分类讨论解不等式后的“综上所述”问题

分类讨论解不等式后的“综上所述”问题

在解不等式时，有好多题是用分类讨论方法来解题，好多学生在分类讨论后不知道怎么写“综上所述”。现总结如下：其中“a”代表参数，“x”代表自变量。

共有三句话：

讨论参数a，求参数a的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集。

讨论参数a，求自变量x的范围，综上所述时讨论几种情况就写几种情况。 讨论自变量x，求自变量x的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集。 举例如下：

讨论参数a，求参数a的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集

若cos2θ+2msinθ－2m－2＜0对θ∈R恒成立,求实数m的取值范围．

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解：将原不等式变为sinθ－2msinθ+2m+1＞0即 (sinθ－m)2－m2+2m+1＞0恒成立,令sinθ=t,则 y=(t－m)2－m2+2m+1(|t|≤1)

∴只需求y=(t－m)2－m2+2m+1的最小值大于0恒成立． ①当m＞1时,ymin=f(1)=2＞0

②当m＜－1时,ymin=f(－1)=4m+2＞0 m＞－ (舍) ③当－1≤m≤1时,ymin=f(m)=－m2+2m+1＞0 ∴1－ ＜m≤1

综合①②③得 m＞1－ ．

讨论参数a，求自变量x的范围，综上所述时讨论几种情况就写几种情况 解关于x的不等式a(x?1)＞1（a≠1）。

x?2解：原不等式可化为：(a?1)x?(2?a)＞0，

x?2①当a＞1时，原不等式与（x－a?2）（x－2）＞0同解。

a?1由于a?2?1?1?1?2，

a?1a?1∴原不等式的解为（－∞，a?2）∪（2，＋∞）。

a?1②当a＜1时，原不等式与（x－a?2）（x－2）＜0同解。

a?1由于a?2?1?1，

a?1a?1若a＜0，a?2?1?1?2，解集为（a?2，2）；

a?1a?1a?1若a＝0时，a?2?1?1?2，解集为?；

a?1a?1若0＜a＜1，a?2?1?1?2，解集为（2，a?2）。

a?1a?1a?1综上所述：当a＞1时解集为（－∞，a?2）∪（2，＋∞）；

a?1

当0＜a＜1时，解集为（2，a?2）； 当a＝0时，解集为?；

a?1a?1当a＜0时，解集为（a?2，2）。

讨论自变量x，求自变量x的范围，综上所述要求分类讨论结果的并集

解不等式：|x－1|＋|x＋2|＜5．

［解析］ 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为不含绝对值符号的不等式，要对未知数x进行分类讨论，即用“零点划分法”将实数分成x＜－2，－2≤x＜1和x≥1三个部分进行讨论． 解： 用“零点划分法”将实数分类： 令x－1＝0得x＝1，x＋2＝0得x＝－2．

(1)当x＜－2时，原不等式化为：－x＋1－x－2＜5，即x＞－3， ∴ －3＜x＜－2．

(2)当－2≤x＜1时，原不等式化为：－x＋1＋x＋2＜5，即3＜5恒成立．∴－2≤x＜1也是原不等式的解集．

(3)当x≥1时，原不等式化为：x－1＋x＋2＜5，即x＜2，∴ 1≤x＜2． 综上所述：原不等式的解集为：{x|－3＜x＜2}．

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