2018-2019年最新长沙市南雅中学初升高自主招生考试数

2018-2019年最新长沙市南雅中学自主招生考试

数学模拟精品试卷

（第一套）

考试时间：90分钟总分：150分

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．

1．下列事件中，必然事件是( ) A．掷一枚硬币，正面朝上 B．a是实数，|a|≥0

C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米

D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品

2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（ ）

A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换

3．如果□33ab＝3a2b，则□内应填的代数式()

A．ab B．3ab C．a D．3a

4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根

5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周

O

长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．6 B．8 C．10 D．17

6、今年5月，我校举行“庆五?四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差

7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )

??x＋1>0，A.???x－3>0??x＋1<0，C.???x－3>0

??x＋1>0， B. ?

??3－x>0??x＋1<0， D.?

??3－x>0

8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值

9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )

A．2.5 B．2 2C.3 D.5

10．长沙市南雅中学广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）

（A）两个外离的圆 （B）两个外切的圆（C）两个相交的圆 （D）两个内切的圆

水平面主视方向

12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

①b－4ac>0； ②abc>0； ③8a＋c>0； ④9a＋3b＋c<0.

其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

2

二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案

1

13．当x______时，分式有意义．

3－x14．在实数范围内分解因式：2a3－16a＝________.

15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．

16．如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________.

17．若一次函数y＝(2m－1)x＋3－2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值范围是________．

18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)

三、解答题（本大题7个小题，共90分）

19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1

（2）．先化简，再计算： x2－1?2x－1?2

??x－÷，其中x是一元二次方程x－2x－2＝0的正数

x?x2＋x?

根．

20．（本题共2个小题，每题6分，共12分） （1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．

（2）．描述证明

海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

将上图横线处补充完整，并加以证明．

21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：

测试项目 测试测试测试成 成绩成绩/绩/分 /分 分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图． 请你根据以上信息解答下列问题： (1)补全图一和图二；

(2)请计算每名候选人的得票数；

(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？

22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲k20

线y＝交于A(3，)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴

x3且与y轴交于点E.

(1)求点B的坐标及直线AB的解析式； (2)判断四边形CBED的形状，并说明理由． 23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由； (2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积

OEDCAFBk24．（本题12分）已知双曲线y＝与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于

xA(2,3)、B(m,2)、c(－3，n)三点．

(1)求双曲线与抛物线的解析式；

(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．

25．（本题共2个小题，每题7分，共14分） （1）观察下列算式：

① 1 3 3－22＝3－4＝－1 ② 2 3 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 3 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________ ……

(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

（2）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数yk＝(k>0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOBx1

的面积为.

2

(1)求k和m的值；

k(2)点C(x，y)在反比例函数y＝的图象上，求当1≤x≤3时函

x数值y的取值范围；

k(3)过原点O的直线l与反比例函数y＝的图象交于P、Q两点，

x试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

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数学模拟精品试卷答案

（第一套）

1.答案 B

解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a|≥0.

2.C 3.答案 C

解析 □＝3a2b÷3ab＝a. 4.答案 A

解析 x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．

5.C 6.A 7.答案 B 1

??x＋1>0，

解析 观察数轴，可知－1

?3－x>0?

的解集为－

8.答案 C

解析 当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.

9.答案 D

解析 在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，所以OB＝12＋22＝5 10.答案 A

解析 y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.

11.D 12.答案 D

解析 由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2－4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得a>0；又对称轴为直线x＝－

b＝1，b＝－2a<0.抛物线交y轴于负半轴，得 2ac<0，所以abc>0，②正确．根据图象，可知当x＝－2时，y>0，即4a－2b＋c>0，把b＝－2a代入，得4a－2(－2a)＋c＝8a＋c>0，故③正确．当x＝－1时，y<0，所以x＝3时，也有y<0，即9a＋3b＋c<0，故④正确．

二．填空题 13.答案 ≠3

解析 因为分式有意义，所以3－x≠0，即x≠3. 14.答案 2a(a＋2 2)(a－2 2) 15.答案 9.63310－5

解析 0.0000963＝9.63310－5. 16.答案 105°

解析 如图，∵(60°＋∠CAB)＋(45°＋∠ABC)＝180°，∴∠

CAB＋∠ABC＝75°，在△ABC中，得∠C＝105°.

117.答案 m< 2

??2m－1<0，

解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以?

??3－2m>0，

解

1

之，得m<. 2

18.答案 n(n＋1)＋4或n2＋n＋4

解析 第1个图形有2＋4＝(132＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(233＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(334＋4)个小圆，……第n个图形有[n(n＋1)＋4]个小圆．

三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）

211

（1）.解：原式＝1＋3 23－＝3. 222

?x＋1??x－1?x2－2x＋1x－1x（2）解：原式＝÷＝2＝

x?x＋1?xx?x－1?2

1. x－1

解方程得x2－2x－2＝0得， x1＝1＋3>0，x2＝1－3<0. 当x＝1＋3时，

113

原式＝＝＝.

1＋3－133

20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x2＋17) cm，正六边形周长为6(x2＋2x) cm.

因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．

整理得x2＋12x－85＝0，配方得(x＋6)2＝121， 解得x1＝5，x2＝－17(舍去)．

故正五边形的周长为53(52＋17)＝210(cm)．

又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.

ab（2）解：如果＋＋2＝ab，那么a＋b＝ab.

baaba2＋b2＋2ab证明：∵＋＋2＝ab，∴＝ab，

baab∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2，∴(a＋b)2＝(ab)2， ∵a>0，b>0，a＋b>0，ab>0， ∴a＋b＝ab.

21.解：(1)乙30%；图二略．

(2)甲的票数是：200334%＝68(票)， 乙的票数是：200330%＝60(票)，

丙的票数是：200328%＝56(票)，

6832＋9235＋8533

(3)甲的平均成绩：x1＝＝85.1，

2＋5＋3

6032＋9035＋9533

乙的平均成绩：x2＝＝85.5，

2＋5＋3

5632＋9535＋8033

丙的平均成绩：x3＝＝82.7，

2＋5＋3

∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．

k20

22.解：(1)∵双曲线y＝过A(3，)，∴k＝20.

x320

把B(－5，a)代入y＝，得a＝－4.

x∴点B的坐标是(－5，－4). 设直线AB的解析式为y＝mx＋n，

20

将 A(3，)、B(－5，－4)代入得，

3

?20

?＝3m＋n，－4＝－5m＋n，?3

48

解得：m＝，n＝.

33

48

∴直线AB的解析式为：y＝x＋.

33(2)四边形CBED是菱形．理由如下：

易求得点D的坐标是(3,0)，点C的坐标是(－2,0)． ∵ BE//x轴， ∴点E的坐标是(0，－4)． 而CD＝5, BE＝5, 且BE//CD. ∴四边形CBED是平行四边形. 在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2, ∴ ED＝32＋42＝5，∴ED＝CD. ∴四边形CBED是菱形.

23.解：证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD， ∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∴BD是直径，∴BD过圆心. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， ∵AD⊥AB，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE，∴∠EBA=∠FBA， ∴∠ABD+∠FBA=90°，

∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O切线.

(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB为等边三角形..

600?22322?S弓形AB=??2??3. 036043

k24.解：(1)把点A(2,3)代入y＝得：k＝6.

x∴反比例函数的解析式为：y＝.

6

把点B(m,2)、C(－3，n)分别代入y＝得： m＝3，n＝－2.

6xx把A(2,3)、B(3,2)、C(－3，－2)分别代入y＝ax2＋bx＋c得：4a＋2b＋c＝3，??

?9a＋3b＋c＝2，??9a－3b＋c＝－2，

?

?解之得 ?2

b＝，?3?c＝3.

1a＝－，

3

122

∴抛物线的解析式为：y＝－x＋x＋3.

33

(2)描点画图(如图)：

S△ABC＝(1＋6)35－3131－3634＝－－12＝5.

25.（1）.解：(1)436－52＝24－25＝－1.

(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1.

2

(3)n(n＋2)－(n＋1)2 ＝n2＋2n－(n＋2n＋1) ＝n2＋2n－n2－2n－1 ＝－1. 所以一定成立．

（2）解：(1)∵A(2，m)，∴OB＝2，AB＝m，

1111

∴S△AOB＝OB2AB＝323m＝，∴m＝.

2222

1

∴点A的坐标为(2，)．

2

1k1k把A(2，)代入y＝，得＝，∴k＝1.

2x22

1

(2)∵当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝，

3

1

又∵反比例函数y＝在x>0时，y随x的增大而减小，

12121235122

x1

∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1.

3

(3) 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2 2.

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数学模拟精品试卷

（第二套）

考试时间：90分钟总分：150分

第I卷

一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( ) A．20?0

B．(a3)2?a6 C．

29??3 D．a?a?a

2、如右图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，

则□ABCD的周长为( ) A．6 C．12 D．15

B．9

3、已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图 象如右图所 示，则下列结论 ①a?b?c?0 ②a?b?c?0 ③b?2a?0 ④abc?0 中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）

(1)(2) (3)

（A）25 （B）66 （C）91 （D）120 5、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。其中正确结论的个数为（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 6、在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计，

频数分布表中，54.5~57.5这一组的频率是0.12，那么，估计总体数据落在54.5~57.5之间的约有 （ ）

（A）6个 （B）12个 （C）60个 （D）120个 7、若m、n（m

A. m < a < b< n B. a < m < n

A、ab=h B、1+1=1 C、

abh1a2+

1b2=

1h2 D、a2 +b2=2h2

9、如右图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的

点，且AE＝BF＝CG＝DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A、 B、 C、 D、

10、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形

各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为

x、y、z，则??的值为（ ）

（A）1

二、填空题（每小题5分，共30分）

11、根据右图中的抛物线可以判断：

当x________时，y随x的增大而减小. 12、函数y?x?2中，自变量x的取值范围是__________.

x2?x?21x1y1z（B）

23（C）

12（D）

1313、如果关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0有两个实数根x1，

x2，且它们满足不等式是 。

14、甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟

出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车．

15、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是__________.

x1x2?1，则实数m的取值范围

x1?x2?316、如下图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为?，当AC + BD = 10时，四边形ABCD的面积最大值是。

A

D C

?B 2018-2019年最新长沙市南雅中学自主招生考试

数学模拟精品试卷

（第一套）

第Ⅱ卷（含Ⅰ卷答题卡）

一、选择题 (每小题5分，共计50分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(每小题5分，共计30分)

11、____________ 12、____________ 13、___________ 14、____________ 15、____________ 16、____________ 三、解答题（共6个小题，满分70分，写出解题过程）

?3??1200917、（8分） 计算：|3.14?π|?3.14?? ?1?2cos45°?(2?1)?(?1)??2???0

x105x3?x218、（8分）先化简，再求值：， ???x?2x2?4x?2x2?x?2其中x??22?1?2(tan45??cos30?)0.

2?1

19、（12分）已知?ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程

x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边长为5.

（1）k为何值时，?ABC是以BC为斜边的直角三角形 （2）k为何值时，?ABC是等腰三角形，并求?ABC的周长

20、（12分）某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题