高三数学周周清08

高三数学习题

高三数学周检测（08）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A= x|x2 2x a 0 且1 A,则实数a的取值范围是 （ ） A． ,1 B． 1, C． 0, D． ,1 2．若函数y f(x)的图像与函数g(x) 3x 1的图像关于y轴对称，则函数f(x)的表达式为 （ ）

A．f(x) 3x 1 B．f(x) 3x 1 C．f(x) 3 x 1 D．f(x) 3 x 1 3．不等式x y 3表示的平面区域内的整点个数为 ( )

A．13个 B．10个 C．14个 D．17个 4．设全集U R,A x2x(x 2) 1,B xy 1n(1 x) ，则

右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A． xx 1 B． x x 2 C． x0 x 1 D． xx 1 5．函数

在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）

6．不等式

x 5

2的解集是（ ） 2

(x 1)

1

A 3, B 2 1

,3 C 2 1

,1 1,3 D 2 1

,1 1,3 2

7．设a 20.3，b 0.32，c logt t2 0.3 t 1 则a，b，c的大小关系是 A．o<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．

b<c<a

高三数学习题

1x

() 7(x 0)

,若f(a) 1，则实数a的取值范围是 8．

设函数f(x) 2

(x 0)A．（－∞,－3） B．（1,+∞） C．（－3,1） D．(－∞,－3)∪(1,+∞) 9．下列四个命题中，真命题的序号是 ( )

①若a,b,c R，则“ac2 bc2”是“a b”成立的充分不必要条件；

1 ②当x (0,)时，函数y sinx 的最小值为2；

4sinx

③命题“若x 2,则x 2或x 2”的否命题是“若x 2,则 2 x 2”； ④函数f(x) 1nx x

3

在区间(1，2)上有且仅有一个零点． 2

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10. 设函数f(x)

x a

M是P的真子，集合M {x|f(x) 0},P {x|f (x) 0}，

x 1

集，则实数a的取值范围是 （ ） A．( ,1)

B．(0,1)

C．(1, )

D．[1, )

11．设x,y R 且xy (x y) 1，则x y的最小值为 ( )

A．22 2 B．2 22 C．2 D．2 12．若函数h(x) 2x

kk

在(1, )上是增函数，则实数k的取值范围是 ( ) x3

A．[ 2, ) B．[2, ) C．( , 2] D．( ,2] 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13．函数f(x) xInx的单调递增区间是__________________

cos x,x 044

14．已知f(x) ，则f() f( )的值为__________

33 f(x 1) 1,x 0

x y 3 0

15．已知P(x,y)满足约束条件 x y 1 0，则x 2y的最大值是

x 1 0

__________

16．给出以下四个命题： ①a b an bn(n N )

高三数学习题

② a b an bn(n N ); ③a b 0

1111 ; ④ a b 0 , aba ba

其中正确命题的序号是_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(12分) 设有两个命题：P：指数函数y (c2 5c 7)x在R上单调递增； Q：不等式x x 2c 1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

18． (12分) 已知函数f(x) x2 2ax 2,x [ 5,5]

（I）求实数a的值，使y f(x)在其定义域[一5，5]上是偶函数； (Ⅱ)求实数a的取值范围，使y f(x)在区间[一5，5]上是单调函数； (Ⅲ)若函数f(x)的值域是[1，37]，试求实数a的值。

19. (12分) 已知函数f x ax3 bx2 3x（a,b R）,且f x 在x 1和x 3处取得极值.（Ⅰ）求函数f x 的解析式；

（Ⅱ）设函数g x f(x) t，是否存在实数t，使得曲线y g x 与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

20．(12分) 某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图l，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元) （I）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

(Ⅱ)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润? 其最大利润为多少万元?

21. (12分) 已知函数f(x) ax2 x a,a R （1）若函数f(x)有最大值

17

，求实数a的值； 8

（2）解不等式f(x) 1(a R).

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22．(14分) 已知函数f x ex a,g x ln x 1 ．

(I)求使f x g x 在x 1, 上恒成立的a的最大值； (II)若0 x1 x2，求证ex2 x1 1 ln

1n

x2 1

x1 1

(Ⅲ)证明：e In(n 1) 1, 其中n∈N*．

高三数学周周清（08）答案

一、选择题;

二、填空题：

1 , e

13、 ；14、

15、；16、 三、解答题：

17. 解：指数函数y (c2 5c 7)x在R上单调递增 c 5c 7 1

解得c<2或c>3, 即P：c<2或c>3……………………………………………………….3分 不等式x x 2c 1的解集为R 2c 1

解得c<0或c>1, 即Q：c<0或c>1………………………………………………………6分 于是P:2 c 3,Q:0 c 1………………………………………………………..8分 若P正确且Q不正确, 则c [0,1]……………………………………………………….10分 若P不正确且Q正确, 则c [2,3]

所以c的取值范围是[0,1] [2,3]…………………………………………………………12分 18. 解:（I）依题意f (-x) - f (x) = (-x2) - 2ax + 2- x2 - 2ax -2

= - 4ax=0 对任意x∈[ - 5, 5]成立………………………………………………………2分 解得 a=0

∴实数a=0时, y= f (x)在其定义域[ -5, 5]上是偶函数;………………………………..3分 (Ⅱ)函数 f (x)在区间[ -5, 5]上是单调函数, 当且仅当 -a≥5或 -a≤ -5 即 a≤-5或a≥5

于是, 实数a的取值范围是a≤-5或a≥5…………………………………………….7分

(Ⅲ)当 a 5即a 5时

2

f(x)max f(5) 27 10a 37

无解………………..8分

f(x)min f( 5) 27 10a 1

高三数学习题

当 5 a 0即0 a 5时

f(x)max f(5) 27 10a 37

解得a 1……..9分 2

f(x)min f( a) 2 a 1

f(x)max f( 5) 27 10a 37

当0 a 5即 5 a 0时 解得a 1…10分 2

f(x)min f( a) 2 a 1 f(x)max f( 5) 27 10a 37

当 a 5即a 5时 无解……………………….11分

f(x) f(5) 27 10a 1min

综上, 所求实数a的值为±1.

19. 解：（Ⅰ）f' x 3ax2 2bx 3， 因为f x 在x 1和x 3处取得极值，

所以x 1和x 3是f' x 0的两个根，…… 2分

2b

11 3 13 a 3a fx x 2x2 3x………5分 ， ，即 333 1 3 b 2

3a

（Ⅱ）g' x x2 4x 3，令g' x 0, x 3,或x 1.………………7分

当x变化时，g' x ,g x 变化情况如下表：

由上表可知：g x 极大值 g 3 t；g x 极小值 g 1 t

……………9分 3

1

g x x(x 3)2 t， 由此可知x取足够大的正数时，有g x 0；

3

x取足够小的负数时，有g x 0，………………10分

因此，为使曲线y g x 与x轴有两个交点，结合g x 的单调性，必有：

g x 极大值 g 3 t 0，或g x 极小值 g 1 t

所以存在t且t 0,或t

44 0， t 0,或t 33

4

………………12分 3

20. 解：(I)设投资x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元．

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由题意设f(x) k1x,g(x) k2x，由图知f(1) 又g(4) 1.6,∴k2

11

,∴k1 …………..2分 55

4

…………………………………………………………….4分 5

14

x(x 0)…………………………………….6分 从而f(x) x(x 0),g(x)

55

(Ⅱ)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，于是

y f(x) g(10 x)

x4

x(0 x 10)…………………………….8分 55

10 t24114

t (t 2)2 (0 t ) 令 x t, 则y 5555

当t = 2时，ymax

14

2.8，此时x = 10—4= 6………………………………11分 5

答：当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。12分

121 4a2

) ,a 0时不合题意。 21.解：（1）f(x) a(x 2a4a11 4a217

，解得a 2或 当a 0时，f(x)有最大值，且

84a8

（2）f(x) 1，即ax2 x a 1,(x 1)(ax a 1) 0， ①当a=0时，解集为 x|x 1 ;

②当a>0时，(x 1)(x 1 0,解集为 x|x 1或x 1 ; ③当a ④当

1

a

1 a

12

时，(x 1) 0,解集为a ； 2

111

a 0,时，(x 1)(x 1 ) 0，解集为 x|1 x 1 ; 2aa 11 1

时， x 1 x 1 0,解集为 x| 1 x 1 2a a

1

…………………………………………………………………….2分 x 1

⑤当a

22. 解：(I)令F(x)= f (x)一g(x) = ex – ln(x+1) – a, x∈(－1, +∞) 则F (x) e

x

令F (x) 0，得x 0 当x ( 1,0)时，e 1

x

1

即F (x) 0,F(x)在( 1,0)上单调递减； x 1

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当x (0, )时,e 1

x

1

即F (x) 0,F(x)在(0, )上单调递增;……..4分 x 1

原问题转化为F(x)≥0，x∈(一1，+∞)恒成立，等价于F min(x) =F(0)=1一a≥0， 即a≤1．

所以，使原问题成立的a的最大值是1 …………………………………………………6分 (II)(方法一)

由(I)知，e 1 ln(x 1),x ( 1, )，且x 0时等号成立……………………….7分

x 1x x1

又由0 x1 x2，得2 1 2 0, 因此，e

x1 1x1 1x x1x x

而由x2 x1 2, 得e21 e

x1 1

综合①②得e

x2 x1

x2 x1x1 1

1 ln

x2 1

①…9分 x1 1

x2 x1x1 1

② ……………………………………….11分

1 ln

x2 1

…………………………………………………………12分 x1 1

(方法二)：由(I)知，ex 1 ln(x 1),x ( 1, )，且x 0时等号成立…………7分 又由0 x1 x2，得x2 x1 0，因此，e而ln(x2 x1 1) ln

x2 x1

1 ln(x2 x1 1)①…………9分

x2 1(x x1 1)(x1 1)

ln2

x1 1x2 1

ln

x(x x1) x1(x2 x1) (x2 1)

ln 12 1 n 0

x2 1x 12

x2 1x 1x x

② ………11分 综合①②得e21 1 ln2 12分 x1 1x1 1

∴ln(x2 x1 1) ln

(Ⅲ)取数列 xn , 其中xn n 1,n N*, 则xn 1 xn 1 利用(Ⅱ)得，e 1 ln

n 1

,n 1,2,...,n……………………………………………13分 n

1n

上面n个式子相加，得n(e 1) ln(n 1), 即e ln(n 1) 1,n N*…………14分

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