元素时：??4a2?4b?0?a2?b 若B?{1}时，有a2?2a?1?0,?a?1,b?1

若B?{?1}时，有a2?2a?1?0,?a??1,b?1 综上可知：?小结：

1正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；

2用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题

?a?0?a＝1,或?，或b??1b＝1???a??1 ?b?1?3熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算 4注意符号的理解，相互之间的转化：例如A?B?A?A?B?A?B?B等等学生练习题组一：

1已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于 A{x|x＜－2} B{x|x＞3} C{x|－1＜x＜2} D{x|2＜x＜3}

解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，

N={x|x－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴， ∴M∩N={x|－1＜x＜2} 2

答案：C

-2-1o123x2已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（CRA）∩B等于

A{1，2，3，4} B{2，3，4} C{3，4}

D{4} 解析：CRA={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），

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