数学：1.2.1《排列》教案(新人教A版选修2-3)

排 列

【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。 【教学重点】排列、排列数的概念。 【教学难点】排列数公式的推导 一、问题情景

〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。

〖问题2〗．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法

由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法

二、数学构建

1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示

m注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不

“排素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；

数”是指从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示的排列。

m同元列有排具体

3．排列数公式及其推导：由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素

2a1,a2,?an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元

每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是

列数An．由分步计数原理完成上述填空共有n(n?1)种填法，∴An=n(n?1)

由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n?1)(n?2)， 求An以按依次填m个空位来考虑Anmm3322素，由排

?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)，得排列数公式如

下：

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）

说明：

（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n?m?1，共有m个因数；

（2）全排列：当n?m时即n个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：

nAn?n(n?1)(n?2)?2?1?n!（叫做n的阶乘）

4．阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时Ann?n(n?1)(n?2)?3?2?1；把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：n! ， 即

nAn?n!规定0!?1．

5．排列数的另一个计算公式：Anm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(n?m)?3?2?1n!n!m? 即 An=。

(n?m)(n?m?1)?3?2?1(n?m)!(n?m)!

三、知识运用

【例1】计算：（1）A16； （2）A6； （3）A6．

解：（1）A16 ＝16?15?14＝3360 ；（2）A6 ＝6!＝720 ；（3）A6＝6?5?4?3＝360。【例2】（1）若Anm364364?17?16?15???5?4，则n? ，m? ．

（2）若n?N,则(55?n)(56?n)?(68?n)(69?n)用排列数符号表示为 ． 解：（1）n?17，m?14 ．

（2）若n?N,则(55?n)(56?n)?(68?n)(69?n)＝

15A69?n．

,3,5,71,1【例3】（1）从2这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有

14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 解：（1）A5252?5?4?20；（2）A5?5?4?3?2?1?120；（3）A14?14?13?182

6(m?1)!8!?A6【例4】计算：①2． n?14；② Am(m?n)!A8?A10?1解：①原式?8?7?6?5?4?3?2?1?6?5?4?3?2?1

8?7?10?9?8?7=

57?6?5?4?3?25130??；

56?(?89)623(m?1)!?1(m?1)! ②原式

(m?n)!．

(m?n)!?【例5】解方程：3Ax322?2Ax?1?6Ax．

解：由排列数公式得：3x(x?1)(x?2)?2(x?1)x?6x(x?1)， ∵x?3，∴ 解得

3(x?1)(x?2)?2(x?1)?6(x?1)，即3x2?17x?10?0，

2，∵x?3，且x?N?，∴原方程的解为x?5． 3xx?5或x?【例6】解不等式：A9解：原不等式即

?6A9x?2．

9!9!?6?，

(9?x)!(11?x)!也就是

16?，化简得：x2?21x?104?0，

(9?x)!(11?x)?(10?x)?(9?x)!解得x?8或x?13，又∵2?x?9，且x?N?， 所以，原不等式的解集为【例7】求证：（1）Ann?2,3,4,5,6,7?．

(2n)!?1?3?5?(2n?1)． 2n?n!mn?m?An?An（2）?m；

mn?m证明：（1）An?An?m?n!n(n?m)!?n!?An，∴原式成立

(n?m)!

（2）

(2n)!2n?(2n?1)?(2n?2)?4?3?2?1? 2n?n!2n?n!2nn?(n?1)?2?1?(2n?1)(2n?3)?3?1 ?n2?n!?n!1??3?(2n?3)(2n?1)?1?3?5?(2n?1)?右边

n!∴原式成立 说明：

（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数An中，m,n?N?且m?n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； （2）公式

mAn=

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公式

mn!，常用来证明或化简。

(n?m)!123n?1?????；⑵1?1!?2?2!?3?3!???n?n!。 2!3!4!n!【例8】化简：⑴解：⑴原式?1!?1111111?????????1?1 2!2!3!3!4!(n?1)!n!n!⑵提示：由原式??n?1?!??n?1?n!?n?n!?n!，得n?n!??n?1?!?n!，

?n?1?!?1。

n?111??． n!(n?1)!n!说明：

【例9】（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A53?5?4?3?60，所以，共有60种不同的送法

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5?5?5?125，所以，共有125种不同的送法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算

【例10】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A3种；

1

第二类用2面旗表示的信号有A3种； 第三类用3面旗表示的信号有A3种， 由分类计数原理，所求的信号种数是：A3?A3123?A3?3?3?2?3?2?1?15，

32答：一共可以表示15种不同的信号

例3．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A4种方法；

第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A4种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数 解：由分步计数原理，分配方案共有N44?A4?A4?576（种）

44答：共有576种不同的分配方案

【例11】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：用分步计数原理： 所求的三位数的个数是：A9?A912?9?9?8?648

字都不是0数有

解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数的三位数有A9个，个位数字是0的三位个，十位数字是0的三位数有A9个， 由分类计数原理，符合条件的三位数的

3A9?A92?A92?648．

3A922个数是：

解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中以0为排头的排列数为A9，因此符合条件的三位数的个数是A10?A93232?648-A92．

说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏

【例12】（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列A7＝5040．

（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

7

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720． （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

2解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A2种；

2?A5=240种排列方法 第二步 余下的5名同学进行全排列有A5种，所以，共有A2556（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种方法，所以一共有A5＝2400种排列方法

解法2：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A7－2A6＋

5A5=2400种．

576665225A5说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑

【例13】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一：（从特殊位置考虑）A9A915?136080；

56解法二：（从特殊元素考虑）若选：5?A9；若不选：A9， 则共有5?A956?A9?136080种；

65解法三：（间接法）A10?A9?136080

【例14】 7位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排

2列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法．所以这样的排法一共有62A6?A2?1440种

6（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A553A3＝720种

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在

排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A5种方法；将

42剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方

2法．所以这样的排法一共有A5242＝960种方法 A4A2解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A5种方法，

所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A6652?2A5)?A2?960种方法

5解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在

1排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法，再将其余的5个元素进行全排1列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有A4552A5＝960种A2方法．

（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起

解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A3A4A2说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）． 【例15】位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：（排除法）A7762?A6?A2?3600；

5342?288（种）

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A6种方法，所以一共有A5A6方法．

（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

4解：先将其余四个同学排好有A4种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学4分别插入这五个“空”有A5种方法，所以一共有A433A5＝1440种． 252?3600种

说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

【例16】5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列。

解：（1）先将男生排好，有A5种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有2A5种排法。 故本题的排法有N

55?2A5?A5?28800（种）；

55

10A105（2）方法1：N?5?A10?30240；

A5方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A10种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法。 故本题的结论为N四、课堂练习

（一）

1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种 B．10种 C．12种 D．16种

2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ） A．3种 B．6种 C．1种 D．27种

3．k?N?,且k?40,则(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)用排列数符号表示为（ ）

50?k293030A．A79?k B．A79?k C．A79?k D．A50?k

55?A10?1?30240（种）

4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）

A．24种 B．72种 C．96种 D．120种 5．给出下列问题：

①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）

6．若x?{x|?Z,|x|?4} ，y?{y|y?Z,|y|?5}，则以(x,y)为坐标的点共有 个 7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？

8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

3212349．计算： （1）5A5?4A4 （2）A4?A4?A4?A410．分别写出从a,b,c,d这4个字母里每次取出两个字母的所有排列； 11．写出从a,b,c,d,e,f这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素a的所有排列

答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. ①③⑤ 6. 63 7. 60 8. 24

29. ⑴348；⑵64 10.共有A4?12个：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, 23dc 11. 共有C5A3?60个，具体的排列略

（二）

1．若x?n!，则x? （ ） 3!3n?3n3(A)An (B)An (C)A3 (D)An?3

2．与A10?A7不等的是 （ ）

98910(A)A10 (B)81A8 (C)10A9 (D)A10

373．若Am53?2Am，则m的值为 （ ）

(A)5 (B)3 (C)6 (D)7

56(m?1)!2A9?3A9? ． ?4．计算： ； n?16Am?1?(m?n)!9!?A105．若2?(m?1)!?42，则m的解集是 ． m?1Am?1m6．（1）已知A10?10?9???5，那么m? ；

7（2）已知9!?362880，那么A9= ； （3）已知An（4）已知An2?56，那么n? ；

2?7An?4，那么n? ．

27．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道

只能停放1列火车）？

8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.

?2,3,4,5,6?

6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24

（三）

1．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.

A． 6 B． 9 C． 11 D． 23

2．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能

停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种.

A．78 B．72 C．120 D．96

3．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ） A．9 B．21 C． 24 D．42

4．从?9,?5,0,1,2,3,7七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程ax?by?c?0的系

数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.

A． 14 B．30 C． 70 D．60

5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种。 7．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？

（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？ 8．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？ 9．某产品的加工需要经过5道工序，

（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？

（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ 10．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？

11. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？

答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.⑴325； ⑵114 8. 288 9.⑴96； ⑵36 10. 48 11. （1）A3A414141312?A2AA?A?72,（2）（AA443322?64）

（四）

1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）

35534A．A7 B．A7 C．A5 D．A5?A3

2．五种不同商品在货架上排成一排，其中A,B两种必须连排，而C,D两种不能连排，则不同的排法共有（ ）

A．12种 B．20种 C．24种 D．48种

3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 （ ）

33333333A．A3?A4 B．A3?A3 C．A4?A4 D．2A3?A3

4．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ）

A．720种 B．480种 C．24种 D．20种 5．设x,y?N*且x?y?4，则在直角坐标系中满足条件的点M(x,y)共有 个

6．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种

7．一部电影在相邻5个城市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个城市

的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算）． 8．6节课要安排3门理科，3门文科，一天课表中，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种 9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？ 10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？ 11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？ 答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7. 8. 72, 144 9.

5A5?A33?

55322A5A3A2?2880 10.⑴30； ⑵15011. 66种

四、课堂小结

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元素要求连排（即必须相邻）；③某些元素要求分离（即不能相邻）．

2．基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基 。

的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算）． 8．6节课要安排3门理科，3门文科，一天课表中，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种 9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？ 10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？ 11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？ 答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7. 8. 72, 144 9.

5A5?A33?

55322A5A3A2?2880 10.⑴30； ⑵15011. 66种

四、课堂小结

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元素要求连排（即必须相邻）；③某些元素要求分离（即不能相邻）．

2．基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基 。

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