1有理数知识点+典型例题+习题

中考数学专题复习：有理数

（一）数的分类（强化记忆） ???正整数???整数?? ?零???? ?负整数?有限小数或无限循环小数?有理数?? 实数?正分数???分数负分数?? ??? 正无理数?无理数?无限不循环小数 ? 负无理数???

?????正整数??正有理数??正实数??正分数???正无理数? ?实数?0???负整数?负有理数??负实数???负分数????负无理数???正整数正有理数?正分数???有理数?零??负整数?负有理数??负分数???正整数?整数?零???有理数??负整数 ??正分数?分数??负分数?

（按符号分） （按定义分、按性质分）

注意点：

(1)凡能写成

q(p,q为整数且p?0)形式的数，都是有理数 p（2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数. （3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量 的基准。如0错误！未找到引用源。不能理解为没有温度。

（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数

（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；

（6）?不是有理数，而是无理数；

（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。

例1、把下列各数填在相应的集合里

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5，-2，4.6，错误！未找到引用源。，0，-2.25，1错误！未找到引用源。，+0.34，+13，-3.1416，错误！未找到引用源。

整数集合｛ 5，-2，0，+13，?｝ 非负整数集合{5，0，+13，? }

负分数集合｛错误！未找到引用源。，-2.25， -3.1416，?｝ 正有理数集合｛5， 4.6，1错误！未找到引用源。，+0.34，+13，错误！未找到引用源。｝

例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％， （1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。

（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。

解：（1）±10％的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10％。 （2）最高价格：200×（1+10％）=220（元） 最低价格：200×（1-10％）=180（元） （3）180-200=-20（元）220-200=20（元）

以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为±20元。

例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.2±0.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和±0.1mm所表示的意义。 解：1.2mm表示光盘的标准厚度；±0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm, 最小不低于标准厚度的0.1mm.

（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，

只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm 就可以说成增加 -5hm.(注意“两变”） 常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。 例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（ A）

A、甲比乙小2岁 B、甲比乙大2岁 C、乙比甲大-2岁 D、乙比甲小2岁

2

2

（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）

1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致

2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ?a+b=0 ? a、b互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。

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3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

?a(a?0)(a?0)??a(2) 绝对值可表示为：a??0(a?0)或a?? ；绝对值的问题经常分类讨论；

?a(a?0)????a(a?0)注：x?2的解为x??2；而?2?2，但少部分同学写成 ?2??2．

1； a4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是

1-1

也可表示为a,若ab=1? a、b互为倒数；若ab＝－1? a、b互为负倒数. a例1.已知A、B两点坐标分别为﹣3、﹣6，若在数在线找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列何者不可能为C与D的距离（ ）

A、0

B、2 C、4

D、6

分析：将点A、B、C、D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度． 解：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：

在数轴上使AC的距离为4的C点有两个：C1、C2数轴上使BD的距离为4的D点有两个：D1、D2 ∴①C与D的距离为：C2D2=0；②C与D的距离为：C2D1=2； ③C与D的距离为：C1D2=8；④C与D的距离为：C1D1=6； 综合①②③④，知C与D的距离可能为：0、2、6、8．故选C．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，

体现了数形结合的优点．

（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0 （强化记忆）

注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a| 、a； 例1、已知(x?3)2?y?3?0 ,求(?x)?(?y)?()332xy2010 的值。

解：∵(x?3)2?y?3?0 ∴ x-3=0,y+3=0 ∴x=3,y=-3 ∴原式=(-3)+3-(-1)

3

3

2010

=-27+27-1=-1

（五）实数大小的比较（强化记忆）

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（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；

(3)作差比较法：设a、b是两个任意实数，则a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,a?b?0?a?b（ 4）作商比较法：设m、n是两个正实数，则（5）平方法：先平方再作差 （6）倒数法

mmm?1?m?n,?1?m?n?1?m?nnnn例1、已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，现比较a,b,-a,-b的大小b<-a

b0a

例2、比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“>”、“<”、“=”）

?? 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。 解：横线上填写的大小关系是＞、＞、、=． 22

一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a+b≥2ab）

22222

证明：作差∵a+b﹣2ab =（a﹣b）≥0 ∴a+b≥2ab

（六）实数的加、减、乘、除、乘方运算（强化记忆）

1. 加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数.

2．加法运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 3．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 注：有理数加减法法则 （口诀记法）

先定符号，再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑.

4.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负，当负因数个数为偶数个时，积为正。

5.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

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6．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：

零不能做除数，即无意义.

7．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 8．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (－a)n=-an

或(a －b)n=－(b－a)n, 当n为正偶数时: (－a)n =an 或 (a－b)n=(b－a)n . 特殊情况:当n为正奇数时: (－1)n=－1;当n为正偶数时: (－1)n=1

a0注：“奇负偶正”的应用· （1）、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-{+[-(-2)]}= -2 （2）、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如： (-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24 （3）、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8, (-3)2=9 （4）、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，

a?aa但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：?1??1?1；?? ?22?2bb?b

9.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 有括号先算括号里的运算。在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷10. 整数指数幂的有关运算及乘法公式 ①a?a?amn1×5. 5mnm?n(m,n是整数)表述: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， (m,n是整数)表述: 同底数幂相除，底数不变，指数相减，

②a÷a?amnm－n③(a)?a(m,n是整数)表述: 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ④(ab)?ab(n是整数)表述:积的乘方等于乘方的积 ⑤a?1(a≠0)表述:任何不等于0的数的0次幂等于1 ⑥a?pmnnnn0?1(a≠0,p为正整数)表述: 任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数 apanan⑦()?n(n是整数)表述:分式的乘方等于分子分母各自乘方。

bb⑧平方差公式：(a?b)(a?b)?a?b表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。 ⑨完全平方和公式：

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(a?b)?a?2ab?b表述: 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的乘积的2倍 ⑩完全平方差公式：

(a?b)?a?2ab?b表述:两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的乘积的2倍 例1、已知a?3,b?2 ,且a-b<0,求a+b的值。

解：∵a?3,b?2 ∴a=±3，b=±2. ∵a-b<0 ∴a

2、a、b

互为相反数，c、d

20?a)092222互为倒数，x的绝对值等于2,试求

x2?(a?b?c)d?(x0b?(?的值)2c。d

解：∵a、b互为相反数 ∴a+b=0 ∵c、d互为倒数 ∴cd=1 ∵x?2 ∴x=±2

2010（0?1）?2?02009?（?1）?4?2?0?1?7 ∴当x=2时，原式=22? 当x=-2时，原式=(?2)?（0?1）?(?2)?0

例3、用“＞”，“＜”、“＝”填空。

220092010?（?1）?4?2?0?1?3

22（1?2）（1） ＝ 1?2?1?2?2 (2)(3?5) ＝ 32?2?3?5?52

22（3）[(?2)?(?3)] ＝ (?2)?2?(?2)?(?3)?(?3)

请通过以上式子观察归纳，试猜想：对于任意两个数a、b总有(a?b)?a?2ab?b 结论成立。

例4、计算、观察、猜想与应用：

222（3?5）（1）算一算：下面两组算式 与3?5 ；[(?2)?3]与(?2)?3 ,每组两个算式的结果是否相同？

22222222（2）想一想：(ab) 等于什么？

（3）猜一猜：当n为正整数时，(ab)等于什么？你能用乘方的意义说明理由吗？ （4）用一用：利用上述结论，求(?8)20113n1?()2012 的值。 8222（3?5）?152?225，32?52?9?25?225； 解:(1) ∵

（?6）?36 (?2)?3?4?9?36 [(?2)?3]? ∴每组两个算式的结果相同

33 （2）(ab) 等于ab

223 (3)猜想：当n为正整数时(ab)?ab

nnn(ab)?(ab)?(ab)?(ab)???????(ab)?(a?a?a???????a)?(b?b?b???????b)?ab

理由：?????????????????????????n个abn个an个bnnn

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（七）周期性问题即同余问题（强化记忆）

这类问题要紧紧抓住周期与余数，余数相同性质也相同。

例1、（2011浙江省舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A）2011

（B）2011

（C）2012

（D）2013

? ?

红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫

解: ∵纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 ∴周期为5 ,故可设截去部分纸环的个数为x个，则 (8+x+1)被5后余数为2，仅D选项符合要求。

例2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）

（A）第502个正方形的左下角 （B）第502个正方形的右下角

（C）第503个正方形的左上角 （D）第503个正方形的右下角

解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2 ∵2011÷4=502…3， ∴数2011应标在第503个正方形的左上角． 故选C．

例3、（2011河北）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的

边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号为___________．

15432

解：∵2→3→4, 4→5→1→2→3, 3→4→5→1 , 1→2 ∴小宇从编号为2的顶点开始，四次移位为一个循环， 第10次“移位”，即连续循环两次，再移位两次，即第十次移位所处的顶点和第二次移位所处的顶点相同， 故回到顶点3．故填：3．

例4、（2010安徽）下面两个多位数1248624??，6248624??，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位;若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再

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进行如上操作得到第3位数字??，后面的每一位数字都是由前一位数了进行如上操作得到的，当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ） A、495 B、497 C、501 D、503

解：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数36 2486 2486 2486 2486 …．

仔细观察36 2486 2486 2486 2486 …中的规律，这个多位数前100位中前两个为36，接着出现2486 2486 2486…，所以36 2486 2486 2486 2486 …的前100位是36 2486 2486 2486…2486 1486 1486 24（因为98÷4=24余2，所以，这个多位数开头两个36中间有24个2486，最后两个24，因此，这个多位数前100位的所有数字之和=（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）=9+480+6=495．故选A．

例5、归纳猜想：2?2,2?4,2?8,2?16,2?32,2?64,2?128,,2?256 ?? （1）通过观察，发现2 的个位数是由 4___种数字组成的，它们分别是 __2，4，8，6__； （2）用你发现的规律写出下列数的个位数字：2 __4__，2 __8__， （3）猜想：2n2010n123456781011 的个位数字，并说明理由；（4）猜想：8 的个位数字，并说明理由.

9解：（3）∵2的个位数按2,4,8,6依次循环，且2010÷4＝502??2 ∴22010 的个位数字与2 的个位数字相同。∴2392722010 的个位数字为4.

（4）∵ 8?(2)?2 且 27÷4＝6??3

∴8 的个位数字与2 的个位数字相同。∴8的个位数字为8

9939

（八）科学计数法、近似数与有效数字（强化记忆）

1．科学记数法：（1）当原数的绝对值≥10时，写成±a×10n 其中1≤a＜10, n＝整数位数－1。

（2）当原数的绝对值＜1时，写成±a×10－n，其中1≤a＜10,，n＝原数中左起第一个非零数字前面 所有零的个数（含小数点左边的那个零）．如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×105.

－

2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

误差＝近似值－准确值。误差可以是正数、0、负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值， 近似程度就越高

3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 如

5

0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×10是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．

例1、(2012年安徽）2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________. 例2．(2011年安徽）安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学计数法表示3804.2千正确的是【 】 ．A．3804.2×103 B．380.42×104 C．3.8042×106 D．3.8042×107

例3、(2010年安徽）2010年第一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ） A、2.89?10 B、2.89?10 C、28.9?10 D、2.89?10

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数学有理数易错题练习提及答案

1．填空：

(1)当a________时，a与－a必有一个是负数。

(2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________。

(3)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________。

(4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________。 (5)在数轴上到原点的距离等于23个单位长度的点所表示的数是__ ___。

(5)在数轴上到原点的距离等于23个单位长度的点所表示的数的绝对值是__ ___。 (7)绝对值小于4.5而大于3的整数是____ ____。 (8)代数式－|x|的意义是 。

(9)绝对值不大于4的负整数是____ ____。绝对值不大于2的整数 。绝对值小于5的偶数是 。

(10)如果－x=－(－11)，那么x=___ _____。

(11)用语言叙述代数式－a－3为 。 (12)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________； (13)若a?0,且

a?0，则b满足的条件是 。 b(14)a,b互为相反数，则(a?b)是 。 2．用“有”、“没有”填空：

在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数。 3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空： (1)所有的整数________负整数； (2)小学里学过的数________正数； (3)带有“＋”号的数________正数； (4)有理数的绝对值________正数； (5)若|a|＋|b|=0，则a，b________零； (6)比负数大的数________正数。

4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：（其中n为自然数） (1)－a________是负数；

(2)当a＞b时，________有|a|＞|b|；

(3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数；

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(4)|x|＋|y|________是正数； (5)一个数________大于它的相反数； (6)一个数________小于或等于它的绝对值；

(7)(?1)2n?1 _______是负数；(?1)n?2_______是负数；(?1)n?(?1)n?1________是零。 (8)有理数的平方________是正数；

(9)一个负数的偶次幂________大于这个数的相反数； (10)小于1的数的平方________小于原数； (11)一个数的立方________小于它的平方 5．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空：

(1)若a是负数，则a________－a；(2)若a是负数，则－a_______0； (3)如果a＞0，且|a|＞|b|，那么a________ b．

(1)若b为负数，则a＋b________a；(2)若a＞0，b＜0，则a－b________0； (3)若a为负数，则3－a________3． (4)比较4a和－4a的大小

6．用“都”、“不都”、“都不”填空： (1)如果ab≠0，那么a，b________为零；

(2)如果ab＞0，且a＋b＞0，那么a，b________为正数； (3)如果ab＜0，且a＋b＜0，那么a，b________为负数； (4)如果ab=0，且a＋b=0，那么a，b________为零。 7．根据所给的条件列出代数式：

(1)a，b两数之和除a，b两数绝对值之和； (2)a与b的相反数的和乘以a，b两数差的绝对值； (3)一个分数的分母是x，分子比分母的相反数大6； (4)x，y两数和的相反数乘以x，y两数和的绝对值． (5)比a的相反数大11的数．

8．若a为有理数，求a的相反数与a的绝对值的和。

9．由|a|=|b|一定能得出a=b吗？

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10．若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值。

11．由|x|=a能推出x=±a吗？

12．列式并计算：－7与－15的绝对值的和。

13．把下列各数从小到大，用“＜”号连接：

14．把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的值．

(1)(－7)－(－4)－(＋9)＋(＋2)－(－5)；

(2)(－5)－(＋7)－(－6)＋4．

15．下列叙述是否正确？若不正确，改正过来．

(1)平方等于16的数是(±4)2； (2)(－2)3的相反数是－23；

18．计算下列各题：

19．计算下列各题：

（1）(?5)?(?6)?(?65)

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7(2)?7?(35?)

922(3)?1.43?0.57?(?) 33(4)(?3?2)3?3?23 (5)?24?(?2)4 （6）－15×12÷6×5 （7）?2?(?4)2

222??2?(?3)（8）?1?(1?0.5)??? ??3420．下列各题中的横线处所填写的内容是否正确？若不正确，改正过来．

(1)有理数a的四次幂是正数，那么a的奇数次幂是负数； (2)有理数a与它的立方相等，那么a=1； (3)有理数a的平方与它的立方相等，那么a=0； (4)若|a|=3，那么a3=9；

(5)若x2=9，且x＜0，那么x3=27．

21．用科学记数法记出下列各数：(1)314000000；(2)0.000034． 22．判断并改错(只改动横线上的部分)：

(1)用四舍五入得到的近似数0.0130有4个有效数字． (2)用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是0.63． (3)由四舍五入得到的近似数3.70和3.7是一样的． (4)由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到十分位． 23．改错(只改动横线上的部分)：

(1)已知5.0362=25.36，那么50.362=253.6，0.050362=0.02536； (2)已知7.4273=409.7，那么74.273=4097，0.074273=0.04097； (3)已知3.412=11.63，那么(34.1)2=116300；

(4)近似数2.40×104精确到百分位，它的有效数字是2，4； (5)已知5.4953=165.9，x3=0.0001659，则x=0.5495． 有理数·错解诊断练习答案

1．(1)不等于0的有理数；(2)＋5，－5；(3)－2，＋4；(4)6．

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2．(1)没有；(2)没有；(3)有．

3．(1)不都是；(2)不都是；(3)不都是；(4)不都是；(5)都是；(6)不都是． 原解错在没有注意“0”这个特殊数(除(1)、(5)两小题外)．

4．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定；(5)不一定；(6)一定．

上面5，6，7题的原解错在没有掌握有理数特别是负数大小的比较． 8．(1)－11；(2)－1，－2，－3，－4；(3)4，－4．

10．x绝对值的相反数． 11．(1)＜；(2)＞；(3)＞． 12．－2，－1，0，1，2．

13．不一定能推出x=±a，例如，若|x|=－2．则x值不存在． 14．不一定能得出a=b，如|4|=|－4|，但4≠－4． 15．－2，－4，0，2，4． 16．－a＋11．

17．a的相反数与3的差．

18．读作：负三、正五、负七、正二、负九的和，或负三加五减七加二减九． 19．(1)原式=－7＋4－9＋2＋5=－5； (2)原式=－5－7＋6＋4=－2．

21．＜；＞；＞．

22．当a≥0时，－a＋|a|=0，当a＜0时，－a＋|a|=－2a．

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23．由|a＋b|=a＋b知a＋b≥0，根据这一条件，得a=4，b=2，所以a－b=2；a=4，b=－2，所以a－b=6．

24．－7＋|－15|=－7＋15=8．

26．(1)都不；(2)都；(3)不都；(4)都．

27．(1)正数、负数或零；(2)正数、负数或零；(3)正数、负数或零；(4)0． 28．(1)3或1；(2)b≠0．

30．当a＞0时，4a＞－4a；当a=0时，4a=－4a；当a＜0时，4a＜－4a．

(5)－150．

32．当b≠0时，由|a|=|b|得a=b或a=－b，

33．由ab＞0得a＞0且b＞0，或a＜0且b＜0，求得原式值为3或－1． 34．(1)平方等于16的数是±4；(2)(－2)3的相反数是23；(3)(－5)100．

36．(1)不一定；(2)一定；(3)一定．

37．(1)负数或正数；(2)a=－1，0，1；(3)a=0，1；(4)a3＝±27；(5)x3＝－27． 38．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定．

40．(1)3.14×108；(2)3.4×10-5．

41．(1)有3个有效数字；(2)0.630；(3)不一样；(4)千位．

42．(1)2536，0.002536；(2)409700，0.0004097；(3)341；(4)百位，有效数字2，4，0；(5)0.05495．

七年级数学有理数单元测试题(新人教版)

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一、选择题（本题共有10个小题，每小题都有A、B、C、D四个选项，请你把你认为适当的选项前的代号填入题后的括号中，每题2分，共20分） 1、下列说法正确的是（ ）

A 整数就是正整数和负整数 B 负整数的相反数就是非负整数 C 有理数中不是负数就是正数 D 零是自然数，但不是正整数 2、下列各对数中，数值相等的是（ ）

A －2与(－2) B －3与(－3) C －3×2与－3×2 D ―(―3)与―(―2) 3、在－5，－9，－3.5，－0.01，－2，－212各数中，最大的数是（ ） A －12 B －9 C －0.01 D －5

4、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ） A 0 B －1 C 1 D 0或1 5、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 6、计算：(－2)+(－2)的是（ ）

A 2 B －1 C －2 D －2 7、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（ ）

A 6 B 7 C 8 D 9

8、2003年5月19日，国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，收入全部捐赠给卫生部门用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行为12050000枚，用科学记数法表示正确的是( ) A．1.205×10 B．1.20×10

7

8

100

100

100

101

7

7

2

2

3

2

2

3

C．1.21×10

7

D．1.205×10

4

9、下列代数式中，值一定是正数的是( )

A．x B.|－x+1| C.(－x)+2 D.－x+1 10、已知8.62＝73.96，若x＝0.7396，则x的值等于（ ）

A 86. 2 B 862 C ±0.862 D ±862 二、填空题（本题共有9个小题，每小题2分，共18分）

11、一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为 ；地下第一层记作 ；数－2的实际意义为 ，数＋9的实际意义为 。

12、如果数轴上的点A对应有理数为-2，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为___________。

13、某数的绝对值是5，那么这个数是 。134756≈ （保留四个有效数字）

14、( )＝16，(－ )＝ 。 15、数轴上和原点的距离等于3 的点表示的有理数是 。 16、计算：（-1）+（-1）=____________。

6

72

3

2

2

2

2

2

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17、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m=_______。 18、＋5.7的相反数与－7.1的绝对值的和是 。

19、已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配 辆汽车。 三、解答题

20、计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）

（1）8＋(― )―5―(―0.25) （2）―82+72÷36

（3）7 ×1 ÷(－9＋19) （4）25×(―18)+(―25)×12＋25×(－10 )

（5）(－79)÷2 ＋ ×(－29) （6）(－1)－(1－7)÷3×[3―(―3)]

（7）2(x-3)-3(-x+1) (8) –a+2(a-1)-(3a+5)

21、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？5分

3

2

2

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22、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）

现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1） ，（2） ，

（3） 。 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式

（4） 使其结果等于24。（4分） 23、下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午8∶00 （1）求现在纽约时间是多少？

（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？3分 城 市 纽 约 巴 黎 东 京 芝 加 哥 时差/ 时 －13 －7 ＋1 －14 24、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，－4和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来。6分

25、体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组８名男生的成绩斐然记录，其中＂＋＂表示成绩大于15秒． －0.8 +1 －1.2 ０ －0.7 ＋0.6 －0.4 －0.1 问：（１）这个小组男生的达标率为多少？（ ） （２）这个小组男生的平均成绩是多少秒？6分

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26、有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，?，第n个数记为an。若a1=1/2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=______，a3=____，a4=_____，a5=______。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？6分

四、提高题（本题有2个小题，共16分）

1、同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：(1)求|5－(－2)|=______。

(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是___________。

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由。(8分)

2、若a、b、c均为整数，且∣a－b∣＋∣c－a∣＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值(8分)

七年级数学有理数单元测试题答案

一、 选择题: 每题2分，共20分 1:D 2:A 3:C 4:D 5:C 6:D 7:C 8:A 9:C 10:C

二、 填空题（本题共有9个小题，每小题2分，共18分） 11:+2;-1;地下第2层;地面上第9层. 12:-5,+1 13: ±5;1.348×5

10 14:±4;-8/27 15: ±

3.5 16:0 17:3 18 :1.4 19:12 三、 解答题:

20: 计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）

① 3 ②-80 ③21/16 ④ 0 ⑤ -48 ⑥ 0 ⑦5x-9 ⑧ -2a-7 21:解: (4-2)÷0.8×100=250(米)

3

2

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22:略

23: ①8-(-13)=21时 ②巴黎现在的时间是1时,不可以打电话. 24:解:数轴略;-3.5＜-3＜-2＜-1＜-0.5＜1＜3＜3.5

25: ①成绩记为正数的不达标,只有2人不达标,6人达标.这个小组男生的达标率=6÷8=75% ②-0.8+1-1.2+0-0.7+0.6-0.4-0.1=-1.6 15-1.6÷8=14.8秒

26 a2=2，a3=-1，a4=1/2，a5=2。这排数的规律是:1/2,2,-1循环. a2004=-1 四、 提高题（本题有3个小题，共20分）

2: ①7

②画出数轴,通过观察:-5到2之间的数

都满足|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 ③猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|有最小值=3.因为

当x在3到6之间时, x到3的距离与x到6的距离的和是3,并且是最小的. 当x＜3和x＞6时, x到3的距离与x到6的距离的和都＞3.

32

3:解: ∵∣a－b∣＋∣c－a∣＝1,并且a、b、c均为整数 ∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1

∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a, ∣c－b∣=1 ∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2

当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a, ∣c－b∣=1 ∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=2

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