第4章随机变量数字特征习题及答案

第4章 随机变量的数字特征

一、填空题

1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 E(X)?E(Y)

2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X)?D(Y) .

3、已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数

n= 6 , p= 0.4 .

4、已知X服从?(x)?5、设X的分布律为 X P ?1 1?e?x?2x?12，则. E(X)= 1 ,D(X)= 1/2 . 0 141 122 1818 则E(2X?1)?9/4 . 6、设X,Y相互独立，则协方差cov(X,Y)? 0 . 这时，X,Y之间的相关系数?XY? 0 . 7、若?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，则|?XY|?1的充要条件是P?Y?aX?b??1. 8、?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，当?XY?0时，X与Y 不相关 ，当|?XY|?1时， X与Y 几乎线性相关 .

9、若D(X)?8,D(Y)?4，且X,Y相互独立，则D(2X?Y)? 36 .

210、若a,b为常数，则D(aX?b)?aD(X).

11、若X,Y相互独立，E(X)?0,E(Y)?2，则E(XY)? 0 . 12、若随机变量X服从[0,2?]上的均匀分布，则E(X)? π .

·31·

13、若D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，则cov(X,Y)? 12 ，D(X?Y)? 85 ，

D(X?Y)? 37 .

14、已知E(X)?3，D(X)?5，则E(X?2)2? 30 . ?e?x15、若随机变量X的概率密度为?(x)???0x?0x?0，则E(2X)? 2 ，

E(e?2X)?1/3 . 二、计算题

1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X 表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？ 解: X的分布律为:

1 2 3 4 5 X pk 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5

E(X)? 答：略

2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为p，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射] 击几次？ 解: 设X为射击次数，则X的分布律为:

X 15(1+2+3+4+5)=3. 1 p 2 p(1?p) 3 (1?p) 2pk

? E(X)?p?2p(1?p)?3(1?p)?p?3p?3

答：略

?2x3、设X的密度函数为f(x)???00?x?1其它22，求E(X)、D(X)

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解: E(X)?2?????xf(x)dx???2?102xdx?223

1 E(X)????xf(x)dx?2?102xdx?3 故 D(X)?E(X)?(E(X))

4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x)?解: E(X)?E(X)?2221221 ??()?2318

12e?|x|求. E(X)、D(X) (???x???)，

????? x122e?xdx?0

?x??2?x??2?x????? x212??0edx????0xedx?????00?xxde ??xe ??2e?x?2?0xe?xdx??2?xde

?x??0?2 故 D(X)?E(X2)?(E(X))2?2

0, x??1??5、设连续型随机变量X的分布函数F(X)??a?barcsinx, ?1?x?1

?1, x?1? 求 a、b、E(X)、D(X). 解: ? X为连续型随机变量，

? F(x)为连续函数. ? F(?1)?F(?1), ? a?? F(1)?F(1), ? a????2b?0

?2b?1

可解得; a?X的概率密度

12, b?1?.

1?,x?1? f(x)?F?(x)???1?x2

?0, 其它?·33·

E(X)??????xf(x)dx??1x?1?1?xx222dx=0

D(X)?E(X)?令 x?sint，则 D(X)?2?2?1?1dx?2?1?x??1x220dx

?1?x??20sin2tdt?12

6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X)

解: 设Ai表示第i个部件需调整，i=1,2,3 Xi???1, Ai发生?0，Ai不发生， 则 X?X1?X2?X3

E(Xi)?P(Ai), D(Xi)?P(Ai)?1?P(Ai)? i?1,2,3 故 E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.1?0.2?0.3?0.6

D(X)?D(X1)?D(X2)?D(X3) ?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46

7、对圆的直径作近似测量，设其值X均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望.

解: 因为X~U(a,b)，所以X的密度

?1?, a?x?b f(x)??b?a

??0, 其它设Y=“圆面积”，则 Y=

π4?4X2，所以

πbE(X)?E(X2)??4x2ab?adx??12(a?ab?b).

2228、设随机变量X~e(2)、Y~e(4)，求E(X?Y)、E(2X?3Y).

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16113所以 E(X?Y)?E(X)?E(Y)???.

244E(2X?3Y)?2E(X)?3D(Y)?(E(Y))2解: 显然 E(X)?12, E(Y)?14, D(Y)?1

?2?

?1?3(116?116)?58

9、设(X,Y)的分布律为

求 E(X),E(Y). Y X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 -1 0 1 解: E(X)?(?1)(0.2?0.1?0)?0?1?(0.1?0.1?0.1)?0

E(Y)?1?(0.2?0.1?0.1)?2?(0.1?0?0.1)?3?(0?0.3?0.1) ?2

10、已知随机变量X的概率密度为f(x)???X?E(X)D(X)?1?|1?x|00?x?2其它

求X*?的概率密度 x?1?1?x?dx?1解: E(X)?2?20?10xdx?2??2x?x?dx?1

212 E(X)??0xdx?3??2x122?xdx?163?76 D(X)?E(X)?(E(X))所以 X

FX?(y)?PX?22?

?6(X?1)

???y?P???6(X?1)?y?P?X???y?y?1??FX(?1)66?

·35·

所

1?1?d?y1y(1?y), y??fX?(y)?F(?1)?f(?1)??X??6X6dy?666??0, 其它?6以

11、设随机变量(X,Y)的密度函数为

?2f(x,y)???00?x?1,0?y?x其它 求E(XY).

y?x?1

解: E(XY)???xyfxOy10(x,y)dxdy?x1??2xydxdy G：0?G2 =2?xdx?ydy?0?0xxdx?14.

12、设随机变量X和Y相互独立，且E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?1，

求 E[(X?Y)2].

解:

E(X?Y)?2??E(X2)?E(Y)?2E(XY)22 ?D(X)?(E(X))?D(Y)?(E(Y))2?2E(X)E(Y)?2

13、设 二 维 随 机 变 量(X,Y) 的 均 值E(X)、E(Y)存 在 ，

证 明 ： E(XY)?E(X)E(Y)?E?(X?E(X))(Y?E(Y))? 。 证：因为

E??X?E(X)??Y?E(Y)???E(XY)?E(X)E(Y) 所以 E(XY)?E(X)E(Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)??

14、证 明 ： 如 果 随 机 变 量 X与 Y 相 互 独 立 ， 且D(X)，D(Y) 存 在 ，

则 D(XY)?D(X)D(Y)??E(X)?D(X)??E(Y)?D(Y)

22 证： D(XY)?E[(XY)]?[E(XY)]

22·36·

?E(XY)?[E(X)E(Y)]2222222222?E(X)E(Y)?[E(X)][E(Y)]2

?{D(X)?[E(X)]}{D(Y)?[E(Y)]}?[E(X)][E(Y)]?D(X)D(Y)?[E(X)]D(Y)?[E(Y)]D(X)2215、设区域G为x2?y2?1，二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，判断X、Y 的相关性、独立性.

解: 显然，二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

?1?, (x,y)?G f(x,y)???

??0, (x,y)?G?1?x21?dy, x?1 f(x,y)dy????1?x2??? 0, 其它所以 fX(x)???????22?1?x, x?1 ??? ?? 0, 其它?22?1?y, y?1 fY(y)???

?? 0, 其它因此 E(X)??????xf(x)dx??12?1?x1?xdx?0

2同样可得 E(Y)?0 1又 E(XY)???xOyxyf(x,y)dxdy????xydxdy?0

G所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 故X、Y不相关，但由于

fX(x)fY(y)?f(x,y) 所以X与Y不相互独立.

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16、设随机变量X和Y的联合分布律为 X Y ?1 ?1 0 181 181818 181818 0 1 0 18 验证X,Y不相关，但X,Y不相互独立. 证：因为

E(X)?(?1)?3838?0?1??0?1?3838?0

E(Y)?(?1)? ?0

E(XY)?(?1)?(?1)?18?0?(?1)?1?18?0?1?(?1)?18?0?1?1?18?0

所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 故X,Y不相关. 又 p1??38, p?1?38， p11?18

所以 p1?p?1?p11 故X,Y不相互独立. 17、设随机变量(X,Y)具有概率密度 ?1?(x?y)f(x,y)??8?0?0?x?2,0?y?2其它

求E(X),E(Y),cov(X,Y),?XY. 解： E(X)???xOyxf(x,y)dxdy?1?820dx?x(x?y)dy?0276

由x,y的“对称性”可得

·38·

E(Y)?76.

又 E(XY)???xOyxyf(x,y)dxdy?1?820dx?xy(x?y)dy?0243

所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??又 E(X)?213622.

53??xOyxf(x,y)dxdy?218?20dx?x(x?y)dy?0

由x,y的“对称性”可得 E(Y)?253

22所以 D(X)?E(X)?(E(X))故 ?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)???1136, D(Y)?1136. 111. 18、已 知 随 机 变 量 X， Y 不 相 关 ， 都 具 有 零 期 望 值 及 方 差 为 1 ， 令U?X，V?X?Y，试 求 ?UV。 解

cov(U,V)?cov(X,X?Y)?cov(X,X)?cov(X,Y)?D(X)?0?1

：

D(U)?D(X)?1, D(V)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2 ?UV?cov(U,V)D(U)D(V)2?12 19、设X~N(?,?),Y~N(?,?),X,Y相互独立

求Z1??X??Y,Z2??X??Y的相关系数. (其中?,?是不为0的常数) 解：

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cov(Z1,Z2)?cov(?X??Y,?X??Y) ?cov(?X,?X)?cov(?X,??Y)?cov(?Y,?X)?cov(?Y,??Y) ??(DX)???cov(X,Y)???cov(Y,X)??D(Y) ?(?222

??)?22因为X,Y相互独立，所以 所以 ?Z

1Z2D(Z1)?D(?X??Y)??D(X)??D(Y)?(?D(Z2)?D(?X??Y)??D(X)??D(Y)?(?222222??)???)?2222

?cov(Z1,Z2)D(Z1)D(Z2)???22????22.

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