自考线性代数（经管类）章节作业

章节作业

第一章 行列式 一、单项选择题

sinx?cosx1.行列式? ( ).

cosxsinx A. 1 B. 0 C. -1 D. 2

2.行列式k?2?2?3k?1?0的充分必要条件是 A. k??1 B. k?4 C.k??1且k?4 D. k??1或k?4

1203.行列式?103? 111 A. 1 B. 0 C. -1 D. 5

1234.行列式231? 312 A. 1 B. 0 C. -18 D. 6

a11a12a13a11a11?2a12a12?3a135.若a21a22a23?1，则a21a21?2a22a22?3a23? a31a32a33a31a31?2a32a32?3a33A. 1 B. -2 C. -3 D. 6

6.若三阶行列式D?|aij|?m，则D1?|?maij|? A. m2 B. -m2 C. m4 D. -m4

( ).

( ).

( ).

( ). ( ). a1a27.设D1?x1x2y1y2a1?b1a2?b22x12x22y12y2a3b1x3?4，D2?x1y3y1b2x2y2b3x3?1，则 y3a3?b32x3? ( ). 2y3 A. 5 B. 10 C. 20 D. 6

a11a128.若D?a21a22a31a32( ).

a134a112a11?3a125a13a23?1,D1?4a212a21?3a225a23，则D1= a334a312a31?3a325a33A. 8 B. -60 C. 24 D. -24

?105017409.行列式中，元素?的代数余子式的值为 ( ).

241063?1?1A. 24 B. 42 C. -42 D. -24

10.设四阶行列式D的第三列元素为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次分别为-2，-5，-9，4，则D= ( ).

A. -4 B. 8 C. 16 D. 12

11.当（ ）成立时，n(n?2)阶行列式的值为零. ( ).

A. 行列式的主对角线上的元素全为零 B. 行列式中零元素的个数多于n个 C. 行列式中每行元素之和都相等 D. 行列式中每行元素之和都为零

12.下列结论不正确的是 ( ).

A. 若上三角形行列式的主对角线上的元素全为零，则行列式的值为零.

B. 若行列式中有两列元素对应成比例，则行列式的值为零. C. 若行列式中某行元素都是零，则行列式的值为零. D. 行列式中每列元素之和都相等，则行列式的值为零. a11a12a21a2213.设D?......an1an2a1na2n，则下式中正确的是 ( ).

......annA. ai1Ai1?ai2Ai2?.....?ainAin?0 B. a1jA1j?a2jA2j?...?anjAnj?0 C. ai1A1i?ai2A2i?.....?ainAni?D D. a1jA1j?a2jA2j?...?anjAnj?D

?z?0?kx?14.若方程组?2x?ky?z?0有非零解，则k取值为 ( ).

?kx?2y?z?0?A. k?0 B. k??1 C. k?2 D. k??2

?kx?y?z?0?15.若方程组?x?ky?z?0仅有零解，则 ( ).

?2x?y?z?0?A. k??2 B. k??1 C. k??2且k?1 D. k??2或 k?1 二、填空题

1251.若行列式13?2?0，则k = .

25k2aa2.行列式a2a? .

aa20a03.行列式b0c? .

0d01114.行列式021? .

003a11a125.a21a22a31?a21a32?a22a06.行列式

0b0ab00ba0a13a23? . a33?a23b0? . 0ax1111x11?0，则x = . 7.若

11x1111x118.行列式

11abcdbc?dcd?a? .

da?bac?b009.行列式

041000020000? . 3012310. 214中a的代数余子式的值为 .

43a11. 已知四阶行列式D中第二列元素依次为：1，2，0，-1，它们的余子式依次分别为：2，1，3，-1，则D = .

12.设五阶行列式D=2，对D做以下变换：先交换D的第一行与第五行，再转置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四列，则行列式D的值为 .

100?113.按第三列展开计算行列式

?1?1?11a1b?1? . c?1d0xy0...000xy...0000x...00? . 14.n阶行列式

..................000...xyy00...0x??x1?x2?x3?0?15.已知方程组?x1??x2?x3?0有非零解，则?的值为 .

?x?x??x?03?12

?a11x1?a12x2?a13x3?0?16.当方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0 满足______时，有唯一零解.

?ax?ax?ax?0333?311322 三、计算题

44271. 55437721

113. aba2b2

115.

?11?1?1?1?1

327443； 6211c； c2111111； ?11xyx?y2. yx?yx； x?yxya?b?c2a2a4. 2bb?c?a2b； 2c2cc?a?b1234 6. 23413412； 4123

1?x111111?x1117. ； 8.

111?y11111234；

3610111

x?1?119.1x?111?1x?11?11 baaaba11. Dn?aab.........aaa

1?y?1?1?1； 10. x?1...a...a...a； .........b141020123410123?1?10；120?5

1a1a21a1?b1a212.1a1a2?b2.........1a1a2

...an...an...an； .........an?bn1?a1a2a3a11?a2a313. a1a21?a3.........a1a2a3

...an...an...an； .........1?an1?1?114.

...?1?12303?20......?2?3?2?3...n?1n...n?1n...n?1n；

............0n...?(n?1)0

122...22222...2215.

223...22...................222...n?12222...2n

a1b1a1x?b1y?c1a11.a2b2a2x?b2y?c2?a2a3b3a3x?b3y?c3a3

b1c1b2c2；b3c3 四、证明题

a1?kb12. a2?kb2a3?kb3

b1?c1b2?c2b3?c3c1a1b1c2?a2b2c3a3b3c1c2； c3b?cc?aa?babc3. a?bb?cc?a?2cab；

c?aa?bb?cbca a2b24. 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2= 0. 2(c?3)(d?3)2

五、用克莱姆法则解下列线性方程组：

?x?2y?2z?3?1. ??x?4y?z?7；

?3x?7y?4z?3?

?2x?y?z?4?2. ?x?y?z?3；

?x?2y?z?4?

?x1?x2?x3?0??x3?0； 3. ?2x1?x?2x?x?023?1

?2x1?x2?x3?4?4. ?3x1?4x2?2x3?11.

?3x?2x?4x?1123?1

第二章 矩阵 一、单项选择题

1.设矩阵A=??1?10?，B=?11?1??212??01?2，则2A+3B= ( ???? A. ??51?3???45?2?? B. ?513??452?? C. ??513? ??45?2??D. ?5?1?3??45?2?? ?102?2.已知方阵A=???111?，则|A|，|2A|的值依次为 ( ??230??? A. -13，-26 B. -13，-104 C. 13，26 D.-13，104 3.设n阶方阵A的行列式|A|=a，则||A|A|= ( A. an?1 B. an C. an?1 D. a2

4.设矩阵As×n,Bn×m,则下列运算有意义的是 ( A. A2 B. AB C. BA D. ABT

5.设矩阵A=??a11a12a13??a21aa??,下列矩阵中能乘在A的右边是( 2223?b1? A.??b?2 B. (b1 b2 b3)

??b?3??). ).

).). ). ?b11b12C.??b21b22b13??b11b12? D.? ??b23??b21b22?6.若A=(1，2，3)，B=(1，2，3，4)，则(ATB)T是 ( ). A. 1×3矩阵 B. 3×4矩阵 C. 4×3矩阵 D. 1×4矩阵 7.设A, B均为n阶非零方阵,下列正确的是 ( ). A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (A+B)2 = A2+2AB+B2 C.若AB = O，则A = O或B = O D. |AB| = |A| |B| 8.设A，B均为同阶方阵，则下列结论正确的是 ( ). A. (AB)T =ATBT B. AAT = AT A

C.若A=AT，则(A2)T=A2. D.若A=AT, B=BT,则(AB)T =AB. 9.设A是任意一个n阶矩阵，那么下列是对称矩阵的是 ( ). A. AT+A B. AT-A C. A- AT D. A2

10.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ). A.若 AB=AC，则B=C B. (ABC)2 = A2B2C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 11.设A，B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分 必要条件是 ( ).

A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA 12.若矩阵A，B满足AB=E，且ABC有意义，则下列选项正确的是 ( ).

A. BA=E B. A, B 都是可逆矩阵 C. A-1=B D. ABC = C 13.设A，B均为n阶可逆方阵，则下列等式成立的是 ( ). A. AB=BA B.(A?B)?1?A?1?B?1

C.(2A)?1?2A?1 D.(A?1)T?(AT)?1

14.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则 ( ). A. | A*|=|A| B. | A*| = |A|n-1 C. | A*| = |A|n D. | A*| = |A|-1

?57?15.矩阵?的伴随矩阵是 ( ). ??811???117??11?7??11?8??11?7? A.? B. C. D. - ????????8?5???85???75???85?16.设A是三角形矩阵，若主对角线上元素( )，则A可逆. A.全都为零 B.可以有零元素 C.不全为零 D.全不为零

?23?-1

17.已知二阶方阵A=?，则A的逆矩阵A = ( ). ??34???4?3???43??4?3??43? A.? B.? C.? D.? ??????3?2??3?2???32??32?18.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C-1 = ( ). A. AB B. BA C. A-1B-1 D. B-1A-1

19.若A为二阶方阵，且A的行列式|A|=-2，则|-2(A-1)T| = ( ). A. -4 B. 1 C. – 2 D. –8 20.若A，B，C皆为n阶方阵，则下列关系中，不一定成立的是

( ).

A. A+B=B+A B.(A+B)+C=A+(B+C) C. AB=BA D. (AB)C=A(BC)

21.若A，B皆为n阶可逆方阵，则下列关系式中，一定成立的是

( ).

A. (A+B)2 = A2+2AB+B2 B. (A+B)-1 = A-1+B-1

C. (AB)-1 = B-1A-1 D. (AB)T= AT BT

22.下列结论正确的是 ( ). A. A，B均为方阵，则(AB)k?AkBk ( k ≥2，k∈N ). B. A，B为n阶对角矩阵，则AB=BA. C. A为方阵，且A2 = O,则A = O.

D. 若矩阵AB=AC，且A≠O，则B=C.

23.设A是二阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是( ).

?00??10??11??11? A. ? B.? C.? D.? ????

?00??00??00??01??ab?*-1

24.已知二阶矩阵A??的行列式|A|= -1，则(A)= ( ). ??cd???a?b??d?b???d A.? B.? C.?????c?d???ca??cb??ab? D.? ???a??cd?25.下列矩阵中不是初等矩阵的是 ( ).

?100??100??100??100?A.?010? B.?010? C.?020? D.?110?

??????????101??101??001??101?????????26.设A, B, C为同阶方阵，则(ABC)T = ( ). A. ATBTCT B. CTBTAT C. CTATBT D. ATCTBT

27.设n阶方阵A是满秩矩阵，下列结论不成立的是 ( ). A. r(AT)= n B. |A|= 0 C. |A|≠0 D. A可逆

?111?28.设矩阵A??的秩为1，则 ( ). ??22t?A. t =2 B. t = 1 C. t = -1 D. t = -2

?123?29.设矩阵A??24t?的秩为1，则 ( ).

???369???A. t =6 B. t = -6 C. t = 1 D. t = -2

?1?12?30.设矩阵A???22t?的秩为2，则 ( ).

???3?36???A.t??4 B.t = -4 C. t是任意实数 D.以上都不对 31.设矩阵A的秩为r，则下列结论正确的是 ( ). A. A中所有r阶子式都不为零

B. A中存在r阶子式不为零 C. A中所有r阶子式都为零

D. A中存在r+1阶子式不为零

32.下列结论正确的是 ( ).

A. 奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵 B. 非奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为奇异矩阵 C. 非奇异矩阵等价于单位矩阵

D. 奇异矩阵等价于单位矩阵 二、填空题

?1?10??11?1?1.设A??,则A+B= . ,B?????212??01?2??0?13???13?1?2.设A??,则2A+B= . ,B??????205??3?22??13.设A???210??111?,则2A-B= . ,B????12??012?4.若矩阵A与矩阵B的积AB为3行4列矩阵，则矩阵A的行数是 .

?10a??1??a?5.若等式?2?10??0???2?成立，a=______.

???????011???1???1????????201??042?T

,B=6.设矩阵A=?，则AB=______. ??357??11?3?????11??10?7.已知矩阵A???，B??11?，则AB-BA= . 0?1????8.已知矩阵A=(1，2，-1), B=(2，-1，1), 且C=ATB, 则C2= . 9.设A为二阶方阵，若|3A|=3，则|2A|= . 10.设A为三阶方阵，|A|=2，则 |-2A| = . 11.设A为四阶方阵，|A|=3，则 |A*| = .

?13?-112.矩阵A??的逆矩阵A= . ??24??ab?*

13.设A??则其伴随矩阵A= . ,??cd??120?14.设A??010?,则其逆矩阵A-1= .

???002????100?15.设A??220?，则A*A= .

???333????10??1?1?16.已知矩阵方程XA=B, 其中A??,B??, 则 ???21??10?X= . 17.设A，B，C皆为n阶方阵，若A，B皆可逆，则矩阵方程AXB=C的解X= .

?12?18.设A为二阶可逆矩阵，且已知(2A)-1=?，则A= . ??34???33?3?19.设矩阵A=?3?33?，则矩阵A的秩为 .

???01?1???11??120.已知矩阵A =?112?,且r(A)=2，则a = .

???a?123???三、计算题

1.已知A为四阶方阵，且|A|=2，求：(1) |- A|； (2) |2A|； (3) |AAT|； (4) | A2|.

?21?2.设矩阵A??,E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，???12?求|B|.

3.设A，B均为三阶方阵，且已知|A|=4，|B|=5，求|2AB|.

4.求下列矩阵的逆矩阵：

?1?2?1?(1) A =??345?；

???203???

?101?(2) A =?1?10?；

???012???

?200?(3) A =??111?；

??1?13???

??0a10...0?00a2...0?(4)A????000...a?n?1??...............?，其中???an00...0??

5.解下列矩阵方程：

(1)?3?1????42??X???15???2?6??；

ai?0,i?1,2,...,n.

?30(2)?101???1?10?X=??11??012?????01

??101??1?(3)?210?X??0????31?4????；???1??

?111?(4)X??011???1?2????001???01

??110??1?(5)?121?X??2???021????； ???3??

1?0?；

4??? 1??1?；

?

?101??12?(6)?210?X??01?. ??????31?4??10?????

?14??20??31?6.已知矩阵A??，矩阵X满足 ,B??,C???????12???11??0?1?AXB=C，求解X.

?010??1?1? 7.设A???111?,B??20?，且X满足X=AX+B，求X.

??????10?1??5?3?????

8.设A, B均为三阶方阵，且|A|=-1，|B|=5，求|2(ATB-1)2|.

19.设A为三阶方阵，A是A的伴随矩阵，且|A|=，求|(3A)-1-2A*|.

2*

10.求下列矩阵的秩：

?1?2?1?2?(1)?4121?； ???1111???

?12?1?2?(2) ?202?1?；

???321?3???

?1111?(3) ?4121?；

???3010???

??1(4)

??1??1?2

??2(5)?5??1?4

23?2?33322?53?85?74?1145??3?4?34??；23??1?3?0??； 3?? ?1?2?(6)?4??2

2335?3?5?9?84?7??. 9??8?四、证明题

1.试证：若B1，B2都与A可交换，则B1+B2，B1B2也都与A可交换.

2.对于任意方阵A，证明：A+AT；AAT都是对称矩阵.

3.试证：若n阶矩阵A，B，C都可逆，则ABC也可逆，并且 (ABC)-1=C -1B-1A-1.

4.设A是n阶方阵，且满足AAT=E，证明：|A| = 1或|A| = -1.

5.设A是n阶方阵，且(A+E)2 = O，证明A可逆.

6.已知n阶方阵A, B满足2A-1B=B-4E, 证明矩阵A-2E可逆.

7.设Ak = O (k为正整数), 求证：(E-A)-1 =E+A+A2+…+Ak-1.

8.设n阶方阵A满足2A2-A-2E=O, 证明A可逆，并求A-1.

9.设A是n阶方阵，证明：|A*|=|A|n-1 (n≥2).

10.设A, B皆为m×n矩阵，证明：A与B等价的充分必要条件是r(A) = r(B).

第三章 向量空间 一、单项选择题

1.设向量??(4,7,2),??(?1,4,3)，则3??4?? ( ).

A. (8, 37, 18 ) B.(-8, 37, 18) C.(8, -37, 18) D.(8, 37, -18) 2.设向量??(1,0,2,3),??(?1,1,1,0)，则2??3??

( ).

A.(-1, 3, 7, 6 ) B.(1, 3,6, 7) C.(2, 0, 7, 6) D.(-1, 3, -7, 6) 3.若向量组?1?(1,0,0)T,?2?(1,1,0)T,?3?(a,b,c)T线性相关，则一定有 ( ).

A. a=b=c B. b=c=0 C. c=0 D. c≠0 4.向量组?1?(?1,2,?1)T,?2?(3,?1,1)T,?3?(2,1,9)T，则( ).

A.是R3的一组基 B.线性相关

C.不是R3的一组基 D.可能线性相关，可能线性无关 5.向量组?1,?2和向量组?2,?3均线性无关，则向量组?1,?2,?3

( ).

A.一定线性相关 B.一定线性无关

C.不能由?1,?3线性表出 D.既可以线性相关也可以线性无关

6.设?1?(2,1,0),?2?(0,0,0)，则 ( ).

A.?2线性无关 B.?1线性无关 C.?1,?2线性无关 D.?1线性相关

7.向量组?1?(1,?1,1),?2?(2,1,0),?3?(k,2,1)线性相关，则( ).

A. k = -7 B. k = 7 C. k = 0 D. k = 1 8.向量组?1?(?1,1,0?)2,?k(,2?,30?),k?(线,性2,相1)关，则

( ).

A. k = 0 B. k = -2 C. k = 2 D. k = 1 9.?1?(1,?1,?1),?2?(0,1,k),?3?(0,?2,1?k)线性无关,则( ).

A. k≠1 B. k≠-1 C. k≠0 D. k≠2 10.设A是n阶方阵，且|A|=0，则下列命题成立的是 ( ).

A. A中必有某一行向量为零向量 B. A中每一行向量可以由其余行向量线性表出 C. A中存在某一行向量可以由其余行向量线性表出 D. A中每一行向量都不能由其余行向量线性表出 11.n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是( ).

A.存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使

k1?1?k2?2??ks?s?o

B.?1,?2,,?s中任意两个向量都线性无关

C.?1,?2,,?s中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出 D.?1,?2,,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 12.若向量组?1,?2,,?s线性相关，则向量组中 可由其余向量线性表示. ( ).

A.每一向量不 B.每一向量 C.存在一个向量 D.仅有一个向量

13. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组 ( ).

A. ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 B. ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 C. ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 D. ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 14. 设向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),

?2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是 ( ).

A.若?1??2线性相关，则必有?1,?2线性相关 B.若?1??2线性无关，则必有?1,?2线性无关 C.若?1,?2线性相关，则必有?1??2线性无关 D.若?1,?2线性无关，则必有?1??2线性相关

15.若向量组?1,?2,,?s线性相关，则必可推出 ( ). A.?1,?2,,?s中至少有一个向量为零向量 B.?1,?2,,?s中至少有两个向量成比例

C.?1,?2,,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. ?1,?2,,?s中每一个向量都可由其余向量线性表示 16.已知?1,?2,?3,?线4性无关，则向量组?1??2,?2??3,

?3??4,?4?? 1 ( ).

A.线性相关 B.线性无关

C.既可以线性相关也可以线性无关 D.是否线性相关与向量的维数有关

17.设向量组Ⅰ：?1,?2,?3与向量组Ⅱ：?1,?2等价，则必有 ( ). A.向量组Ⅰ线性相关 B.向量组Ⅱ线性无关 C.向量组Ⅰ的秩>向量组Ⅱ的秩 D.?3不能由?1,?2线性表出 18.设?1,?2,,?8是6维向量组，则?1,?2,,?8 ( ).

A. 线性无关 B. 仅有一个向量可由其余向量线性表出

9.已知?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,a?2,1),

?4?(1,2,4,a?8)，及??(1,1,b?3,5).

问：(1) a, b为何值时，?不能表示成?1,?2,?3,?4的线性组合.

(2) a, b为何值时，?可由?1,?2,?3,?4唯一线性表示，并写出该表示式.

10.判定下列向量组是线性相关还是线性无关. (1)?1?(1,3,0),?2?(1,1,2),?3?(3,?1,10)；

(2)?1?(1,2,1),?2?(1,1,2),?3?(3,?1,2)；

(3)?1?(1,1,1,1),?2?(1,2,3,4),?3?(1,4,9,16)；

(4)?1?(1,1,1,1),?2?(1,2,3,4),?3?(1,4,9,16),?4?(1,2,5,10)

(5)?1?(1,1,1,3),?2?(1,1,2,3),?3?(?1,2,5,0)；

(6)?1?(1,1,?1),?2?(0,1,2),?3?(1,2,3),?4?(?1,2,0).

11.设向量组?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)， (1) t为何值时，向量组?1,?2,?3线性无关？

(2)t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关？并用?1,?2表示出

?3.

TT12.求??(3,?1,2)T在基?1?(1,1,2)?,2??(1,3,1)?3?,T(1,1,1)下的坐标.

四、证明题

1.设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：向量组?1?2?2,?2??3,?3??1也线性无关.

2.设向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关，证明： (1)?1可以由?2,?3线性表出；(2)?4不能由?1,?2,?3线性表出.

3.设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：向量组

?1,?1??2,?1??2??3也线性无关.

4.设向量组?1,?2,...,?m线性无关，?1可由?1,?2,...,?m线性表示，而?2不能由?1,?2,...,?m线性表示.证明：向量组?1,?2,...,?m,?1??2线性无关.

5.设向量组?1,?2,?3线性无关，令

?1???1??3,?2?2?2?2?3,?3?2?1?5?2?3?3，

证明：?1,?2,?3线性相关.

6.设向量组?1,?2,...,?m线性无关，m?2,?1,?2,,?m为任意实数，证明：向量组?1??1??1?m,?2??2??2?m,,?m?1??m?1??m?1?m 线性无关.

7.设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3.证明：若

k1?0，则向量组?,?2,?3也线性无关.

8.证明?1?(1,0,0),?2?(1,1,0),?3?(1,1,1)是三维向量空间R3的一个基，并求??(5,9,?2)在此基下的坐标.

第四章 线性方程组 一、单项选择题

1.设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?o有非零解的充分必要条件是 ( ).

A.r(A)?n B.r(A)?m C.r(A)?n D.r(A)?m 2.设A为m?n矩阵，且非齐次线性方程组Ax?b有唯一解，则必有 ( ).

A. m=n B.r(A)=m C. r(A)=n

D.r(A)?n

3.设n个未知量的齐次线性方程组的方程个数m>n，则一定有

( ).

A.方程组无解 B.方程组有解 C.方程组有唯一解 D.方程组有无穷多解

4.对于线性方程组Ax?b(?)与其导出组Ax?o(??),下列命题正确的是 ( ).

A. 若(??)有解，则(?)有解 B. 若(??)有非零解,则(?)有无穷多解 C. 若(?)有唯一解,则(??)仅有零解 D. 若(?)有解,则(??)有基础解系

5.设A为m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?o有非零解的充分必要条件是 ( ).

A. A的列向量组线性相关

B. A的列向量组线性无关

C. A的行向量组线性相关 D. A的行向量组线性无关 6.对非齐次线性方程组Am?nx?b，设秩(A)= r，则 ( ). A. r = m时，方程组Ax?b有解 B. r = n时，方程组Ax?b有唯一解 C. m = n时，方程组Ax?b有唯一解 D.r?n时，方程组Ax?b有无穷多解

7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若cu1+u2也是方程组Ax = b的解，则 ( ).

A. c = -1 B. c = 0 C. c = 1 D. c = 2 8.设m?n矩阵A的秩r(A)?n?3(n?3)，?????是齐次线性方程组Ax?o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax?o的基础解系为

( ). A.??????? C.???????????

B.??????? D.???????????

9.设?1??2??３是齐次线性方程组Ax?o的一个基础解系，则下

列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是 ( ).

A.?1??2??1??2

C.?1??2??2??3??3??1

B.?1??2??1??2

D.

?1??2??2??3??3??1

?是对应导出组Ax?o的解，10.设?1??2是Ax = b的解，则( ). A.???1是Ax?o的解 B.????1??2)是Ax?o的解 C.?1??2是Ax?b的解 D.?1??2是Ax?b的解 11.设A为n阶矩阵，秩(A)= n-1，?1??2是非齐次线性方程组

Ax?b两个不同的解，则Ax?o的通解是 ( ).

A.k?1

B.k?2 C.k??1??2) D. k??1??2)

?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个解，则以下结论12.设?1、正确的是 ( ).

A.?1??2是Ax?b的解

B.?1??2是Ax?b的解

C.k?1是Ax?b的解(k?1) D.?1??2是Ax?o的解 13.设3元非齐次线性方程组Ax?b的两个解??(1,0,2)T，

??(1,?1,3)T，且系数矩阵A的秩r(A)= 2，则对于任意常数k,k1,k2，

方程组的通解可表为 ( ).

A.k1(1,0,2)T?k2(1,?1,3)T B.(1,0,2)T?k(1,?1,3)T C.(1,0,2)T?k(0,1,?1)T D.(1,0,2)T?k(2,?1,5)T

?2?131?14.设A??4?254?，则Ax=o的基础解系含有解向量的

???2?14?1???个数为 ( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

?1??2?15.已知??2?,?3?是齐次线性方程组Ax=o的两个解，则矩阵A

??????1??1?????可为 ( ).

?5?31? A.(5,?3,?1) B.? ??211??12?1??12?3?C.? D.??12?2? ????2?17???531????x1?2x2?x3?2x4?0?16.若方程组?2x1?x2?3x3?x4?1有解，则?= ( ).

?3x?x?2x?x??34?12 A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 二、填空题

?x1?2x2?01.设齐次线性方程组?有非零解，则常数k=_______．

2x?kx?0?12?111??x1??0?2.已知方程组?123??x2???0?只有零解，则常数k的取值为

???????23k??x??0????3???_______．

?x1?x2?x3?0?3.已知齐次线性方程组?2x1?3x2?ax3?0有非零解，则

?x?2x?3x?023?1a=_______．

?x1?2x3?k?4.非齐次线性方程组?x2?x3?0 有解的充分必要条件是

?x?2x?1?12k=________．

3x4?3?x1?2x2??5.设线性方程组?2x1?5x2?2x3?4x4?4有解，则t = .

?x?3x?2x?x?t234?16.已知某个3元非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵经初等行变换化为：

3?1?2(A,b)???5?02?00a(a?1)?____________．

?1?，若该方程组无解，则a的取值为2??a?1??7.n元齐次线性方程组Ax?o的系数矩阵A的秩r

8.设A为4×5的矩阵，且秩(A)=2，则齐次方程组Ax?o的基础解系所含解向量的个数是____________．

9.设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax?o只有零解，则秩(A)= ____________．

10.齐次线性方程组x1?x2?x3?0的通解是____________． 11.非齐次线性方程组x1?x2?x3?1的通解是____________． 12.设非齐次线性方程组Ax?b的增广矩阵为

?10021??010?12?，则该方程组的通解为_________． ???00246???13.若?1,?2,?3都是齐次线性方程组Ax?o的解向量，则 ． A(3?1?5?2??3)?14.已知?1?(1,0,?2)T、?2?(2,3,4)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax?o有一个非零解向量?? ．

15.设?，?是n元非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，秩(A)=n-1，那么方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组Ax?o的通解为___________．

16.设?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的解，k1,k2为常数，若

k1?1?k2?2也是Ax?b的一个解，则k1?k2?__________．

三、计算题

1.求出下面齐次线性方程组的一个基础解系，并表示出其通解.

?x1?x2?x3?x4?0?(1)?x1?x2?x3?3x4?0 ； ?x?x?2x?3x?034?12

?x5?0?x1?x2　　　　　??0； (2)?x1?x2?x3　　　　　?　　　　x?x?x?0345?

?x1?x2?x3?x4?0(3)??3x1?2x2?x3?x4?0??4x1?3x2?2x3?2x4?0

?x1?x2?x3?5x4?(4)?0?x1?x2?3x3?3x4?0；??3x1?x2?x3?7x4?0

； ?x1?2x2?5x3?3x4?0?(5)??3x1?4x2?x3?3x4?0； ??x?9x3?3x4?0?1

?x1?x2?3x3?x4?0?(6)?3x1?x2?3x3?5x4?0. ?x?5x?27x?17x?0234?1

2.求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?3； (1)??2x?2x?6x?323?1

?x1?2x2?x3?2x4?1?(2)?2x1?4x2?x3?x4?5； ??x?2x?2x?x??4234?1

?x1?x2?3x3?x4?1?(3)?3x1?2x2?3x3?4x4?4 ； ?x?2x?9x?8x?0234?1

?x1?5x2?2x3?3x4?11?(4)??3x1?13x2?4x3?3x4??23. ??x?3x?3x4??1?12

?x1?x2?x3?0?3.已知齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0，当a为何值时，方程组

?ax?x?x?0?123只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示)．

?ax1?x2?x3?0?4.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0 ，

?x?x?ax?03?12(1) 当a为何值时，方程组有非零解；

(2) 当方程组有非零解时，求出它的基础解系并表示出通解．

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