2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题解析(浙江卷)

2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1.已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = e（

）

A.[0,1)

B.(0,2]

C.(1,2)

D.[1,2]

2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（

）A.38cm B.312cm C.3323cm D.3403

cm

【答案】C.

3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（

）A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0

a d dS <>

4.命题“**,()n N f n N ?∈∈且()f n n ≤的否定形式是（

）A.**,()n N f n N ?∈∈且()f n n

> B.**,()n N f n N ?∈∈或()f n n >C.**00,()n N f n N ?∈∈且00()f n n > D.**00,()n N f n N ?∈∈或00()f n n >

5.如图，设抛物线2

4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是（）

A.11BF AF --

B.221

1BF AF -- C.1

1BF AF ++ D.2

21

1BF AF ++

6.设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）

A.命题①和命题②都成立

B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立

D.命题①不成立，命题②成立

7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（

）A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+

8.如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（

）A.A DB α'∠≤ B.A DB α'∠≥ C.A CB α'∠≤ D.A CB α'∠≤

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9.双曲线

2

21

2

x y-=

的焦距是，渐近线方程是．

10.已知函数223,1()lg(1),1x x f x x x x ?+-≥?=??+

．

11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是

．

12.若4log 3a =，则22a a -+=．【答案】

334.【解析】

13.如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．

13.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．

15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ?= ，若空间向量b 满足1252,2b e b e ?=?= ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈ ，则0x =

，0y =，b = ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分14分）

在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=

，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；

（2）若ABC ?的面积为3，求b 的值.

17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.

（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；

（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.

18.（本题满分15分）

已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.

（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；

（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.

19.（本题满分15分）

已知椭圆

2

21

2

x y+=

上两个不同的点A，B关于直线

1

2

y mx

=+对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求AOB

?面积的最大值（O为坐标原点）．

20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =

12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：11

2n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）

.

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