高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切2

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（2）

教学目的：

能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 教学重点： 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式 教学难点： 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．两角和与差的余弦公式:

cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin?

2．求cos75?的值

解：cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30?

=

23216?2 ????222243．计算：cos65?cos115??cos25?sin115?

解：原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1 4 计算：?cos70?cos20?+sin110?sin20?

原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 5．已知锐角?,?满足cos?=

53 cos(?+?)=?求cos? 51334解：∵cos?= ∴sin?=

555又∵cos(?+?)=?<0

13 ∴?+?为钝角 ∴sin(?+?)=

12 13∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?

=?5312433???? （角变换技巧） 13513565二、讲解新课：

两角和与差的正弦 1 推导sin(?+?)=cos[

???(?+?)]=cos[(??)??] 22??=cos(??)cos?+sin(??)sin?

22=sin?cos?+cos?sin?

即： sin(???)?sin?cos??sin?cos? （S?+?） 以??代?得： sin(???)?sin?cos??sin?cos? （S???） 2公式的分析，结构解剖，嘱记

三、讲解范例：

例1不查表，求下列各式的值：

1? sin75? 2? sin13?cos17?+cos13?sin17? 解：1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45?

=

12322?6 ????222241 22?原式= sin(13?+17?)=sin30?=例2 求证：cos?+3sin?=2sin(

证一（构造辅助角）： 左边=2(

?+?) 6??13cos?+ sin?)=2(sincos?+cos sin?) 2662=2sin(

?+?)=右边 6??13cos?+cos sin?)=2(cos?+ sin?)

2662证二：右边=2(sin

= cos?+3sin?=左边

例3 已知sin(?+?)=

22tan?,sin(???)= 求的值 35tan?四、练习

22 ∴sin?cos?+cos?sin?= ① 3322 sin(???)= ∴sin?cos??cos?sin?= ②

5588 ①+②：sin?cos?= 15tan?sin?cos?15=??4 ?22tan?cos?sin?①?②：cos?sin?=

1515 解： ∵sin(?+?)=

1 在△ABC中，已知cosA =

54，cosB =，则cosC的值为（ A ）

5131656165616（A） （B） （C）或 （D）?

6565656565解：因为C = ? ? (A + B)， 所以cosC = ? cos(A + B) 123, sinB =,

5131235416????所以cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB = 13513565?3??3?3?50???，cos(??)??，sin(??)?，2已知???，

41344544又因为A,B?(0, ?), 所以sinA =

求sin(? + ?)的值

3??? ∴?????

4424?3?4 又cos(??)?? ∴sin(??)?

4545?3?3?????? ∵0??? ∴

4443?53?12??)? ∴cos(??)?? 又sin(413413 解：∵

???? ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ?sin[(

?4??)?(3???)] 43??3???)?cos(??)sin(??)]

44444123563 ??[?(?)??]?

51351365??[sin(??)cos(五、小结 两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆

向运用公式” ?六、课后作业： 1已知sin? + sin? =

2，求cos? + cos?的范围 212

+ t2解：设cos? + cos? = t，

则(sin? + sin?) + (cos? + cos?)= ∴2 + 2cos(? ? ?) =

2

2

11232

+ t 即 cos(? ? ?) = t ? 224123又∵?1≤cos(? ? ?)≤1 ∴?1≤t ?≤1

24∴?1414≤t≤ 2211tan?，sin(???) =，求的值 210tan?2已知sin(?+?) =

31??sin?cos??sin?cos??cos?sin???10 2??解：由题设：??11?sin?cos??cos?sin???cos?sin??10?5?从而：

tan?sin?cos?33???5? tan?cos?sin?102或设：x =

tan?sin(???)?5 ∵

sin(???)tan?sin(???)tan??1x?1cos?cos?tan??tan?tan?????5 ∴

sin(???)tan??tan?tan?x?1?1cos?cos?tan?∴x =

33tan? 即 = 22tan?七、板书设计（略） 八、课后记：

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