江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(应试笔记) (1)
更新时间:2023-04-17 09:20:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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江苏省高考数学复习知识点
一.集合性质与运算:不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想
二\.复数运算
1.运算律:⑴m n m n z z z +?=; ⑵()m n mn z z =; ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
2.模的性质:
⑴1212||||||z z z z =; ⑵1122||||||
z z z z =
; ⑶n n
z z =.
3.重要结论:
⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+; ⑵2
212
z z z z ?==; ⑶()2
12i i ±=±; ⑷
11i i i -=-+,11i
i i
+=-; ⑸i 性质:T=4;.
【拓展】:
1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i ()()3211101ωωωωω=?-++=?=
或12
2
ω=-.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律:
(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图像都过点(1,1);
(2)当0a >时,幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,)+∞上是增函数.特别地, 当1a >时,幂函数的图像下凸; 当01a <<时,幂函数的图像上凸;
(3)0a <时,幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于+∞时,图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【说明】:对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类,它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1),并且
1-=x 时图像都经过(1,1),把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.
A5.统计
1.抽样方法:
2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
①频率=样本容量频数
.
②小长方形面积=组距×
组距
频率
=频率. ③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】:直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率.
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计;
样本平均数: 1211
1()n
n i
i x x x x x n
n ==++
+=∑
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
1x
2 (1)一组数据123,,,,n x x x x ? ①样本方差2
222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+???+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ; ②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,,n x x x 的平均数为x ,方差为2s ,则12,,
,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +,方差为22a s . 样本数据做如此变换:'i i x ax b =+,则'x ax b =+,222()S a S '=.
B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域:
(1)当0A >时,若0Ax By C ++>表示直线l 的右边,若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边.
(2)当0B >时,若0Ax By C ++>表示直线l 的上方,若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A
A B B ≠),则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域:
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域(上下或左右两部分).
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系:
若曲线(,)f x y 为封闭曲线(圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等),则00(),0f x y >,称点在曲线外部;
若(,)f x y 为开放曲线(抛物线、双曲线等),则00(),0f x y >,称点亦在曲线“外部”.
4、已知直线:0l Ax By C ++=,目标函数z Ax By =+.
①当0B >时,将直线l 向上平移,则z 的值越来越大;直线l 向下平移,则z 的值越来越小;
②当0B <时,将直线l 向上平移,则z 的值越来越小;直线l 向下平移,则z 的值越来越大;
5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义:
(1)z ax by =+,若0b >,直线在y 轴上的截距越大,z 越大,若0b <,直线在y 轴上的截距越大,z 越小.
(2)y m
x n --表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率,特别
y x 表示过原点和(),n m 的直线的斜率. (3)()()22t x m y n =-+-表示圆心固定,半径变化的动圆,也可以认为是二元方程的覆盖问题.
(4)
y =(),x y 到点()0,0的距离.
(5)(cos ,sin )F θθ;
(
6)d =; (7)22a ab b ±+;
【点拨】:通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。
B 2.三角变换:
(1)角的“配”与“凑”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,还应注意一些配凑变形技巧,如下:
2=+ααα,22
αα=?;
3 22αβ
αβ++=?,()
222αβ
βααβ+=---; ()()2222=+-=-+==+-+-+-ααββαββαβαβ
βα
βα
;
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα;
2()+=++αβαβα,2()-=-+αβαβα;
154530,754530?=?-??=?+?;
()
424ππααπ+=--等. (2)“降幂”与“升幂”(次的变化) 2222cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα 2cos 2sin 12=-αα,2sin 2cos 12
=+αα, (3)切割化弦(名的变化)
利用同角三角函数的基本关系经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
(4)常值变换
常值12.此外,对常值 “1”可作如下代换:22221sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042
x x x x x x ππ=+=-=?=?====等. (5)引入辅助角
一般的,sin cos )sin()a b +=
=+ααααα?,
期中cos tan b a ===
???.
特别的,sin cos )4A A A +=+π
; sin 2sin()3
x x x +=+π,
cos 2sin()6
x x x +=+π等. (6)特殊结构的构造
构造对偶式,化繁为简.
举例:22sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??,22cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+?? 可以通过两式和,作进一步化简.
(7)整体代换
举例:sin cos x x m +=22sin cos 1x x m ?=-
sin()m +=αβ,12sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=--?sin()n -=αβ,可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值,作为代换之用.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用公式和变换方法外,还要注意三角形自身的特点.
(1)角的变换
因为在ABC ?中,A B C π++=(三内角和定理),所以
任意两角和:与第三个角总互补,
任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形:①三内角都是锐角;
②三内角的余弦值为正值;
③任两角和都是钝角;
4 ④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即,sin sin()A B C =+;cos cos()A B C =-+;tan tan()A B C =-+.
22sin cos A
B C +=;22cos sin A B C +=;22tan cot A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.
面积公式:11sin 22
a S sh a
b C r p =
==?=其中r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半.tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A ++= (3)对任意ABC ?,;
在非直角ABC ?中,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.
(4)在ABC ?中,熟记并会证明:
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?. *2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列. *3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan
tan 223A C =;3≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3≤
B π. (5)锐角AB
C ?中,2A B π
+>?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ,222a b c +>;
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
(6)两内角与其正弦值:
在ABC ?中,sin sin a b A B A B >?>?>?cos 2cos 2B A >,…
(7)若π=++C B A ,则222
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥.
B 4.三角恒等与不等式
组一 33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-
()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-
323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθ
π
π
θθθθθ-==-+-
组二
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos 222
A B C A B C ++= cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C A B C ++=+ 222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,)2x π
∈,则sin tan x x x <<;
(2) 若(0,)2
x π
∈
,则1sin cos x x <+ (3) |sin ||cos |1x x +≥; (4)x
x x f sin )(=在),0(π上是减函数;
B5.概率的计算公式:
5 ⑴古典概型:()A P A =包含的基本事件的个数
基本事件的总数
; ①等可能事件的概率计算公式:()()()m card A p A n card I ==; ②互斥事件的概率计算公式:P (A +B )=P (A )+P (B );
③对立事件的概率计算公式是:P (A )=1-P (A );
⑵几何概型:若记事件A={任取一个样本点,它落在区域g ?Ω},则A 的概率定义为
()g A P A Ω==的测度
构成事件的区域长度(面积或体积等)的测度试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)
B6.最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值,则当x y =时和x y +
有最小值
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值
214s . 【推广】:已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.
若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小. 若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小;
当||y x -最小时,||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=
,则有:21
111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥ ④,,,R a x b y +∈,若1a
b
x y +=则有:(
)2(
)ay
bx
x y x y a b x y +=++=++=
B7.求函数值域的常用方法:
①配方法: ②逆求法:通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围,型如
,(,)ax b
y x m n cx d +=∈+的函数值域;
④换元法:
⑤三角有界法:如转化为只含正弦、余弦的函数,再运用其有界性来求值域;
⑥不等式法:
利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值,有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧; ⑦单调性法:
⑧数形结合法:
⑨分离常数法:
【说明】:对分式函数一般先考虑分子分母次数,齐次的话则先分离出常数,若次数不一样且两倍的化则将次数低的整体换元: 1.2
b y k x =
+型,可直接用不等式性质; 2.2bx y x mx n
=++型,先化简,再用均值不等式; 3.
2x m x n y mx n ''++=+型,可先换元转化为类似于2型 4. 22x m x n y x mx n ''++=++型,通常先分离出常数再转换为3型
?导数法:一般适用于高次多项式函数求值域.……
6
B8.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域:画图像,定区间,截段.
(二) 非常规函数求值域:想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤:(1)换元变形;
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围;
(3)画图像,定区间,截段。
(三) 分式函数求值域 :四种题型 (1)cx d y ax b
+=+ (0)a ≠ :则c y a ≠且y R ∈. (2)(2)cx d y x ax b
+=≥+:利用反表示法求值域。先反表示,再利用x 的范围解不等式求y 的范围. (3)2223261
x x y x x +-=--: (21)(2)21()(21)(31)312
x x x y x x x x -++==≠-++ ,则1y 13y ≠≠且且y R ∈. (4)求2211
x y x x -=++的值域,当x R ∈时,用判别式法求值域。 2211
x y x x -=++?2(2)10yx y x y +-++=,2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域. (四) 不可变形的杂函数求值域:
(五) 原函数反函数对应求值域:原函数的定义域等于反函数值域,原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数:利用求值域的前五种方法写求值域的过程,将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:
⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.
⑵凑项(加、减常数项):例2.已知54x <
,求函数1()4245
f x x x =-+-的最大值. ⑶调整分子:例3.求函数2710()(1)1
x x f x x x ++=≠-+的值域;
⑷变用公式:基本不等式2
a b +≥
22
2a b ab +≥, 2()2a b ab +≥, 2
a b +≥
,222()22a b a b ++≥. 前两个变形很直接,后两个变形则不易想到,应重视;
例4.求函数15()22
y x =
<<的最大值; ⑸连用公式:例5.已知0a b >>,求216()
y a b a b =+-的最小值; ⑹对数变换:例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)y t x =的最大值; ⑺三角变换:例7.已知20y x π
<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值;
7 ⑻常数代换(逆用条件):例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b =
+的最小值.
B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞:
⑴平方和为定值
若22x y a +=(a 为定值,0a ≠)
,可设,,x y αα==,其中02α
π<≤.
①(,))4
f x y x y πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数, 在15[,]44
ππ上是减函数; ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444
πππππ上是增函数, 在1357[,],[,]4444
ππππ上是减函数;
③11(,)x y m x y x y xy +=+==
令sin cos )4
t π
ααα=+=+
,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--. 由212sin cos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-
,
从而2(,)1)m x y t t
==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值
若x y b +=(b 为定值,0b ≠),则.y b x =- ①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b
+∞上是减函数;
②211(,)x y b m x y x y xy x bx
+=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数;当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2
b +∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数; ⑶积为定值
若xy c =(c 为定值,0c ≠),则.c y x =
①(,)c f x y x y x x
=+=+.当
0c >
时,在[
上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数; 当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数;
②111(,)()x y c m x y x x y xy c x
+=+==+.
当0c >
时,在[
上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数;
当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数;
③2222
22(,)()2c c n x y x y x x c x x
=+=+
=+-
在(,-∞上是减函数,
在()+∞上是增函数. ⑷倒数和为定值
8 若
112x y d +=(d 为定值,111,,x d y
),则.c y x =成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d ≠±,则1111,,z z x d y d
=-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d
+∞上是增函数;当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d
--+∞上减函数; ②2
22
(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d +∞上是增函数;当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d
--+∞上是增函数; ③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数. 注意:不要忘记最基本的方法:减元转化为函数,多个变量尽量减少
B11.理解几组概念
*1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式, ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠,则240b ac ?=-≥是方程
[]2()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件,称“?”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法:
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决;
二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中,任取一组数值时,第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作:(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量,函数Z 也叫做因变量,自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标,先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ;再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ,使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ;
当M 点在D 中变动时,对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面,其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影.
*4. 格点
在直角坐标系中,各个坐标都是整数的点叫做格点(又称整数点).在数论中,有所谓格点估计问题.在直角坐标系中,如果一个多边形的所有顶点都在格点上,这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形,它是运筹学中的一个基本概念.
*5. 间断点
我们通常把间断点分成两类:如果0x 是函数()f x 的间断点,且其左、右极限都存在,我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点;不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
*6. 拐点
连续函数上,上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数,我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x '';
(2)令()0f x ''=,解出此方程在区间(,)a b 内实根;
(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ,检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号,若符号相反,则此点是拐点,若相同,则不是拐点.
9
*7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴,即0()0f x =.这说明,可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点);但是,反之,可导函数的驻点,却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意2,x x D ∈1的都有221()[()()]22
x x f f x f x ++11≥
,则称是()f x 上的凸函
数.定义在D 上的函数如果满足:对任意的2,x x D ∈1都有2
21(
)[()()]2
2
x x f f x f x ++11≤
,则称()f x D 是上的凹函
数. 【注】:一次函数的图像(直线)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等号成立).
若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方,则称这段弧是凹的;若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方,则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.
B12. 了解几个定理 *1. 零点定理: 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且()()0f a f b ?<.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ(a <ξ<b )使0)(=ξf . *2. 介值定理:
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且在这区间的端点取不同函数值,B b f A a f ==)(,)(,那么对于B A ,之间任意的一个数C ,在开区间),(b a 内至少有一点ξ,使得C f =)(ξ(a <ξ<b ). *3. 夹逼定理:
设当00||x x δ-<<时,有()g x ≤()f x ≤)(x h ,且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
,则必有.)(lim 0
A x f x x =→
【注】:0||x x -:表示以0x 为的极限,则||0x x -就无限趋近于零.(ξ为最小整数)
C 、10~12,思维拓展题,稍有难度,要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式 C 2. 抽象函数
C 3.函数图像的对称性
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠) C5.对称性与周期性的关系
C6.函数图象的对称轴和对称中心举例 C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系 C8.关于奇偶性与单调性的关系. C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中:
①体对角线长为2
2
2
c b a ++
,外接球直径2R ②棱长总和为4()a b c ++;
③全(表)面积为2()ab bc ca ++,体积V abc =;
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1,sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2
α+cos 2
β+cos 2
γ=2,sin 2
α+sin 2
β+sin 2
γ=1.
(10)在正三棱锥中:①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心; ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心;
③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中:设棱长为a ,则正四面体中的一些数量关系:
①全面积2S =;
②体积312V =;
③对棱间的距离2d =;
④相邻面所成二面角1
3arccos α=;
⑤外接球半径R =
; ⑥内切球半径12r =;
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3h =
.
4.在立方体中: 设正方体的棱长为a ,则①体对角线长为a 3,
②全面积为26a ,
③体积3V a =,
④内切球半径为1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则 12r a =,22r =,22r =,且1231r r r =::
C10.圆锥曲线几何性质
椭圆方程的第一定义:为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
双曲线的第一定义:的一个端点的一条射线
以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
圆锥曲线的焦半径公式如下图:
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”,尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.
C11.. C 12.
d =(a -
11
C 13.大小比较常用方法:
①作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
②作商(常用于分数指数幂的代数式);
③分析法;
④平方法;
⑤分子(或分母)有理化;
⑥利用函数的单调性;
⑦寻找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法;
⑧图像法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
C 14.不定项填空题易误知识点拾遗:
(1)情况存在的“个数”问题
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面__个.(7个);
②过直线外一点有__个平面与该直线平行(无数个);
③一直线与一平面斜交,则平面内有__条直线与该直线平行.(0);
④3条两两相交的直线可以确定__个平面(1个或3个);
⑤经过空间外一点,与两条异面直线都平行的平面有__条(0或1);
⑥3个平面可以把空间分__个部分.(4或6或7或8);
⑦两两相交的4条直线最多可以确定__个平面(6个);
⑧两异面直线成60°,经过空间外一点与它们都成30°(45°,60°,80°)的直线有__条.(1;2;3;4);
(2)平面与空间的“区分”问题
1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行;
②平行于同一直线的两平面平行;
③平行于同一平面的两直线平行;
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直;
⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线;
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直,则该直线与这个平面垂直……
2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两个平面平行;
③两平面平行,若第三个平面与它们相交且有两条交线,则两直线平行;
④两相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面……
(3)易误提点:
①0a b ?<是,a b <>为钝角的必要非充分条件.
②截距不一定大于零,可为负数,可为零;
③0常常会是等式不成立的原因,0模为0,方向和任意向量平行,却不垂直;
④在导数不存在的点,函数也可能取得极值;导数为0的点不一定是极值点,一定要既考虑0()0f x '=,又要考虑
检验“左正右负”或“左负右正”;
⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
12 C15.关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比: 多面体
多边形; 面 边
体 积 面 积 ; 二面角 平面角
面 积 线段长; … ….
D 、13~14,把关题,考点灵活/题型新颖/方法隐蔽
D1.熟知几个重要函数
1.()f x x
b a x =+ (1) 0,0
a b >>时,()f x 为“双钩函数”:
① 定义域:(,0)(0,)-∞+∞;
值域为(,[,)b a
-∞+∞; ② 奇偶性:奇函数(有对称中心);
③ 单调性:在区间(,)-∞+∞上单调递增; 在区间[上单调递减. ④ 极值:x =x =. ⑤ 记住()f x x b
a x =+(0,0)a
b >>的图像的草图.
⑥ 不等式性质:0x >时,()f x x b a x =+≥;
0x <时, ()f x x
b
a x =+-≤(2) 0,0a
b <>时,()f x 在区间00,(,)(,)-∞+∞上为增函数. 【思考】:图像大致如何分布.
(3)常用地,当1a b ==时,()1f x x x =+
的特殊性质略. 【探究】:①函数()1
f x x b
a x =+的图像变化趋势怎样?
②()()()22,n n b
b f x ax f x ax n x x
*=+=+∈N 的有关性质.
y
13 2.(0,)ax b y c ad bc cx d
+=≠≠+ 化简为,ax b y cx d b
a c c d x c
+==+++ ①定义域:(,)(,)d d c c
-∞-+∞;值域为a y c ≠的一切实数; ②奇偶性:不作讨论;
③单调性:当
0b c <时,在区间(,],[,)d d c c
-∞-+∞上单调递增; 当0b c >时,在区间(,],[,)d d c c
-∞-+∞上单调递减. ④对称中心是点(,)d a c c -; ⑤两渐近线:直线d c x =-和直线a c y =; 【注意】:两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x 的系数确定.
⑥平移变换:(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+可由反比例函数(0)b c k y x
=≠图像经过平移得到; ⑦反函数为b dx cx a
y --=; 【说明】:分式函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+与反比例函数(0)
c c y x =≠,离心率均为,同源于双曲线2222
1y x a b -=. 3.三次函数图像与性质初步
*1.定义:形如)0(23≠+++=a d cx bx ax y 的函数叫做三次函数. 定义域为R ,值域为R .
*2.解析式:①一般式:32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠;
②零点式:123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠
*3.单调性:
【探究】:要尝试研究一个陌生函数的一些性质,以往在研究二次函数问题时,我
们需要考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤
判别式;⑥两根符号.在研究三角函数问题时,又采用过“五点”作图法.
那三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像及性质,要从那里入手呢?
再结合探究工具“导数”,我们不妨从函数图像几何特征角度,如零点、极值点、
拐点、凹凸性、极值点区间等,确定研究的方向,把握三次函数的一些粗浅性
质. )0(23≠+++=a d cx bx ax y
所以,2()32f x ax bx c '=++,导函数对称轴3x a b
=-.
【注意】:拐点横坐标所在处,也有可能是驻点所在处.
2
412b ac ?=-(“极值判别式”,当判别式小于等于零时,无极值点)
(一)若24120b ac ?=->
令()0f x '=,由根与系数关系知:1223x x b a =-+,123x x c a = 两极值点:a
ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= (1)当0a >,0b >,0c >,约定0d >,则拐点在y 轴左边,极值点分布在y 轴左边.根据零点的个数,尝试做出如下图像:
14
(2)当0a >,0b >,0c <
y
对值;
(3)当0a >,
0b <
,0
c >
时,拐点在y 轴右边,极值点分布在
y
轴右边,且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略
(4)当0a
>,0b <
,0c <时,拐点在
y 轴右边,极值点分布在y 轴两边,且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略 (二)若
2
4120
b
ac ?=-<
由1
2x x -==知:无极值点,拐点横坐标仍为3a b
-,所以
图像如右图所示.
(三)若0=? 即032=-ac b 时,0)('≥x f 在 R 上恒成立, 即)
(x f 在),(+∞-∞为增函数.
x *4.极值:
函数在某点取得极值的充要条件是什么?等价表述,和单调性的联系
(1)若230≤b ac -,则)(x f 在R 上无极值;
(2) 若032>-ac b ,则)(x f 在R 上有两个极值;且)(x f 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值.
*5.零点个数(根的性质)
函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的图像与x 轴有几个交点?和函数的哪些性质相联系?
(联系函数的极值,进行等价转化)
一个交点:极大值小于0,或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”;
两个交点:极大值等于零,或者极小值等于零;
三个交点:极大值大于零,极小值小于零.
D2.几个重要图像
1.y ax b
=-(0
a b
>>) 2.y
3.y x a x b
=-+-(0
a b
>>) 4.y x a x b
=---(0
a b
>>)
5.x a y b m
-+-= 6.x a y b m
---=
D3.函数)
(
)
(
)
(x
g
x
f
x
F
y-
=
=的零点处理:
(1))
(x
F
y=的零点(不是点而是数)?()0
F x=的根
?()
y F x
=与x轴的交点的横坐标
?)(
),
(x
g
y
x
f
y=
=的交点问题.
(2)注意讨论周期函数(特别是三角函数)在某区间内零点个数问题.
(3)零点存在定理:)
(x
f
y=单调且端点值异号
012
()
,
x x x
??∈使
()0
f x=.
【说明】:
1.方程0
)
(=
x
f在)
,
(
2
1
k
k上有且只有一个实根,与0
)
(
)
(
2
1
<
k
f
k
f不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地,方程)0
(0
2≠
=
+
+a
c
bx
ax有且只有一个实根在)
,
(
2
1
k
k内,等价于0
)
(
)
(
2
1
<
k
f
k
f,或0
)
(
1
=
k
f且
b
+
15
16 22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a
b k k <-<+. 2.()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则()f x 在[],a b 上至少有一个零点(奇数个零点),可能有无数个零点.()()0f a f b >,()f x 在[],a b 上可能无零点也可能有无数个零点.
3.两个相同的根只能算一个零点,零点的表示方法不能用有序实数对(),0x .
D4.比例的几个性质 ①比例基本性质:
bc ad d
c b a =?=; ②反比定理:c
d a b d c b a =?=; ③更比定理:d
b c a d c b a =?=; ④合比定理;d d c b b a d c b a +=+?=; ⑤分比定理:d
d c b b a d c b a -=-?=; ⑥合分比定理:d c d c b a b a d c b a -+=-+?=;⑦分合比定理:d
c d c b a b a d c b a +-=+-?=; ⑧等比定理:若n n b a b a b a b a ==== 332211,0321≠++++n b b b b ,则11321321b a b b b b a a a a n n =++++++++ . D5.(1)三角形中的 “三线定理”(斯德瓦定理)
在△ABC 中,D 是BC 上任意一点,则DC BD BC
BC AB BD AC AD ?-+=222. ①若AD 是BC 上的中线,222222
1a c b m a -+=; ②若AD 是∠A 的平分线,()a p p bc c
b t a -?+=2,其中p 为半周长; ③若AD 是BC 上的高,()()()
c p b p a p p a h a ---=2,其中p 为半周长. (2)三角形“五心”的向量性质(P 为平面ABC 内任意一点): ①O 为ABC ?的重心?1
3()PO PA PB PC =++ 0OA OB OC ?++=
②O 为ABC ?的垂心?0OA BC OB CA OC AB ?=?=?=
OA OB OB OC OC OA ??=?=? 222222OA BC OB CA OC AB ?+=+=+; ③O 为ABC ?的内心?||||||||||||()()()AB
AC BA
BC CA
CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ???-=-=-
()|||||||||||0PA PB PC AB BC CA PO BC CA AB ?=++++= ④O 为ABC ?的外心
?()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=
?,,OA AB OB BA OB BC OC CB OC CA OA AC ?=??=??=?
222
OA OB OC ?==; ⑤O 为ABC ?中A ∠的旁心||||||OA OB OC BC AC AB ?=+;
D6.含绝对值不等式
(1)复数集内的三角形不等式: 121212z z z z z z -±+≤≤
其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向(反向)时取等号.
B C
M F H A
17 (2)向量不等式:
||||||||||||a b a b a b -±+≤≤
【注意】: a b 、同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-;
a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+;
a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似)
(3)代数不等式:
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥;
,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥.
D7.重要不等式
1、和积不等式:,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”).
【变形】:①22
2()22
a b a b ab ++≤≤(当a = b 时,222()22a b a b ab ++==) 【注意】:
(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ ②22223()()3()a b c a b c ab bc ca ++++++≥≥ (当且仅当a b c ==时取“=”号).
2、均值不等式:
两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
2
2“”112ab a b a b a b a b +===++时取) 【拓展】:
①幂平均不等式:
222212121...(...)n n a a a a a a n
++++++≥(,,,)a b c R a b c ∈==时取等 ② “算术平均≥几何平均(a 1、a 2…a n 为正数)”:
12n a a a n
+++a 1=a 2=…=a n 时取等) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): ①332
2a b a b ab ++≥
②3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---
?3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a )
;
3a b c ++ ?3()3a b c abc ++≤333
3
a b c ++≤ 4、柯西不等式:
①(代数形式)设d c b a ,,,均为实数,则 22222()()()a b c d ac bd +++≥,其中等号当且仅当bc ad =时成立.
②(向量形式)设α,β为平面上的两个向量,则||||||αβαβ??≥,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.
③(三角形式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数,则:
【思考】:三角形不等式中等号成立的条件是什么?
④(推广形式)设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则
222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++
+++++++≤
18 等号成立当且仅当n
n b a b a b a === 2211时成立.(约定0=i a 时,0=i b ) 5、绝对值不等式:123123a a a a a a ++++≤
(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤
(左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.)
6、放缩不等式:
①00a b a m >>>>,,则
b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】:b b m a a m
+<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则
,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈,b d a c <,则b b d d a a c c
+<<+; ③n N +∈
< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n
-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈.
D8.三角函数最值题型及解题捷径
①sin cos y a x b x =+; ②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++;
③2sin cos y a x b x c =++; ④2sin cos y a x x =?(均值不等式法); ⑤含有sin cos x x ±或sin cos x x ?; ⑥sin cos a x c y b x d
+=
+.
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