高一必修5解三角形练习题及答案

第一章 解三角形

一、选择题

BC中，(1)b?1．在?A2asinB;(2) (a?b?c)(b?c?a)?(2?2)bc, (3) a?32,c?3,C?300;

(4)

sinBb?cosAa;则可求得角A?450的是（ ） A．（1）、（2）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 2．在?ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A．b?10，A?45?，C?70? B．a?60，c?48，B?60?

C．a?14，b?16，A?45? D． a?7，b?5，A?80?

3．在?ABC中，若b?c?2?1，C?45?，B?30?，则（ ）

A．b?1,c?2 ； B．b?2,c?1；

C．b?222,c?1?2； D．b?1?222,c?2 4．在△ABC中，已知cosA?513，sinB?35，则cosC的值为（ ） A. 1665或 5665 B. 16561665 C . 65 D. ?65 5．如果满足?ABC?60?，AC?12，BC?k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（ A．k?83 B．0?k?12 C．k?12 D．0?k?12或k?83 二、填空题

6．在?ABC中，a?5，A?60?，C?15?，则此三角形的最大边的长为 ．

7．在?ABC中，已知b?3，c?33，B?30?，则a?_ _．

8．若钝角三角形三边长为a?1、a?2、a?3，则a的取值范围是 ．

9．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为

10. 在△ABC中，（1）若sinC?sin(B?A)?sin2A，则△ABC的形状是 . （2）若sinA=sinB?sinCcosB?cosC，则△ABC的形状是 .

）

1

三、解答题

11. 已知在?ABC中,cosA?63,a,b,c分别是角A,B,C所对的边. (Ⅰ)求tan2A； (Ⅱ)若sin(?2?B)?223,c?22,求?ABC的面积. 解:

12. 在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a2?c2?b2?8bc5，a=3, △ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。

⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c； ⑶求d的取值范围 解：

2

13．在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列. （I）求B的值； （II）求2sin2A?cos(A?C)的范围。 解：

14．在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b2?a2?c2ac?cos(A?C)sinAcosA.

(1) 求角A； (2) 若sinBcosC?2，求角C的取值范围。 解:

3

15．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1?tanA2c?． tanBb2??????2C （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若m ?(0,?1)，n?cosB,2cos，试求m?n的最小值．

??解：

16．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设A到P的距离为x km，用x表示B,C到P 的距离，并求x值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.1 km）

解：

4

高一下期中数学复习：必修⑤ 第一章 解三角形 参考答案

一、选择题

BC中，(1)b?1．在?A(4)

2asinB;(2) (a?b?c)(b?c?a)?(2?2)bc, (3) a?32,c?3,C?300;

sinBcosA?;则可求得角A?450的是（ D ） baA．（1）、（2）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 2．在?ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ C ） A．b?10，A?45?，C?70? B．a?60，c?48，B?60?

C．a?14，b?16，A?45? D． a?7，b?5，A?80?

3．在?ABC中，若b?c?2?1，C?45?，B?30?，则（ A ）

A．b?1,c?2 ； B．b?2,c?1；

C．b?222,c?1?2； D．b?1?222,c?2 4．在△ABC中，已知cosA?5313，sinB?5，则cosC的值为（ B ） A. 1665或 5665 B. 16561665 C . 65 D. ?65 5．如果满足?ABC?60?，AC?12，BC?k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A．k?83 B．0?k?12 C．k?12 D．0?k?12或k?83 二、填空题

6．在?ABC中，a?5，A?60?，C?15?，则此三角形的最大边的长为56?1526．

7．在?ABC中，已知b?3，c?33，B?30?，则a?_6或3_．

8．若钝角三角形三边长为a?1、a?2、a?3，则a的取值范围是(0,2)．

9．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为332 10. 在△ABC中，（1）若sinC?sin(B?A)?sin2A，则△ABC的形状是等腰三角形. （2）若sinA=sinB?sinCcosB?cosC，则△ABC的形状是直角三角形.

D ）

5

三、解答题

11. 已知在?ABC中,cosA?63,a,b,c分别是角A,B,C所对的边. (Ⅰ)求tan2A； (Ⅱ)若sin(?2?B)?223,c?22,求?ABC的面积. 解: (Ⅰ)因为cosA?63,∴sinA?323,则tanA?2, ∴tan2A?2tanA1?tan2A?22. (Ⅱ)由sin(?2?B)?223,得cosB?223,∴sinB?13,

则sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?63, ∴a?csinAsinC?2, ∴?ABC的面积为S?12acsinB?223. 12. 在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a2?c2?b2?8bc5，a=3, △ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。

⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c； ⑶求d的取值范围

解：(1) a2?c2?b2?8bc5?b2?c2?a232bc?45?cosA?45?sinA?5

(2)?S113?ABC?2bcsinA?2bc?5?6，?bc?20,

由

b2?c2?a22bc?45及bc?20与a=3 解得b=4，c=5或b=5,c= 4 . (3)设D到三边的距离分别为x、y、z， 则S?ABC?12(3x?4y?5z)?6,d?x?y?z?1215?5(2x?y), ?3x?4y?12，又x、y满足??x?0，?, ?y?0，画出不等式表示的平面区域得：

125?d?4.

6

13．在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列. （I）求B的值； （II）求2sin2A?cos(A?C)的范围。 解：（I）?acosC,bcosB,ccosA成等差数列，?

acosC?ccosA?2bcosB.

由正弦定理得，a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC.

代入得，2RsinAcosC?2RcosAsinC?4RsinBcosB,即：sin(A?C)?sinB

?sinB?2sinBcosB.

又在?ABC中，sinB?0，?cosB?12,?0?B??，?B??3. （II）?B??3，?A?C?2?3 ?2sin2A?cos(A?C)?1?cos2A?cos(2A?2?3) ?1?cos2A?12cos2A?32sin2A?1?33?2sin2A?2cos2A?1?3sin(2A?3).

?0?A?2?3，???3?3?2A?3??,??2?sin(2A?3)?1, ?2sin2A?cos(A?C)的范围是(?12,1?3].

14．在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b2?a2?c2cos(A?Cac?)sinAcosA.

(1) 求角A； (2) 若

sinBcosC?2，求角C的取值范围。 解: ⑴ ∵ b2?a2?c2cos(ac??2cosB,A?C)sinAcosA??2cosBsin2A,

又∵b2?a2?c2cos(A?C)ac?sinAcosA， ∴?2cosB??2cosBsin2A,而?ABC为斜三角形，

∵cosB?0，∴sin2A=1. ∵A?(0,?)，∴2A??2,A??4 .

sin??3π?C??sin3π⑵ ∵B?C?3π?cosC?cos3πsinC4，∴sinBcosC??4cosC?44cosC, ?22?22tanC?2 即tanC?1，∵0?C?3?ππ4，∴4?C?2.

7

15．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1?tanA2c?． tanBb2??????2C （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若m ?(0,?1)，n?cosB,2cos，试求m?n的最小值．

??解：（Ⅰ）1?即∴

tanA2csinAcosB2sinC， ??1??tanBbsinBcosAsinBsinBcosA?sinAcosB2sinC， ?sinBcosAsinB???C（Ⅱ）m?n?(cosB,2cos2?1)?(cosB,cosC)，

23sin(A?B)2sinC1π，∴cosA?．∵0?A?π，∴A?. ?sinBcosAsinB32???22π1π?m?n?cos2B?cos2C?cos2B?cos2(?B)?1?sin(2B?)．

26 ∵A?π2π2πππ7π，∴B?C?， ∴B?(0,)．从而??2B??． 333666min??????2ππ1∴当sin(2B?)＝1，即B?时，m?n取得最小值． 故m?n632?2． 216．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设A到P的距离为x km，用x表示B,C到P 的距离，并求x值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.1 km） 解：(1)依题意，PA－PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC－PB=1.5×20=30（km ）． 因此 PB＝（x一12）km，PC=（18＋x）km. 在△PAB中，AB= 20 km，

PA2?AB2?PB2x2?202?(x?12)23x?32cos?PAB???

2PA?AB2x?205x同理，在△PAC中，cos?PAC?由于cos?PAB?cos?PAC 即72?x 3x3x?3272?x132? 解得x?（km）． 5x3x7 (2)作PD?a,垂足为D. 在Rt△PDA中，

PD =PAcos∠APD=PAcos∠PAB = x?3x?32?5x3?132?327 ?17.7（km）． 5答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17. 7km.

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