2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十章 计数原理10.2

§10.2 排列与组合

考情考向分析 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析，解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档．

1．排列与组合的概念

名称 定义 按照一定的顺序排成从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 组合

2.排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示． 3．排列数、组合数的公式及性质

n！(1)Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ n?n－m?！公式 n?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Amnm(2)Cn＝m＝＝ Amm！m！?n－m?！性质 (1)0！＝1；Ann＝n！ 一列 合成一组 排列 mn(2)Cn＝Cn－mmm1；Cm__ n＋1＝Cn＋Cn－

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ )

m

(5)若组合式Cxn＝Cn，则x＝m成立．( × ) k1(6)kCkn＝nCn－1.( √ )

－

题组二 教材改编

2．[P29习题T5]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________． 答案 24

解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.

3．[P16例7]用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________． 答案 48

3解析 末位数字排法有A12种，其他位置排法有A4种， 3共有A12A4＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.

题组三 易错自纠

4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．

答案 216

解析 第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；

第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法． 所以共有120＋96＝216(种)排法．

5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为________． 答案 540

11

C46C2C1

解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A323

A2213

＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C3C1A3＝360(种)；22

C26C4C23

③每个国家各派2名，有·A3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.

A33

6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答) 答案 45

解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种)．

题型一 排列问题

1．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 答案 1 560

解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全

班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言．

2．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为________． 答案 432

2解析 根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A2种排法；第二步，将22,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A4种232排法．综上，共有C23A2A3A4＝3×2×6×12＝432(种)排法．

3．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列种数为________． 答案 864

解析 先把数字1,3,5,7作全排列，有A4再排数字6，由于数字6不与3相邻，4＝24种排法，在排好的排列中，除去3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，又数字2,4不与6相邻，故在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，

2故共有A44×3×A4＝864(种)排法．

思维升华 排列应用问题的分类与解法

(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 题型二 组合问题

典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．

323(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C35－C34＝C34＝5 984种取法．

∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．

2(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C15＝2 100种取法．

∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．

223(4)选取2种假货有C1选取3种假货有C3共有选取方式C120C15种，15种，20C15＋C15＝2 100＋455

＝2 555(种)．

∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． (5)方法一 (间接法)

选取3种的总数为C335，因此共有选取方式

3C35－C315＝6 545－455＝6 090(种)．

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 方法二 (直接法)

2112选取3种真货有C320种，选取2种真货有C20C15种，选取1种真货有C20C15种， 2112因此共有选取方式C320＋C20C15＋C20C15＝6 090(种)．

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

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