线性代数_北京邮电大学出版社(戴斌祥_主编)习题答案(1、2、3、4

线性代数习题及答案

（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编

习题一

（A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n

2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)=(1)2

n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n

1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意.

所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。

解：D 4=1234()11223344(1)j j j j j j j j a a a a τ-

由题意有：232,

4.j j == 故1234141243243241

j j j j j j ?==??

D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+- 即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？

（1）233142561465a a a a a a ；

解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。

（2）324314516625a a a a a a

解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式. (1)0200001030000004； (2)1230

0020

30450001

. （3）010********

10

00n n - 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,11

2

10

n n n ij a a a n a n

a -=??

=????=-??=?=??其余

所以

12()112233(2341)1223341,1

11(1)(1)(1)123(1)(231)1(1)!

n j j j

n j j j njn

n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-?????-?=-=-? 6. 计算下列各行列式.

(1)

2

141312112325

062-----； (2) ab

ac ae bd

cd de bf

cf

ef

-------； (3)

10

1100

110

1a b c d ---； (4) 1234

2341

34124123

.

【解】(1) 12

5

62

3121

012325

62

r r D

+---=--;

(2) 1

11

41

11111

D abcdef abcdef --==------; 21

011

111(3)(1)1

1

10

1100

1

011;

b c D a a b cd c c d d d

d abcd ab ad cd --?--?

=+-=+++--????=++++ 321221

13

314214

4

1

210234

10

234

102

3410341

011

30

113(4)160.1041202220

04

4101230

111

4r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

==

=-------

7. 证明下列各式.

(1) 2

2322()1

1

1

a a

b b a

a b b a b +=-；

(2)

222222222

2

2

2

2

2

2

2

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；

(3) 2

322

32232

111()111a a a a b

b ab b

c ca b b c c c c =++

(4) 2000

(

)000

n n a b

a b D ad bc c d c

d

=

=-； (5)

1211

111

111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++??=+ ???+∑∏. 【证明】(1)

13

23

2

2

3()()()2()2001()()()()()2()

2

1

c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b

--+--=

--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 32

21

3142

41

222

2-2-2

232

2

21446921262144692126

02144692126214469

2126

c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c

d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

23232

3

2

3

11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

2

22

1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c

c ++---=++

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

2

3112

32

3

1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得

22(1)2(1)2(1)00

000

00

(),

n n n n a

b a

b

a b

a b

D a

b

c d

c d

c d c d d

c a

d D bc D ad bc D ---=-=?-?=-

据此递推下去，可得

222(1)2(2)

112()()()()()()n n n n n n

D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-=

=-=--=- 2().n n D ad bc ∴

=-

(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.

当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.

按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：

112

21

12

111110111

11110111111101

11

1

1

1

1

.

n n n

n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=

+

+=+

但由归纳假设

1112

1111,n n n i i D a a a a ---=??+= ???

∑ 从而有

112

1121112

1111

111111.

n n n n n i i n n n

n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===??

+=+ ?

??

?

???++== ? ?????∑∑∑∏

8. 计算下列n 阶行列式.

(1) 1

11111

n x x

D x

=

(2) 12222

2222

2

322

2

2

n D n

=； (3)0000

00

0000

n x y x y D x y y x

=

. (4)21000

12

1

000120000021000

12

n D =

.

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n

1),得

11

111[(1)]

,11

n x D x n x =+-

将第一行乘（

1）后分别加到其余各行，得

11

11110[(1)]

(1)(1).0

1

n n x D x n x n x x --=+-=+---

(2) 21311

1

222

21

00

01010

100201000

2

n r r n r r r r D n ---=

-按第二行展开222

2010

02(2)!.002

0000

2

n n -=---

(3) 行列式按第一列展开后，得

1

(1)(1)(1)10000000000

000(1)0000000

(1)(1).

n n n n n n n n x y y x y x y D x

y x y x y y

x

x y

x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-

(4) 210002000001000121

001210012100012000120001200000210002100021000

12

000

12

000

12

n D =

=

+

122n n D D --=-.

即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=

由 ()()()112211n n n n D D D D D D

n ----+-+

+-=- 得

11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.

1

2121

2

111n n n n

a a a a a a D a a a ++=

+

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1

1n

i

i a

=+

∑，得

2323

23

123

111111,1

1n n

n

n i n i n

a a a a a a D a a a a a a a =+

??

=++ ???

+∑ 将第一行乘（

1）后加到其余各行，得

2

311

10

10011.0

0100

1

n

n

n

n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???

∑∑

10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,

,i a i n ≠=）.

111

1

123222211

223322

221122

331

11112

3n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n

a a a a a

b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=

.

【解】行列式的各列提取因子1

(1

,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式. 312

1

2

3

2

2

2

2

3121

12

12311

113121231

12

11111()().

n n

n n n n n n n n n n n j i n n j i n i

j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ? ? ???

??

??

??

??

-= ???∏

11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，

求行列式D 的值。

解：D=

1112142122243132344142

44

1201

a a a a a a a a a a a a -，132333438,7,2,10M M M M ====

4

333

1

1323334313132323333343434567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8(1)27(1)02(1)1108141032.

i i i i D a M a M a M a M a M +=++++=-=-+-+-+-=-?-?+-??+-??+-??=---=-∑ 12. 用克拉默法则解方程组.

（1）1212450,37 2.x x x x +=??-=? （2）12312

1

32,

21,4.x x x x x x x -+=??

+=??-=?

(3) 12312341234234 5,2 1, 2 2,

23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (4) 121232343454556 1, 56 0, 56 0, 560, 5 1.

x x x x x x x x x x x x x +=??++=??++=??++=?+=??

【解】（1）因为1212450

372x x x x +=??-=?

D =454337=--；D 1=05

1027=--；D 2=4

832= 所以12

12108

,.4343D D

x x D D ====-

（2）因为12312

132

214

x x x x x x x -+=??+=??-=?

D =[1(

1)]2,3111111

1200315101012

r i i +-=--=-=--- D 1=211001

121201201361401611-===----- D 2=121121

11

110011422141

022--=--==---

D 3=112112

1210317104012

--=-=

所以

31

2

12313

4

7

,,.555D

D D x x x D D D ====-==-

(3)方程组的系数行列式为

11101110131

13121110131180;1210521211012112301401230123D -------=====≠-----

12345110

15101111211118;36;2211

121131

2303231

15011152111211136;18.1

221121201330123D D D D --====---====--

故原方程组有惟一解，为

312412341,2,2, 1.D D D D x x x x D D D D

========- 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.

15072293779212,,,,.66513335133665

D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-= 13. λ满足什么条件时，线性方程组1231231

2321,2,4553x x x x x x x x x λλ+-=??-+=??+-=?有唯一解？

解：D =[32(1)]2

1211

1104

55450c λλλλλ---=-- =1

(1)(1)(54)45λλλλ--=-?+

要使方程组有唯一解，必须D 0≠，于是：(1)(54)0λλ-?+≠ 解得：1241,

5λλ≠≠- 当λ不等于1，45

-时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组

1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

110,1

1121λ

μμ=

即

(1)0.μλ-=

故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.

15. 求三次多项式23

0123()f x a a x a x a x =+++，使得

(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====

【解】根据题意，得

0123012301230123(1)0;

(1)4;

(2)2483;

(3)392716.

f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=

这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于

012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=

故得01237,0,5,2a a a a ===-=

于是所求的多项式为

23()752f x x x =-+

（B 类）

1. 已知n 阶行列式D 的每一列元素之和均为零，则D = 。 解： 令

D =

11121112111222212[1(1)]21222212222,3,,1212n n n n n nn r i n n i n

n n nn n n nn a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++++++++==2122212000

0n n n nn

a a a a a a =

2.D

3. 写出行列式D 4=512

312

1

23122x x

x x

x x 的展开式中包含3x 和4x 的项。 解：令D 4=5123

1

2123122x x x x x x =11121314212223

24313233

3441424344a a a a a a a a a a a a a a a a =12341234()11223344(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑ 比较可得：只有当12341234j j j j =时，才能出现4x 项，当12342134,4231j j j j =时，为3x 项，

故4D 中含4x 项为：410x +

含3x 项为：(2134)(4231)31221334414223341(1)

(1)5a a a a a a a a x ττ-+-=-。

4. 已知4阶行列式D 4=1234

33441567

1122

，试求41424344A A A A +++，其中4(1,2,3,4)j A j =为行列式D 4的第4行第j 列的元素的代数余子式。

解：因为D 4=1234

33441567

1122

所以414243441234

33441567

1111A A A A +++=[1(1)]412,3,41123123

3011(1)01114564561000c i i +-+===- [41(4)]551112311

(1)011(1)(1)36036

r +-+=-=------(6(3)) 3.=----=

5. 解方程1

222212

1211

11110.n n n n n n a a a a a a x a a a =

解：因D =

1

21211111112121212(1)(1)

111111111

1

1

1

10111n

n n n n n n n n n n

n

n

n

n

n

n n n n a a a a a a a a a a a a x

a a a x

a a a ------+?+---=

---

=122

11

1

1

2

11111

1(

1)11

1n n n n n n

n n

a a a x a

a a +---?-------+

122221************

11

111

n n n n n n n n

n n n n

a a a a a a a a a a a a ---?---------

故由D =0可得：

1

(1)

n x +=

-1222212

111121************

1

111

11111

1

111

1n n n n n n n n

n

n n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---?---?---------------

因为

121211111

1

121211*********

1

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---------

=

---=1()n i j j i n

V a a ≤<≤=

-∏

所以(1)

x =-122221212111111

1()

n n n n

n

n i j j i n

a a a a a a a a a a a ≤<≤-------∏

6. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为

ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)

按题设有

11223

30,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=??++=??++=?

则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

1122331

101

x y x y x y =

上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.

习题 二

（A 类）

1. 1. 设A =121221211234??????????，B =4321

21210101??

??

--????--??

，

（1） 计算3A -B ，2A +3B ；

（2） 若X 满足A +X =B ，求X ；

（3） 若Y 满足（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，求Y .

解：（1）3A -B =3636636333912??????????-432121210101????--????--??=1

315828237913-??

??

??????

。 2A +3B =242442422468??????????+1296363630303????--????--??=14138

725252165??

??--??

????

。

（2）因A +X =B ，则X =B -A ，即

X =432121210101????

--????--??-121221211234??????????=311140401335-????--????----??

。 （3）因为（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，所以3Y =2A +2B ，即

Y =2

3（A +B ）=2

3（432121210101????--????--??+121221211234??????

????）=553

32020

231133?

??????????

=101022334

40033222233??

???

??????

???????

。

2. 计算下列矩阵的乘积.

（1）[]11321023????

-??-??????=； （2）

500103120213????????-????????????

； （3） []32123410????

????????

； （4）

()11

121311

2

321

2223231

32333a a a x x x x a a a x a a a x ????

????????????????； （5） 11

121321222331

32

33100011001a a a a a a a a a ????????????????????

； （6） 1

2101

3

1010101210

0210

023********????

????-?

??

?????

-???

?

-????

. 【解】

(1) 32103210;6420963

0-??

??--?

???

-?

?-??

(2)531??

??-????-??; (3) (10);

(4) 33

222

111

222

333

12211213311323322311

()()()ij i

j

i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x

==++++++++=

∑∑

(5)111212132122222331

32

3233a a a a a a a a a a a a +????+????+??

; (6) 1

25

20

1240

0430009??

??-?

???

-??

-??

. 3. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????

B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 2

2

()()-=-A+B A B A B 吗?

【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311????-=--????--??

AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A

B )≠A 2B 2. 4. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ；

(3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y .

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000????==??????

0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-??

??=??????

A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110????????????=≠=????????????-??????

A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .

5. 计算：

（1）3010001000??????????

；（2）cos sin sin cos k θθθθ????-??（k 为正整数）； （3）101k λ??????（k 为正整数）. 解：（1）3010001000??????????=010001000??????????010001000??????????010001000??????????=001000000??????????010001000??????????

=33000000000?????=??????

O 。 （2）令D k =cos sin sin cos k

θθθθ????-??（k 为正整数），则当k =2时， D 2=cos sin sin cos θθθ

θ????-??cos sin sin cos θθθθ????-??=cos 22sin cos 2sin cos cos 2θθθθθθ????-?? =cos 2sin 2sin 2cos 2θ

θθθ????-??；

设D m =cos sin sin cos m m m m θ

θθθ????-??

成立，则 D m +1=cos sin sin cos m m m m θθθθ??

??-??cos sin sin cos θθθθ????-??

=cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin m m m m m m m m θθθθθθθθθθθθ

θθθθ-+????---?? =cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)m m m m θθθθ++??

??-++??

.

故有：D k

=cos sin sin cos k

θθθθ????-??=

cos sin sin cos k k k k θθθθ??

??-??

.

(3) 令D k =1

01k

λ??????

（k 为正整数），则

当k =2时，有：

D 2=

101λ??

????101λ?

?????=

1021λ??

????

；

假设D m =101m

λ??????=

101m λ??

????

成立，则

D m +1=101m λ??????101λ??????=10

(1)1m λ??

??+??

；

故有101k

λ??

????=101k λ?

?

????

。

6. 设a b c d b a d c c d a b d c b a ??

??

--????--??--??

A =，求|A |.

解：由已知条件，A 的伴随矩阵为

22222222()()a b c

d b a d

c a b c

d a b c d c d a

b d

c b

a *????--??-+++=-+++??--??--??A =A 又因为*A A =A E ，所以有

22222()a b c d -+++A =A E ，且0

即 4

2222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E

于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A .

7. 已知线性变换 112112212321331233

232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+????=-++=+????=++=-+??

利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.

【解】已知

112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ????????????===-???????????

???????-????????????===????????????-??????

-??

??==-????--??

X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为

112321233

12342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++??=-+??=--+?

8. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.

【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,

所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,

故'B AB 也为对称阵.

9. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA .

【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .

则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA ,

反之，因AB =BA ,则

(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,

所以，AB 为对称阵.

10. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明：

(1) B 2是对称矩阵.

(2) AB BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵.

【证明】

因A ′=A ,B ′=

B ,故

(B 2

)′=B ′·B ′= B ·(B )=B 2

;

(AB BA )′=(AB )′(BA )′=B ′A ′A ′B ′

= BA A ·(B )=AB BA ;

(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′

= BA +A ·(B )= (AB +BA ).

所以B 2

是对称矩阵，AB BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 11. 求与A =1101??

?

???

可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ??

?

???

,则由 1101??????a b c d ??????=a b c d ??????1101??????

, 得

a c

b d a a b

c

d c c d +++????=????+????

.

由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ??

??

??

的方阵，其中a,b 为任意数.

12. 求与A =100012012????????-??

可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于

A =E +000002013??

??????-??

,

而且由

1

111

112222223

3

3333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ????

????????????=????????????????--????????

可得

1

112223333332323

2302300

023222.023333c b c c

b c a b c c b c a a b b c c -????

????-=???

?????----????

由此又可得

1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,

c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-

所以

2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-

即与A 可交换的一切方阵为1233

2300

0203a b b b b b ??

??????-??

其中123,,a b b 为任意数. 13. 求下列矩阵的逆矩阵.

(1) 1225??????； (2) 123012001??

????

????； (3)121342541-????-????--??

； (4) 1

000120021301214????????

??

??

； 【解】

(1) 5221-????-??; (2) 121012001-??

??-??????

; (3) 12601741632142-????--????--??; (4) 1

00011002211102

6315118

24

124??????-

????--??????--????

; 14. 利用逆矩阵，解线性方程组

1232312

1,221,2.x x x x x x x ++=??

+=??-=? 【解】因123111102211102x x x ??????

??????=???????????

?-??????,而1110022110≠-

故

112311*********.02211

130122*********x x x -????-????????????????????????===????????????---????????????-????????????-????

15. 证明下列命题：

(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *.

(2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）1=（A 1）*.

(3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)1.

【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得

|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)

=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A *

=(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.

∵ |A |≠0,|B |≠0,

∴ (AB ) *=B *A *.

(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1)1=|A |1A .

于是

A * (A 1) *=|A |A 1·|A |1A =E ,

所以

(A 1) *=(A *)1.

(3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A 1=A ′.

由(2)(A *)1=(A 1) *,得

(A *)1=(A ′) *=(A *)′.

16. 已知线性变换

112321233

12322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++??=++??=++?

求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换.

【解】已知

112233221,315323x y x y x y ????????????===??????????????????

X AY 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而

1749,637324---??

??==-????-??

Y A X X 所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为

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