八年二次根式的意义和性质

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学科：数学 任课教师： 授课时间： 2014年2月9日 (星期日)17：00~19：00 姓名 教学 目标 重点 难点 年级 八年 性别 女 教学课题 二次根式 1．使学生了解二次根式的概念。2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题。3．使学生掌握1、形如= a(a≥0)，并能加以初步应用。 a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、二次根式中字母的取值范围。3、二次根式中，较复杂的字母取值问题的讨论。 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 二次根式 教学过程 一、复习引入 1、平方根和算术平方根 2、一个正数有两个平方根，是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 二、探索新知 很明显3、10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫课 堂 教 做二次根式，“”称为二次根号． 知识点一：二次根式 过 1、概念：一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次学 程 根号． 过 2、一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；在实数范围内，负数程 没有平方根。被开方数是非负数。 温馨提示：（1）二次根式必须含有二次根号“”，如： 2、x（x>0）。 （2）被开方数a可以是数，也可以是式子，但必须是非负数。 （3）式子a具有双重非负性，即：a≥0，a≥0。 知识小结：1、形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）． 24．a=a（a≥0） 1

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1 例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、、x（x>0）、0、x42、-2、1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、11、42、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?能有意义． 1 解：由3x-1≥0，得：x≥ 31当x≥时，3x?1在实数范围内有意义． 3技巧点拨：判断一个式子是否是二次根式，要看它是否同时具备下列两个条件： （1）根指数是2； （2）被开方数为非负数。（即大于或等于0的数）二者缺一不可。 知识点二：二次根式在实数范围内有意义的条件 1、由于负数没有平方根，故要使二次根式有意义，必须使被开方数大于或等于0。 2、若二次根式有意义，则被开方数大于或等于0，列出不等式（组）求解集； 若二次根式无意义，则被开方数小于0，列出不等式（组）求解集。 3、在分母中含有字母的式子，必须满足分母不等于0这个条件。 3x?1才温馨提示：（1）对于形如a二次根式，当它有意义时，不要漏掉被开方数等于0的解。 （2）对于形如a/b二次根式, 当它有意义时，必须保证分母不能为0，且分子的被开方数大于或等于0。 1 例3．当x是多少时，2x?3+在实数范围内有意义？ x?111 分析：要使2x?3+在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和x?1x?1中的x+1≠0． ?2x?3?0 解：依题意，得? ?x?1?03由①得：x≥- 由②得：x≠-1 2 2

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31当x≥-且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1 知识点三：二次根式的性质 1、二次根式的非负性：在a中，a≥0，a≥0。 2、= a(a≥0) 3、一般地，根据算术平方根的意义，a2=a（a≥0）．a2＝a（a≥0）． 4、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方），把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______； （ （a）2=a（a≥0） 例1： 计算 1．（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32325272 ） 2．（35）2 3．（） 4．（）226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题． 解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45， 2252572(7)27（）=，（）=2?． 62426例2： 计算 1．（x?1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a2?2a?1）2 4．（4x2?12x?9）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2=x+1

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（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9 例3：在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例4： 化简 （1）9 （2）(?4)2 （3）25 （4）(?3)2 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）?去化简． 解：（1）9=32=3 （2）(?4)2=42=4 （3）25=52=5 （4）(?3)2=32=3 例5： 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，? 并根据这一性质回答下列问题． （1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？ 分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(?a)2，那么-a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为a2=a，所以a≥0； （2）因为a2=-a，所以a≤0； （3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 4

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例6： 当x>2，化简(x?2)2-(1?2x)2． 三、巩固练习1、 （一）选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 1 x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） 1 A．5 B．5 C． D．以上皆不对 5 （二）填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． （三）综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ A．4 B．16 C．8 D． 2．当x是多少时，2x?32+x在实数范围内有意义？ x 3．若3?x+x?3有意义，则x?2=_______． 4.使式子?(x?5)2有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值． 四、巩固练习2、 （一）选择题 11 1．(2)2?(?2)2的值是（ ）． 33 A．0 B．22 C．4 D．以上都不对 33 2．a≥0时，a2、(?a)2、-a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A．a2=(?a)2≥-a2 B．a2>(?a)2>-a2 C．a2<(?a)2<-a2 D．-a2>a2=(?a)2

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（二）填空题 1．-0.0004=________． 2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________． （三）综合提高题 1．先化简再求值：当a=9时，求a+1?2a?a2的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+(1?a)2=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+(1?a)2=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+a?2000=a，求a-19952的值． （提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x?3)2+x2?10x?25。 例7：(1)已知y=2?x+x?2+5，求x的值． y (2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值． 课堂听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。 检测 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________ 巩固 签字 教学组长签字： 学习管理师: 老师 老师最欣赏的地方： 课后 老师想知道的事情： 赏识 评价 老师的建议： 6

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