南昌大学第八届高等数学竞赛(理工类)试题

南昌大学第八届高等数学竞赛(理工类)试题

序号： 姓名： 学号: 学院（学科部）： 班级： 第 考场 考试日期： 2011年10月16日 题号 题分 得分 一 15 二 15 三 6 四 7 五 8 六 7 七 9 八 8 九 8 十 9 十一 8 总分 100 累分人签名 注: 本卷共七页, 十一道大题, 考试时间为8:30——11:30. 得分 评阅人 一、填空题(每题3分，共15分) 1、lim?1??n???31??1??1?＝ . 1??1??2??2?2?2??3??n?2、?x2lnx?1?x2?9?x2?dx= . ??3??????3、微分方程y???4y??13y?0的通解为 . 4、设g?x?是微分方程g??x??g?x?sinx?cosx满足条件g?0??0的解，则g?x?lim? . x?0x5、曲面x2?2y2?3z2?21在点?1,?2,2?的法线方程为 . 第 1 页 共 7页

二、单项选择题(每题3分，共15分) 得分 评阅人 1、设曲线y?1?e?x1?e2?x2，则该曲线（ ） (A) 没有渐近线. (B) 仅有水平渐近线. (C) 仅有铅直渐近线. (D) 既有水平又有铅直渐近线. ?2z2、设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则?（ ） ?x?y(A)xf12???f2??xyf22??. (B) xf11???f2??xyf12??. (C) xf11???f1??xyf12??. (D) xyf12???f2??xf22??. ?2f3、 设函数z?f?x,y?满足2?2，且f?x,0??1，fy??x,0??x，则f?x,y??（ ） ?y(A)1?xy?y2. (B) 1?xy?y2. (C) 1?x2y?y2. (D) 1?x2y?y2. 4、 曲线x2?4y2?z2?4与平面x?z?a的交线在yOz平面上的投影方程为（ ） 2???a?z??4y2?z2?4(A)?. (B) ??x?02??x2?4y2??a?x??4. ???z?02?2?x2?4y2??a?x??422(C) ?. (D) ?a?z??4y?z?4. ??x?05、 已知级数???1?n?1?n?1an?2，?a2n?1?5，则级数?an?( ) n?1n?1?? (A) 3. (B) 7. (C) 8. (D) 9. 第 2 页 共 7页

得分 评阅人 三、（本题满分6分） 设f?x?在x?a处连续，讨论??x??f?x?arctan?x?a?在x?a处的连续性与可导性. 得分 评阅人 四、（本题满分7分） ?求极限limx?02x0t?xsintdtx3. 第 3 页 共 7页

得分 评阅人 五、（本题满分8分） 设f?x?、g?x?在??a,a?（a?0）上连续，g?x?为偶函数，且满足f?x??f??x??A(A为常数). (1)试证： (2)计算： 得分 评阅人 ??a?a?2??2f?x?g?x?dx?A?g?x?dx; 0asinxarctanexdx. 六、（本题满分7分） 设函数f?x?在???,???内具有一阶连续的导数，L是上半平面?y?0?内的有向分段光滑曲线，其起点为?a,b?,终点为?c,d?. 记I?(1) 证明：曲线积分I与路径无关； (2) 当ab?cd时，求曲线积分I的值. 1x22???yf?xy??1?1?yfxydx?dy. ??2??Ly???y

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得分 评阅人 七、（本题满分9分） f?x??f?y?设可微函数f对任意x,y?R满足f?x?y??, 且f??0??1，求f?x?. 1?f?x?f?y? 得分 评阅人 八、（本题满分8分） 计算?10sin?lnx?dx. 第 5 页 共 7页

得分 评阅人 九、（本题满分8分） n?n?1?求和?. n?12n?1? 得分 评阅人 十、（本题满分9分） 求异面直线L1: x?1yz?1xy?1z?2???和L2:?之间的距离. 112134

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十一、（本题满分8分） 注：科技学院考生只做第1题, 其他考生只做第2题。 1. 计算?20dx?ex2?y2dy. axdydz??z?a?dxdyx2?y2?z222. 计算曲面积分I????，其中?为下半球面z??a2?x2?y2的上侧，a为大于0的常数. 得分 评阅人

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