第十一篇 计数原理第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】

二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．

基础梳理

1．二项式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理

叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的系数Crn(r＝0,1，?，n)叫二项式系数．

n－rrn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana

2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

－101n(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cnn，Cn. 3．二项式系数的性质

n－r(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn.

(2)增减性与最大值：

n＋1二项式系数Ck，当k＜n

2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；

n

当n是偶数时，中间一项C2n取得最大值；

n－1n＋1

当n是奇数时，中间两项C2n，C2n取得最大值．

012nn

(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1

C0. n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2

一个防范

n－rr运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，na但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cr而后者是n，字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负． 一个定理

二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用

(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性；

(3)各项二项式系数的和；

以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．

双基自测

1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )． A．80 B．40 C．20 D．10

rrrr解析 Tr＋1＝Cr5(2x)＝2C5x，

当r＝2时，T3＝40x2. 答案 B

2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )． A．45 B．55 C．70 D．80

解析 (1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋292 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.

答案 C

3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )．

A．9 B．8 C．7 D．6 解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案 B

4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )．

A．6 B．7 C．8 D．9

rrrr解析 Tr＋1＝Crn(3x)＝3Cnx 66由已知条件35C5n＝3Cn 6即C5n＝3Cn

n！n！

＝3

5！?n－5?！6！?n－6?！整理得n＝7 答案 B

5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a21x21，则a10＋a11＝________.

21－r21－r解析 Tr＋1＝Cr(－1)r＝(－1)rCr 21x21x

10由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C21， 11∴a10＋a11＝C1021－C21＝0.

答案 0

考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数

?33?

??n的展开式中，第6项为常数项． x－【例1】?已知在?

3?x??(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键． 解 通项公式为

rrn－rrrrn－2rTr＋1＝Cnx(－3)x－＝(－3)Cnx. 3

3

3

(1)∵第6项为常数项，

n－2r

∴r＝5时，有3＝0，解得n＝10. n－2r1

(2)令3＝2，得r＝2(n－6)＝2，

2

∴x2的项的系数为C210(－3)＝405.

10－2r

??3∈Z，

(3)由题意知?0≤r≤10，

??r∈Z.

令

10－2r3

＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，

∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式

后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．

?a?

【训练1】 (2011·山东)若?x－2?6展开式的常数项为60，则常数a的值为

x??________．

?a?6－r6－3r

解析 二项式?x－2?6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr(－a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C6a＝60，解得a

＝4. 答案 4

考向二 二项式定理中的赋值

【例2】?二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．

[审题视点] 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值． 解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋?＋a9y9.

029

(1)二项式系数之和为C9＋C19＋C9＋?＋C9＝29.

(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋?＋a9＝(2－3)9＝－1 (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋?＋a9＝－1，

令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－?－a9＝59，

59－1

将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝2，即为所有奇数项系数之和．

二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决

二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即

n1n－1n－rrnn函数f(a，b)＝(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnb.对a，b赋予一na＋Cnana

定的值，就能得到一个等式．

【训练2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.

解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2. －1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1 094. －1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.

(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.

考向三 二项式的和与积

【例3】?(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．

[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式． 解析 (1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个

01因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C0C43(2x)·1041(－x)1＋C1C41(－x)0，其系数为C03·C12＝－4＋6＝2. 3(2x)·4(－1)＋C3·

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