几何学与变换群

第一章：几何学与变换群内容概述

基于对欧几里得几何原本中的“第五公设”即平行公理近两千年的争论，到十九世纪，出现了一些非欧几里得几何学，比如射影几何，仿射几何，双曲几何，椭圆几何等等。

其时，有两大问题困扰着数学界： 1：这些非欧几何学之间的逻辑关系问题； 2： 非欧几何学的相容性问题。

关于第二个问题非欧几何的相容性，Poincare于1882年给出了非常漂亮的解决，通常称为双曲几何模型，不作为学年论文内容。

而关于第一个问题，也即我的学年论文主要所讲述的，非欧几何学之间的逻辑关系，由F.Klein于1872年给出了解答，即克莱因变换群观点。

利用变换群观点对几何学进行定义和分类，常称为克莱因变换群观点。这个思想是德国数学家克莱因在德国Erlangen大学所做的题为“近世几何学研究的比较评论”的演讲中首次提出的，该演讲后被称为克莱因观点。他将当时已有的一些几何学统一于变换群的观点换之下，给出了建立抽象空间所对应的几何学的一种方法，对几何学的发展起到了巨大的促进和推动作用，甚至对物理学、力学的发展也产生了积极的影响。

然而，随着科学的进步和几何学的不断发展，克莱因观点已经远不能概括许多新的几何学，比如黎曼流行理论的出现和发展，已不能用克莱因观点解释，但是，克莱因观点统治了其后几乎半个世纪的几何研究和发展。所以研究克莱因观点能够帮助我更好的了解几何的发展方向，以及提高自己的能力。

根据克莱因观点的思想，一门几何学乃是研究在某一变换群下保持不变的几何性质和几何量（称为不变性）的科学，利用变换群的观点还可以对几何学进行分类与比较。

我的学年论文只讨论二维即平面几何学，重新审视我之前所学过的几何学，对其进行归纳和比较，帮助我对几何学有一个全新的认识。

1

第二章：相关概念阐述

1：几个基本的几何变换

（1）正交变换：保持平面π上的任意俩点之间距离不变的点变化?称为平面π上的一个正交变换。即若A,B为平面上的两个点，且?(A）=A?,?(B)=B?,则有

AB=A?B?。

定理1：正交变换使得平面上共线三点变为共线三点，不共线三点变为不共线三点。

定理2：正交变换使得平面上的一个三角形变为与其全等的三角形。进而，正交变换使得平面上任何平面图形变成一个可以与其完全叠合的平面图形。 定理3：设在平面π上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey。则π上的一个点变

?x???a11?换是正交变换的充要条件是?具有表达式??y???=????a21aa12???22??x??a13???，其中??y??+?????a23??x?a11???a21y??x?y??为π上任意一点p及其?下的像点p?在O-exey下的坐标，矩阵

aa12??是一个二阶正交矩阵，称为?矩阵。 ?22?（2）相似变换：设?为平面π上的一个点变换，π上任意的相异的两点P,Q在?下的像分别为P?,Q?。满足相似比的相似变换。

定理：设在平面π上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey，0?k?R为常数，则π上的一个点变换?为相似变换的充要条件为?具有表达式

P?Q??k(0?k?R为常数)，则称?为π上的一个以k为PQ?x???a11???y???=k????a21aa12???22??x??a13???,?x??y??+?????a23?y??x?y??为π上任意一点p及其?下的像点

?a11p?在O-exey下的坐标，矩阵???a21

aa12??是一个二阶正交矩阵，称为?矩阵。 ?22?2

相似变换一般不能保持平面上俩点之间的距离不变，但是使得每一条线段与它的像线段的长度相差一个相似比，从而相似变换可以保持平面上的任意俩条线段的比值不变，也保持任意俩条直线的夹角不变，把一个平面图形变为与其相似的图形。相似几何就是研究图形相似变换不变性的科学。

（3）仿射变换：设π，π1···πn为空间中的n+1个平面，?0：π?π1，?1：

···，?n：π1?π2，πn?π均为透射仿射对应，则称由这n+1个透射仿射对应的

积所决定的平面π上的点变换为π上的一个仿射变换。

定理：在平面π上取定了一个笛氏直角坐标系O-exey。则π上的一个点变换是

?x???a11?仿射变换的充要条件是?具有表达式??y???=????a21aa12???22??x??a13???，其中（x,y）??y??+?????a23?（x?,y?）为π上任意一点p及其?下的像点p?在O-exey下的坐标，矩阵是

?a11???a21aa12??一个二阶非异方正矩阵，称为?矩阵。 ?22?仿射变换是一个双射，使得共线点变为共线点，不共线点变为不共线点，平行直线变为平行直线，相交直线变为相交直线。而且，仿射变换保持共线三点简单比不变，从而可以保持两条平行线段的比值不变。

研究图形的仿射不变性的科学称为仿射几何学。

2：拓广平面及拓广平面上的齐次坐标

约定（1）：在每一条直线上添加唯一的一个点，此点不是该直线上原有的点称为无穷远点。

约定（2）：相互平行的直线上所添加的无穷远点相同，不平行的直线上添加的无穷远点不同。

约定（3）：平面上添加的全体无穷远点的集合为一条直线，称为无穷远直线。 （1）拓广平面：通常点和无穷远点统称为拓广点；添加无穷远点之后的直线和无穷远直线统称为拓广直线；添加无穷远直线之后的平面称为拓广平面。 定理1：在拓广平面上，两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线；两条相异的拓广直线确定唯一的一个拓广点。

定理2：拓广直线具有封闭性，存在点偶之间的分离关系；拓广平面具有封闭性

3

和不可定向性。

（2）拓广平面上点的齐次坐标：对于拓广平面上的通常点P，若其笛氏坐标为（x,y）, 则定义三元有序实数组（x1,x2,x3）为其齐次坐标，其中x3?0且

x1=x, x3x2=y。对于不在y轴上的无穷远点，定义其齐次坐标为（x1,x2,0），其中x1?0x3且k?x2为该点所在通常直线的斜率。定义y轴上的无穷远点的齐次坐标为x1（0,x2,0），其中，x2?0。

我们将平面上的通常点的原有笛氏直角坐标系称为非其次坐标。

拓广平面上的任意一点都有无穷多个齐次坐标，它们之间相互成比例，即若（x1,x2,x3）是点P的一个齐次坐标，则对于任意的0???R,(?x1,?x2,?x3)也是点P的齐次坐标，所以在写点P的齐次坐标时，可以写P(?x1,?x2,?x3)(??0)，也可以写P(x1,x2,x3)。

（3）拓广平面上直线的齐次坐标：设在拓广平面上给定了齐次点坐标映射，直线l的齐次方程为u1x1?u2x2?u3x3?0，称方程中的系数构成的三元有序实数组为直线l的齐次线方程，记作?u1,u2,u3?。

从通常平面上的笛氏直角坐标出发，我们导出了拓广平面上的点与直线的一种齐次坐标，称为齐次笛氏坐标，其中线坐标映射是由点坐标映射所诱导。 3：射影平面

（1）实射影平面：设π为两个不交的非空集合

与的并集。其中，

的元素

称为π的点，的元素称为π的直线。而且，在点与直线之间有一个关系称为关联关系，满足下述公理 公理P：存在一对双射?：的l??RP2，?：

?RP2对于任意的P?

??*和任意

，若??P??x，??l??u，则点P与直线l相关联的充要条件是

u1x1?u2x2?u3x3?0。

4

则称π为以为点集，为直线集的一个实射影平面，记作π=（，）。满

足公理P的一对双射(?,?)称为实射影平面π上的一个射影坐标映射，并称?为

?为线坐标映射，点和直线在坐标映射下的像分别称为点和直线的点坐标映射，射影坐标。

显然，拓广平面实射影平面的一个模型。

（2）射影坐标变换：在实射影平面π上任意取定一个有序四点组P,Q,R,E,满足 （1）P,Q,R,E,中任何三点不共线；

（2）论如何选取这四点的原始坐标 P(p1,p2,p3) Q(q1,q2,q3) R(r1,r2,r3)

E(e1,e2,e3)总满足单点原则

则这个有序四点组构成一个以PQR为?(e1,e2,e3)?(p1,p2,p3）?（e1,e2,e3),??R，坐标三点形，以E为单位点的射影坐标系。

?x1??p1???我们容易得到??x2???p2?x??p?3??3q1q2q3??r1??x1?????,0???R为常数，它揭示了射影平r2??x2???r3???x3?面上的两个射影坐标系之间的关系，它是一个非奇异线性变换。由于P,Q,R不共线，所以上式的逆式存在，其逆式也是一个非奇异线性变换。因此，称上式及其逆式为射影平面上两个射影坐标映射之间的射影坐标变换。 定理：设?A1A2A3I?为平面上原始的射影坐标系，P,Q,R,E为平面上的任

意取定的无三点共线的有序四点组。则存在唯一的非奇异线性变换将有序四点组

P,Q,R,E变为有序四点组

q1q2q3??r1??x1?????,0???R。 r2??x2???r3???x3?A1,A2,A3,I,其变换式为

?x1??p1?????x2???p2?x??p?3??3（3）实射影直线（一维实射影空间）

一维射影坐标系：在实射影直线上任意取定相异的有序三点组P,Q,E，设其分别有二维齐次坐标P(p1,p2,p3)Q(q1,q2,q3)R(r1,r2,r3)E(e1,e2,e3)，并满足单位点

5

综上所述，我们在射影平面和仿射平面（通常平面）上各得到了一个变换群系列，记P与PA分别表示射影平面和仿射平面（通常平面），则上述两个关系的变换群有如下关系：

P:K?KA?KS?KM

? ? ?

PA:

A ?S? M

第四章：变换群与几何学

1：Klein观点

设S是一个非空集合，G为S上的一个变换群，称为S空间，S的元素称为点，S的子集F称为图形，G称为空间S的主变换群。研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质（称为G不变性）和数量（称为G不变量）的科学称为一门几何学（S,G）。

所以由定义我们就可以知道，每给定非空集合S上的一个变换群G，就可以构成一门几何学。事实上，设F,F?为空间中的两个图形（即S的子集），若有g?G, 使得g?F??F?,则称图形F与F?等价，记作F~F?。显然，“~”是空间S中所有图形构成的集合上的一个等价关系。

设（S,G）为一个几何学，群H是G的子群，称几何学（S,H）为几何学（S,G）的一个绝对几何学，简称子几何学。

设??S,E??,H为G的子群，对于任意的g?H，都有g?E??E,又有HE为E上的一个变换群，且HE?H则称（E, HE）为（S,G）的一个以（S,H）为伴随绝对几何学的相对几何学，并称B=S\\E为（E, HE）的绝对形。

??KA，有??P\\l???P\\l?,例如，KA?K，对于任意的??KA,对于任意的对于射影平面而言，E=P\\l?=PA，因为A?KA,于是，（PA,A）为（P，K）的一个以（P,KA）为伴随绝对几何学的相对几何学，其中l?为绝对形。

11

子几何学中研究的是关于G的子群H的不变性和不变量，这些不变性和不变量可能有的未必在群G下保持不变。但是，由于H是G的子群，所以所有关于G的不变性和不变量未必都被子几何学（S,H）所继承，继续保持不变。这就是说，变换群越大可能研究的几何学内容可能越少；变化群越小，几何学研究的内容可能就越丰富。

换句话说，子几何学的内容要比母几何学丰富。但是变换群越大，其讨论的内容在这个几何学系列中就一定具有纲领性意义。

于是我们可以得到下图：

射影几何 射影仿射几何 射影欧氏几何 (P,Q) ? (P,K,A) ? (P,K,M) (PA,A) ? (PA,M) 仿射几何 欧氏几何

注：在上述图表中，?表示后者为前者的绝对子几何学；?表示后者为前者的相对子几何学；=表示伴随关系，相对子几何学的绝对形均为l?。

2：平面上几种几何学的比较 1：射影几何学|

射影几何学是以射影平面为空间，以射影变换群（其元素是二维射影变换）为主变换群的几何学。

射影几何学研究图形的射影不变性和不变量。最基本的射影不变性有同素性，关联性，最基本的射影不变量是交比。而其他的射影不变性和不变量都是由这些基本的不变性和不变量演绎出来的性质和数量。 2：射影仿射几何学与仿射几何学

射影仿射几何学是以射影仿射平面为空间，射影仿射变换群为主变换群的几何学。无穷远直线在射影仿射变换下保持不变，所以无穷远直线作为绝对形 的仿射几何学是射影仿射几何学的有穷原部分，除了无穷远直线，两者具有相同的研究内容。

在射影仿射平面上，无穷远直线的存在使得射影仿射几何学比仿射几何多了

12

一些研究手段，其本身并不具有仿射性质。

作为射影几何学的子几何学，仿射几何的研究内容首先包括射影几何学的所有研究内容。此外，它还有自己独特的性质： 1：仿射变换保持直线的平行性不变。 2：平面上共线三点的简单比为仿射不变量。

除了拥有射影几何的所有不变性和不变量之外，仿射变换特有的基本的不变性和不变量都是能够由此演绎出来的性质和数量。例如，平行线段的比是仿射不变量，梯形、平行四边形等都是仿射不变图形。 3：射影相似几何学和相似几何学

射影相似几何学是以射影平面为空间，射影相似变换群为主变换群的几何学。 射影相似变换不仅保持无穷远直线不变，还保持绝对对和不变。以无穷远直线作为绝对形、且保持圆环点的集合?I,J?不变的射影相似几何学是射影仿射几何学的一个子几何学。

在有穷远部分，相似几何和射影相似几何具有相同的研究内容。

作为仿射几何学的子几何学，相似几何学的研究内容首先包括仿射几何学的所有内容，但是此外，它还有自己独特的研究内容不属于仿射几何。 两条线段的比值和两直线的夹角是相似几何的基本的不变性和不变量。 4：射影欧氏几何学与欧氏几何学

射影欧式几何学是以射影仿射平面为空间，以射影正交变换为主要的变换群的几何学。欧氏几何学是以欧氏平面为空间，以无穷远直线为绝对形，以正交变换群作为主变换群的几何学。

两点之间的距离是正交变换的基本不变量，由此可以演绎出来正交变换的全部不变性和不变量，如角度、面积、体积、全等形等几何内容。

综上所诉，对于几何学系列中的每一个，我们可以说，子几何学的研究内容比原几何学丰富，而原几何学的研究内容比子几何学更为基本。比如，射影几何学具有巨大的变换群，因而具有最少但是最具纲领意义的内容，射影欧氏几何学在所讨论几何学系列中具有最少的变换群，而具有最丰富的内容。

13

第5章：学年论文的心得

到此我的学年论文已告一段落。在刚从赵金星老师那里得到论文题目时，我对这个内容产生了极大地兴趣，在赵老师的指导下阅读了三本书，分别是周兴河先生编著的《高等几何》，罗崇善、庞朝阳、田玉屏先生的《高等几何》，还有一本俄罗斯教材。通过反复阅读，最终决定以周兴河先生的《高等几何》为主线进行论述变换群与几何学的关系。

论文第一部分先谈了几何学与变换群内容概述，和克莱因观点的意义，论文第二部分介绍了一系列基础的和重要的高等几何的概念，第三部分给出了一系列的变换群，而第四章则详细讲述了变换群对几何学的分类，还有几何学之间的比较，着重介绍了克莱因观点和克莱因观点下的内容。

通过这次学年论文我个人的素质有所提升：一方面，了解了部分高等几何的内容，对以往学过的几何有了更加深刻的认识，对几何学一步一步的发展也有了更多的了解，在几何学内容学习上又迈进了一步；另一方面，我的自学能力有很大的提高，思维有所拓展，同时，在输入论文的时候对公式编辑器的使用也大为熟练。

最后，非常感谢赵金星老师的指导与帮助。

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3p7x.html