空间解析几何教学大纲

空间解析几何教学大纲

课程名称：空间解析几何 课程编码：1102020006

英文名称：Analytic Geometry 学 时：40 学 分：2.5 适用专业：信息与计算科学 课程类别：必修 课程性质：学科基础课

教 材：解析几何 （吕林根 高等教育出版社） 一、课程性质与任务

解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科。它把数学的两个基本对象──“形”与“数”有机地联系起来，使得几何、代数和分析构成一个有机的整体，从而为数学的其它分支与几何学的互相渗透、互相促进奠定了基础，对高等数学的发展起了巨大的推动作用。解析几何是一门应用十分广泛的学科，它不仅在数学中，而且在物理、化学、工程技术以及经济等其它科学技术领域中都有广泛的应用。本课程的任务是介绍解析几何的基本方法和基本知识，培养学生运用解析几何的方法解决几何问题的能力，空间想象的能力，以及在实际问题中运用解析几何的方法和知识的能力，并为以后学习高等代数，数学分析和其它相关课程作准备。 二、课程教学的基本要求

本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 教学要求：

（1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能运用自如，从而达到数与形的统一。

（2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 三、课程内容及教学要求 第一章 矢量与坐标（10学时）

1． 主要内容

1）矢量概念 单位矢量 零矢量 相等矢量 反矢量 共线矢量 共面矢量。 2）矢量的加、法及其运算法则。 3）数量乘矢量及其运算法则。

4）矢量的线性运算及矢量的分解。 5）行列式与线性方程组。 6）标架与坐标。 7）矢量在轴上的射影。 8）两矢量的数性积与矢性积。 9）三矢混合积。 10）三矢的双重矢性积。 2．基本要求

1）正确理解矢量、单位矢量的概念。相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢量的定义。决定一个矢量的两要素（模长与方向），标架、坐标系、矢量及点的坐标定义。方向角与方向余弦的定义。矢量乘法（叉积，点积，混合积双重矢性积）的定义。矢量线性相关与矢量共线、共面之间的关系。射影矢量与射影的定义。

2）掌握矢量的运算律。理解矢量运算的几何意义，矢量的各种运算与重要几何性质的关系，矢量的分解与所在空间的维数无关，矢量代数与实数代数的异同。

3）熟练掌握矢量加、减，数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算。二矢量线性相关的等价条件，三矢量线性相关的等价条件，定比分点坐标的表示。方向角与方向余弦的计算。

4）掌握用矢量法证明三点共线与三线共点，理解三矢量的双重矢性积，拉格朗日恒等式。

第二章 轨迹与方程（4学时）

1.主要内容

1）曲面方程、母线平行于坐标轴的柱面方程。 2）空间曲线的方程。

2．基本要求

1）正确理解曲面方程，点球，虚球面，曲面的参数方程、柱面、准线、曲线的一般方程，曲线的坐标式参数方程。

2）理解曲线方程的系数的意义，掌握二次柱面的方程，曲线的矢量式参数方程。 3）熟练掌握，曲面方程的导出。母线平行于坐标轴的柱面方程，F(x,y)=0，F(x,z)=0，F(y,z)=0。空间曲线的一般方程及坐标式参数方程。

4）曲面与空间的矢量式参数方程一般理论。

第三章 平面与空间直线（14学时）

1． 主要内容 1）平面方程。

2）平面与点、平面与平面的相关位置。 3）空间直线的方程。

4）直线与平面，直线与直线，直线与点的相关位置。 5）平面束。 2．基本要求

1）深刻理解下列几个基本概念

（1）法矢量，点法式方程，单位法矢量，法式方程，离差。 （2）直线的方向矢量，方向角，方向余弦，方向数。

（3）直线与平面的交角，异面直线间的距离，公垂线，平面束。

2）切实掌握下列基本方法及内容

（1）求平面法式方程，坐标式参数方程，截距式方程，一般方程。 （2）求点与平面的离差。

（3）两平面相交，平行，重合的条件，平面之间的交角。

（4）直线的坐标式参数方程，对称方程，一般方程，一般方程化为对称方程。 （5）直线与平面相交，平行，直线在平面上的条件。求直线与平面的交角。 （6）直线与直线异面，共面，相交，平行，重合的条件。

（7）求二直线的交角，二直线垂直的条件。两异面直线的距离与公垂线方程。 （8）求平面束中的一个平面。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（10学时）

1．主要内容

1）柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面。 2）椭球面。

3）双曲面：（1）单叶双曲面；（2）双叶双曲面。 4）抛物面：（1）椭圆抛物面；（2）双曲抛物面。

5）单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。 2．基本要求

1）深刻理解柱面的方向、准线、母线、熟练掌握柱面方程的一般形式。锥面的概念、顶点、准线、母线的概念以及锥面方程的一般形式。旋转曲面的概念、旋转轴、母线、经线、纬圆的概念，旋转曲面的方程。

2）深刻理解椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面的标准方程、性质和形状、顶点和中心。椭圆抛物面的标准方程、性质、形状、顶点。双曲抛物面的标准方程、性质、形状、鞍点。

3） 深刻理解直纹面和非直纹面，二阶直纹面的性质。

4）掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的建立，用平行截割法研究二次曲面的标准方程确定曲面的性状。以直线族研究单叶双曲面和双曲抛物面。

三、 课程学时分配

讲课讲 课 内 容 学时 实践教学活动） 学时 第一章 向量与坐标 第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 总计 五、课程习题要求

每章根据学生学习情况，留有一定数量的思考题供学生课后复习，巩固课堂教学效果，并进行讲评。 六、考核方式

以期末闭卷考试成绩为主，参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等，综合评定给出成绩。 七、课程的主要参考书

《解析几何学习辅导书》 吕林根著 高等教育出版社；

《空间解析几何习题试析》，陈绍菱、傅若男编，北京师范大学出版社，1992年第六次印刷；

12 4 14 10 40 12 4 14 10 40 实验学时（含各类合计《解析几何方法与应用》，郭健等编，天津科学技术出版社，1998年第1版； 《空间解析几何引论》，南开大学几何教研室编 ，南开大学出版社，1992年第1版。

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