一、函数与极限 导数 导数的应用提高训练题

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由方程e 6xy x 1 0确定，则y (0) ．

二、选择题

x2 1x1

e 1的极限【 】 (1) 当x 1时，函数

x 1

(A) 等于2； (C) 为 ；

(B) 等于0； (D) 不存在但不为 .

，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处

(B) 极限存在，但不连续；

(2)

设f(x) 2 xg(x)

x 0x 0

(A) 极限不存在；

(C) 连续但不可导； (A) limf(1 cosh)存在； 2

h 0

(D) 可导．

(B) limf(1 e)存在

h

【 】

(3) 设f(0) 0，则f(x)在点x 0可导的充要条件为【 】

h 0h

[f(2h) f(h)]存在． (C) lim存在； (D) limf(h sinh)

h 0hh 0h2

(4) 函数f(x) (x2 x 2)|x3 x|不可导点的个数是【 】

(Ａ) ３； (Ｂ) ２； (Ｃ) １； (Ｄ) ０．

(5) 已知函数y y(x)在任意点x处的增量 y

y x

，且当 x 0是时， 1 x2

(Ｄ) e．

是 x的高阶无穷小，y(0) ，则y(1)等于 【 】

(Ａ) 2 ； (Ｂ) ； (Ｃ) e；

(6) 设lim

f(x) f(a)

1，则在x a处【 】 2x a(x a)

(A) f(x)的导数存在，且f (a) 0； (B) f(x)取得极大值；

(C) f(x)取得极小值； (7) 设f(x)可导且f (x0) (A) 与 x等价的无穷小； (C) 比 x低阶的无穷小； 阶导数f(n)(x)等于【 】 (A) n![f(x)]

n 1

(D) f(x)的导数不存在。

1

，则 x 0时，f(x)在x0处的微分dy是【 】 2

(B) 与 x同阶的无穷小； (D) 比 x高阶的无穷小。

(8) 已知函数f(x)具有任意阶导数，且f (x) [f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n

;

(B) n[f(x)]

n 1

;

(C) [f(x)];

2n

(D) n![f(x)].

2n

(9) 已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0,lim【 】 (A) 不可导; (C) 取得极大值;

f(x)

2，则在点x 0处f(x)

x 01 cosx

(B) 可导，且f (0) 0; (D) 取得极小值..

(10) 设函数f(x)在定义域内可导，y f(x)的图形如右图所示，则导函数的图形为【 】

(11) 曲线y

1 e1 e

x x2

【 】

(B) 仅有水平渐近线；

(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.

(A) 没有渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (12) 当x 0时，曲线y xsin(A) 有且仅有水平渐近线；

(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线；

1

【 】 x

(B) 有且仅有铅直渐近线；

(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线.

(13) 设在[0,1]上f (x)…0，则f (0),f (1),f(1) f(0)或f(0) f(1)的大小顺序是【 】 (A) f (1) f (0) f(1) f(0)； (C) f(1) f(0) f (1) f (0)；

(B) f (1) f(1) f(0) f (0)； (D) f (1) f(0) f(1) f (0).

(14) 设f(x)可导,F(x) f(x)(1 |sinx|),则f(0) 0是F(x)在x 0处可导的 【 】 (A) 充分必要条件； (C) 必要条件但非充分条件；

(B) 充分条件但非必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件.

(15) 设f(x)有二阶连续导数，且f (0) 0，lim(A) f(0)是f(x)的极大值； (B) f(0)是f(x)的极小值；

(C) (0,f(0))是曲线y f(x)的拐点；

f (x)

1，则【 】

x 0|x|

(D) f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y f(x)的拐点.

g(x)是恒大于零的可导函数，(16)设f(x)、且f (x)g(x) f(x)g (x) 0，则当a x b时，

有【 】

(A) f(x)g(b) f(b)g(x)；

(B) f(x)g(a) f(a)g(x)；

(C) f(x)g(x) f(b)g(b)； (D) f(x)g(x) f(a)g(a)．

(17) 设函数y f(x)在(0, )内有界且可导，则 (A) 当limf(x) 0时，必limf (x) 0有；

x

x

(B) 当limf (x)存在时，必有limf (x) 0；

x x 0

x

f(x) 0时，必有limf (x) 0； (C) 当lim

x 0

f (x)存在时，必有limf (x) 0． (D) 当lim

x 0

x 0

(18) 设f(x) 3x x|x|，则使f(A) 0;

(B) 1;

32(n)

(0)存在的最高阶数n为【 】

(C) 2;

(D) 3.

(19) lim

x 0

atanx b(1 cosx)cln(1 x) d(1 e x)

2

2，其中a2 c2 0，则必有【 】

(C) a 4c；

(D) a 4c.

(A) b 4d； 三、计算证明题

x2

(B) b 4d；

1、(1)设f(x) e,f[ (x)] 1 x且 (x)…0，求 (x)及其定义域。

(2)

设x1 10,xn 1 n 1,2, )，试证数列{xn}极限存在，并求此极限. 2、(本题满分８分)

设a1 2,an 1 (an )，(n 1,2, )证明：

2

an

(1) liman存在；

x

(2) 级数

(

n 1

an

1)收敛． n 1

πx

3、计算下列极限

. (1)

求lim

x 0

(2)

求x 0

x

x

1 2

(3) 求lim sin cos ；

x x x

(4)求lim 4x 0 1 e

．

x 2a

4、(1) 设lim 8，则a . x

x a

(2) 已知lim

x 3

x

3，求

x2 4x 3 x cost2

2

dydy

5、

设 ，求、在t t222

dxdx

y tcost udu 1

证明在(a,b)内至少存在一点 ，使f ( ) 0.

. 6、设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) f(b).7、设f (x) 0,f(0) 0，证明对任何x1 0,x2 0有f(x1 x2) f(x1) f(x2). 8、(1) 设在[0, )上函数f(x)有连续导数，且f (x) k 0,f(0) 0,证明f(x)在

(0, )内有且仅有一个零点.

ba(2) 设b a e，证明a b.

9、设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满分条件|f(x)|剟a,|f (x)|b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内的任意一点，证明 |f (c)| 2a

b. 2

10、试证：当x 0时，(x2 1)lnx (x 1)2．

11、设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g(x) 0,f(a) f(b) f(a)

g(b)，试证：

(1) 在开区间(a,b)内g(x) 0； (2) 在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使12、(本题满分7分)

设y f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0，试证：

(1) 对于( 1,1)内的任一x 0，存在唯一 (x) (0,1)的，使f(x) f(0) xf ( (x)x)成立；

(2) lim (x) ．

x 0

f( )f ( )

. g( )g( )

13、设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且f(a) f(b) 0，证明至少存在一点 (a,b)，使得f ( ) g( )f( ) 0．

14、设函数f(x)在x 0的某邻域内具有连续的一阶导数，且f(0) 0，f (0) 0若

af(h) bf(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值．

15、设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f (x) 1，证明在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x) x。

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