高等数学知识在一类排序不等式证明中的应用

排序不等式是一类重要的不等式,但过去均是采用初等方法加以证明的。本文应用高等数学知识给出了排序不等式的新的证明方法,使一大类不等式得到了证明与推广。

第2 5卷第 5期21 0 2年 9月

高等函授学报 (自然科学版) J un l fHih r o rso d n eE u ain Naua S ine ) o r a o g e rep n e c d ct ( trl c c s C o e

Vo . 5 No 5 12 .2 1 02

大学教学

高等数学知识在一类排序不等式证明中的应用刘雁鸣(汉工程大学理学院，汉 40 7 )武武 3 0 9

摘要：序不等式是一类重要的不等式，过去均是采用初等方法加以证明的。本文应用排但 高等数学知识给出了排序不等式的新的证明方法，一大类不等式得到了证明与推广。使 关键词：等数学；序不等式；偏导数高排中图分类号： 7 O1 2文献标识码： A文章编号：0 6 7 5 ( 0 2 0—0 2一O 1 0— 3 3 2 1) 5 O 4 2

1问题的提出

排序不等式是一大类常用的重要不等式。设口≤口≤…≤口， b≤…≤ b为两组有序 z b≤ z…

sx y一∑ Tx, )其中x一(,, (,) ( Y, k z z)Y一 (,。2…Y )并且 Y, 3 Y。。 l^∈[ l6] 6,定理 1令 A, C, B,丁和S如上所定义.假设 T的一阶偏导数存在， 对所有, 口 口y

实数，有下列不等式成立：则a b+a 6 l…+ ab≤ a b+口b 1 2,+ r 1 lr ' 2+… ab-口 b+口 b+…+ ab . ( ) nr≤ l1 22 1

其中 r,2…r r,是 1 2…,的一个任意排，,, l列.这类不等式的证明过去一直采用初等方法[2]使得推广十分困难。 1,,3 本文应用高等数学知识给出了排序不等式的新的证法，这类不等式的证明得到彻底解决，使同时得到了另外一些排序不等式。文分三部分，本第二部分给出了主要定理及其证明，三部分给出第了应用定理证明排序不等式以及推广的结果。2主要定理及其证明

( )∈[口]×[。6]存在，: z,口， 6,有 ()若对任意 ( )∈[口]×[ 6]有 1 z,口， 6,≥ o则 S A,, (百)≤ S A, ) S A, ( c≤ ( B)d.

O3 T t

()对任意 (, 2若 z )∈[口]×[ ]有口， 6,d,7 V 20

≤ 0则 S A,≥ S A, )≥ S A, , (百) ( c ( B)

证明 ( )记 C一 ( l C,,/I C,/, 1 c,2… C-,』 C l -+

…, -,i l… ) C lc,, j .则

首先引入下面的记号.设 a≤ a≤…≤口， z

SA c一 (, ) (, SAC一∑ Ta ) ) ( 一

b≤ b≤…≤ b为两组有序实数，义向量 A= 定( l a,,,一 ( 1 b, b )及 A一 (,口，2… a ) B 6,2… 口

[ Ta,) (,) ∑ ( c+Ta c+ i

a-,, 1,一 (,,, 1, n… a)B - 1 6 1…b)向量 C一 (l r c, c, … )示由 b,…b任意排列后生成的向表。b,量 (,,, b ) 6 b…,。、

+∑ Ta,) (,) ( +Ta C十∑ Ta,) i ( C] t一

T( fC)+ T( c)一 T( l C)一 T(』 c) a,i a,j a,』 a,1

又设 T为某一实值函数，定义如下

若定义函数^ ()= T(,j一 T(,f tC) tC )则S A, ) S A, ( C一 ( C )一 f (一 f ( f o口) o口)

T:[1口]×[l6]一 R 口， 6, 函数 S定义为

s:[口] n,×[。6] R 6,一收稿日期： 0 20— 7 2 1— 61 .

基金项目：文受国家自然科学基金“学建模与计算机模拟癌症形成的基因网络机理”项目 (目编号：本数项 10 17 )助. 1725资 ‘ 作者简介：刘雁鸣 ( 94 )女， 1 7一，内蒙古赤峰人，学硕士，师，究方向：理讲研分形几何，率论，等数学教育 .概高

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3nxi.html