分数阶微积分及分数阶方程初步研究

分数阶微积分及分数阶方程初步研究

[摘要]分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论及相关问题的研究还处在初级阶段。本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。

[关键词] 分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.

Preliminary studies of fractional calculus and fractional equation

[Abstract]Fractional Calculus and Fractional equations are the hottest research topic in today's domestic and international research, theoretical and related issues is still in its infancy.This paper aims to introduce fractional derivatives and related issues, initial presentation and study some properties of fractional calculus.This article gives four common definition of the fractional derivatives : Grunwald Letnikov fractional derivative , Riemann Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, Weyl fractional derivative and the relation and distinction between them. On the basis of the integer-order calculus,further extend the fractional algorithms and basic nature under the definition of the Riemann-Liouville fractional derivative. Finally,briefly introduced the existence and uniqueness of the solutions of linear fractional differential equations.

[Keywords]F ractional derivative;Fractional equations; Grünwald-Letnikov fractional derivative;Riemann-Liouville fractional derivative;Caputo fractional derivative.

目录

1 引言 (1)

1.1分数阶导数的研究背景、意义 (2)

1.2分数阶微积分理论的研究现状 (2)

1.3 本文的组织结构 (3)

2 分数阶微积分的基本概念 (3)

2.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义 (3)

2.2 Riemann-Liouville分数阶导数定义 (4)

2.3 Caputo分数阶导数定义 (6)

2.4 Weyl分数阶导数定义 (6)

2.5三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别 (8)

2.5.1Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义的比较 (8)

2.5.2Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较 (10)

2.5.3Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较 (11)

2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较 (12)

3分数阶导数的运算法则 (13)

3.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则 (13)

3.2分数阶导数在其他定义下运算法则探讨 (16)

4分数阶导数和积分的基本性质 (17)

4.1分数阶微积分的性质 (17)

4.2分数阶导数、积分的奇偶性及周期性 (17)

5分数阶方程的初步研究 (19)

5.1序列分数阶导数 (19)

5.2线性分数阶微分方程 (20)

结论 (24)

致谢语 (24)

[参考文献] (17)

1.引言

1.1分数阶导数研究背景、意义 整数阶导数以及积分的概念是大家所熟知的。导数n n d y dx 描述了y 变量关于x 的变化程度，有着深刻的物理背景。但现在的问题是：怎样将n 推广到一般的分数，甚至是复数？ 因为相比较于整数阶导数以及积分，分数阶微积分可以更简洁准确地描述具体具有历史记忆和空间全域相关性等复杂力学和物理过程这个问题可以追溯到1695年，Leibniz 就与L’Hospital 在信中讨论到12

阶导数的问题,但当时并没有给出计算结果．直到 1812年，Laplace 利用积分给出了一个分数阶导数的定义。当m y x =时，利用Gamma 函数，Lacroxi 得到

()()

11,,1n m n n m d y x m n dx m n -+Γ+=≥Γ-+ 并由此给出了当1,2

y x n ==时的分数阶导数: 12122d x

x dx π=，

这和现在的Riemann-Liouville 分数阶导数给出的结论是一致的。

稍后，Fourier 通过现在我们所谓的傅里叶变换给出了分数阶导数的定义，注意到函数()f x 可以表示为双重积分

()()1

()cos 2f x f y x y d dy ξξπ∞∞

-∞-∞=-?? 注意到

()()1cos cos ,2n n n d x y x y n dx ξξξπ??-=-+ ???

并将n 替换为一般的v ，通过积分号下求导数的方法，则可以将整数阶导数推广到分数阶：

()()11()cos ,22v v v d f x f y x y v d dy dx ξξπξπ

∞∞-∞-∞??=-+ ??

??? 考虑Abel 积分方程

()()120,x k x t f t dt -=-?

其右端是定义了分数阶（1/2）积分的定积分，f 待定。Abel 在研究上述积分方程时将右端写为12

12()d f x dx

π--，从而有 12

12

().d k f x dx π--= 此式也表明，一般情况下常数的分数阶导数不再是零，与常数整数阶导数为零是有区别的。

由于受到Fourier 和Abel 的启发，Riemann 、Liouville 等著名数学家于19世纪30年代开始系统地研究分数阶微积分理论，他们将Cauchy 积分公式进行推广，得到了函数的分数阶导数的定义。 近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID 控制器设计等领域。因此，进一步推广和完善分数阶微积分运算的理论体系显得尤为重要。

1.2 分数阶微积分理论的研究现状

现阶段对于分数阶微积分的研究理论还并不完善，单就分数阶的定义，就有很多种，定义的不同也会带来算法形式上的差异，继而会造成算法稳定性证明与精度分析方法的不同。目前常用的是Grünwald -Letnikov 分数阶导数、Riemann-Liouville 分数阶导数、Caputo 分数阶导数以及Weyl 分数阶导数这四种定义方式。

而对于分数阶微分方程，尽管有些方程的解析解可以求得出来，但人们注意

到很多分数阶微分方程的解析解是用比较特殊的函数来表示的，而要数值地表示这些特殊的函数是很困难的。甚至有些非线性方程是不可能求出其解析解的。目前也只有个别理论可用于解决部分特殊情况下的问题，并不具有普适性。

1.3 文章的组织结构

本文共有7 章，各章的内容如下：

第一章，主要介绍本课题的研究背景、意义；分数阶微积分及分数阶方程的研究现状；

第二章，主要介绍分数阶微积分的四种常用的定义方法，包括Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义和Weyl分数阶导数定义还有它们之间的联系与区别；

第三章，主要是探究在Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶微积分的一些简单的运算法则，以及在其他三种定义下分数阶微积分这些简单运算法则成立的条件；

第四章，主要在于研究分析在Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶微积分的一些基本性质；

第五章，主要是给出了序列分数阶导数的概念以及线性分数阶微分方程初值问题的解的存在唯一性的证明。

第六章总结。

2 分数阶微积分的基本概念

2.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义[1]

首先我们来回顾一下经典的整数阶导数由各阶向后差商的极限定义：

()()()()022

200000()1lim ()(),()1lim ()2()(2),......()1lim 1()1(1)1lim (),;(1)(1)h h n n k n

n h k k

n h k df t f t f t h dt

h df t f t f t h f t h dt h n df t f t kh k dt h n f t kh n h k n k →→→=∞→==--=--+-??=-- ???-Γ+=-∈Γ+Γ-+∑∑ （2.1.1） 其中，当k n >时，0n k ??= ???

。

将上式整数阶导数的定义推广到任意阶，即将（2.1.1）中的n 用任意实数α取代，可以得到标准的Grünwald -Letnikov 分数阶导数定义：

()001(1)1()lim (),0.(1)(1)k

GL h k D f t f t kh h k k ααααα∞→=-Γ+=->Γ+Γ-+∑ （2.1.2） 假设函数()f t 定义在区间[],a t 上，且()0,,f t t a =?<为了与积分联系起来，我们假设：0,h n →→∞当时，为此，我们把h 看作是区间[],a t 的n 等分长，即t a h n

-=，那么Grünwald -Letnikov 分数阶导数可以写成 []()()()000011()lim ()lim (),0.t a h n GL k k h h k k nh t a D f t f t kh f t kh h h α

ααααωωα-→→===-=-=->∑∑（2.1.3） 其中，()()()1(1)1(1)(1)k k k k k k αααωα-Γ+??=-= ?Γ+Γ-+??

称为Grünwa ld-Letnikov 系数。 另外一种所谓的移位的Grünwald -Letnikov 分数阶导数[2]定义为：

[]()()001()lim (()),0.t a h p GL k h k D f t f t k p h h αααωα-+→==-->∑ （2.1.4）

2.2 Riemann-Liouville 分数阶导数定义

由于利用Grünwald -Letniko 定义计算并不方便,所以, Riemann-Liouville

定义实质上是对Grünwald -Letniko 定义的改进。为了导出Riemann-Liouville 分数阶导数的定义，先引入整数阶积分的概念，考虑如下的迭代积分：

()()()2

102110

1

110

(),

(),

(),

n t

t t n n n D f t f d D f t d f d D f t d d f d τ

τ

ττττττττττ------===?????

?

这些多重迭代积分都可以用如下单重积分形式统一表示：

()()0

,,t

n

K t f d τττ?

其中(),n K t τ的表达式是我们接下来所要确定的。显然()1, 1.K t τ=考虑当

2n =的情况，此时交换积分顺序可得

()()()()1110

00

,t

t t t

d f d d f d t f d τττττττττττ==-?

????

从而，()()2,.3K t t n ττ=-=当时，

()()()()()()

()1

122111

110

2

,

2

t

t t t

t

d d f d d f d d f d t f d τ

ττ

τ

τττττττττττττττττ=-=--=?

???????

从而，()()2

3,2

t K t ττ-=

一般地，利用数学归纳法可得n K 的一般表达式

()()()1

,.

1!

n n t K t n ττ--=-

注意到()()1!,n n n n Γ+=Γ=所以可以得到

()

()()1

01().n t

n

D f t t f d n τττ--=-Γ? （2.2.1）

设[]0,,f T ∈

则对任意的[]0,,t T ∈该积分对任意的1n ≥作为Riemann 积分

存在。当然可以将其推广到01n <<的情形，此时该积分作为广义积分存在。将

上式（2.2.1）中的n 用任意实数α取代，可以得到Riemann-Liouville 分数阶积分的定义：

11()()(),()t a a

D f t t f d αατττα--=-Γ? （2.2.2） 注：当a D α-中的0a =时，可将Riemann-Liouville 分数阶积分（α阶）记为0.D D αα--或Riemann-Liouville 分数阶导数记法原理相同，下面不再另作说明。 令(1),m m m m βαβ=--<≤为整数。而Riemann-Liouville 分数阶导数（β阶）定义为：

11()()()().()m

t m

a a a m a d D f t D D f t t f d dt βαατττα--??==-??Γ??

? （2.2.3） 特别地，当a =-∞时，式（2.2.3）称为Liouville 分数阶导数。显然，当t a ≤时，()0f t =，则Riemann-Liouville 分数阶导数与Liouville 分数阶导数等价。

2.3 Caputo 分数阶导数定义

f 的α阶Caputo 导数的定义为

1()1()()(),1.()t C n n a a

D f t t f d n n n ααττταα--=--<<Γ-? （2.3.1） 当n α→时，Caputo 导数退化成通常的n 阶导数。事实上，假设01,n n α≤-<<并假设f 在[]0,T 上具有1n +阶的有界连续导数，则由定义以及分部积分公式可得

()()()()()1()0

()10101()()()()1()()()()0.(1)(1)t C n n t n n n n n n t D f t t f d n f n d t n f t t f d n n α

ααα

αττταταταττταα-----+-=-Γ-=---Γ--=+Γ-+Γ-+??? 对上式取极限可知

()()()()()()10lim ()0,1,2,.t n n n C n D f t f f d f t n ααττ+→=+==?

综上，可将Caputo 分数阶导数定义为：

1()()1()(),1;()(),,t n n C a a n t f d n n n D f t f n αατττααα--?--<

其中，n 为整数。这里为了和R-L 分数阶导数区分，将Caputo 分数阶导数记为C

a D α，当0a =时，C

a D α简记为C D α。

2.4 Weyl 分数阶导数定义

在给出Weyl 分数阶导数的定义之前，我们先了解一下Weyl 积分。f 的α阶Weyl 积分定义为

()()()11(),0,0t t W f t t f d Re t μμ

τττμμ-∞-∞=->>Γ? （2.4.1）

经常也将()t W f t μ-∞简写为W μ-。下面为了讨论的方便，假设f 为速降函数。作变

量替换t τξ=+，可得

()()101(),W

f t f t d μμξξξμ-∞-=+Γ? 从而，

()()()()()()()1010101()11.

D W f t D f t d f t d t Df t d W Df t μμμμμξξξμξξξμξξξ

μ-∞--∞-∞-????=+????Γ??

?=+Γ?=+Γ=???????

类似地，对于一般的正整数n ，可以得到

()().n n D W f t W D f t μμ--????=???? （2.4.2）

利用Weyl 分数阶积分可以定义Weyl 分数阶导数。令,E D =-则式（2.4.2）可以表示为

()()()()()().n n n n E W f t W E f t D W f t W D f t μμμμ----????????-=-?=????????

对于速降函数f ，利用分部积分公式可得

()()()()()()()

()()()()()()()()()11000111()111.t t n n n n W f t t f d f t d f t d D f t d W Ef t W E f t E W f t μμτξμμμμμμτττξξξμμξξξξξμμμ--=+∞∞-∞∞

-+-+-+=

-=+ΓΓ+==-+????ΓΓ+????==

==????????

对上式两端同时作用m E 算子可以得到

()()().n m m n E W f t E W f t μμ-+-+????=???? （2.4.3）

假设对函数f ，其v -阶Weyl 分数阶积分()v W f t -存在且具有n 阶连续导数，则f 的μ阶Weyl 导数可定义为

()()()().n v n n W f t E W f t E W f t μμ---????==????

其中[],0,1v n n μμμ=->=+为大于μ的最小整数。

2.5 三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别

前面我们介绍了分数阶导数的四种常见定义，下面我们将Grünwald -Letnikov 定义、Riemann-Liouville 定义以及Caputo 定义这三者进行比较。

2.5.1 Riemann-Liouville 定义与Grünwald -Letnikov 定义的比较

由（2.1.2）知，Grünwald -Letnikov 分数阶导数的定义可以表示为

()()()()0011(1)1()lim ()(1)(1)1k GL h k t a

D f t f t kh h k k t f d ααααατττα∞→=--Γ+=-Γ+Γ-+=-Γ∑? （2.5.1） 进而，利用分部积分可得

()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()()1111101()(2.5.2)111112*********t GL a

t a t a t a k k m m t m a

k D f t t f d f d t f a t a f d t f a t a f a t a t f d f a t a t f d k m αα

αααααααατττατταττααττταααττταα-++++++==-Γ=-

-Γ+'=

---Γ+Γ+'''=

-+-+-Γ+Γ+Γ+=-=+-Γ++Γ++????∑

?根据（2.2.3）中对β阶Riemann-Liouville 分数阶导数的定义我们可以写出α阶Riemann-Liouville 分数阶导数为

11()()()()()a n t RL n n n a a n a d D f t D D f t t f d dt n ααατττα-+--??==-??Γ-??

?

在()f x 具有1m +阶连续导数,并且m 至少取[]1n α=-的条件下,由（2.5.1）和（2.5.2）可得

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11010

1

1()()()()1111111a n

t RL n n a n k k n m n m t m n a k n n k k n m n m n t m n a k n d D f t t f d dt n f a t a d t f d dt n k n m d f a t a d dt t f d n k n m dt d n m n m n m dt α

αααααττταττταατττααααα---+-++=-+-++=-??=-??Γ-????-=+-??Γ-++Γ-++????

-=+-Γ-++Γ-++=-+-+Γ-+?∑?∑?()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()()()

111111010

10111111n m t m n a n n k k m n k n k n

k m n m n t m a k k k m m t m a

k G

a t t f d d f a t a n k dt n k n k f a t a t f d n k n n m n f a t a t f d k m D f t ααααααατττ

ααατττααττταα-+-+---+--=-+--+-+=-+-++=---++Γ-+-+=

-=+-Γ-+-+Γ-+-+-=+-Γ-++Γ-++=?∑∑?∑

? 由此可知，在()f x 具有1m +阶连续导数,并且m 至少取[]1n α=-的条件下Riemann-Liouville 定义与Grünwald -Letnikov 定义等价，但无上述条件时, Riemann-Liouville 定义是Grünwald -Letnikov 定义的扩充，其应用范围更加广泛。而对于物理等许多应用问题，该条件自然能满足，所以通常我们指这两种分数阶导数等价。

2.5.2 Grünwald -Letnikov 定义和Caputo 定义的比较

由定义（2.3.1）得Caputo 的定义为

1()1()()()()

t C

n n a a D f t t f d n αατττα--=-Γ-? 在()f x 具有1m +阶连续导数,并且m 至少取[]1n α=-的条件下,不妨假设

1m n =-,则1n m =-,再由()()0,0,1,2,

,1,k f a k n ==-从而： 1()()(1)01()()()()(01,1)()()1()()(1)(1)()

t C

n n a a

k k m m t m a k G

a D f t t f d n n a n n m f a t a t f d k m D f t α

ααααττταττταα----+==-Γ-≤-<<=+∈-=+-Γ-+Γ-+=?∑?

由此可知，在()f x 具有1m +阶连续导数,m 至少取[]1n α=-，且()()0,0,1,2,

,1,k f a k n ==-的条件下二者等价，否则它们不等价。 2.5.3 Riemann-Liouville 定义和Caputo 定义的比较

（1）. 由（2.2.2）知，μ阶R-L 分数阶积分可写成如下形式

11()()(),()

t a a D f t t f d μμτττμ--=-Γ? 利用R-L 分数阶积分可将R-L 分数阶导数定义为

()()()()()0

101()(),0.k t RL

v t k k

k f d d D f t dt t d D f t k v dt μ

μττμτμ--=Γ-==->? （2.5.3.1）

利用R-L 分数阶积分可将Caputo 分数阶导数定义为

()()()()0101(),0.k t C

v

t

k k f d D f t t d D f t k v dt μ

μτμτμ--=Γ-??==-> ???

? （2.5.3.2） (2). 设()f x 具有1m +阶连续导数,m 至少取[]1n α=-，那么

[]()

()()()()

()110();,

1C RL m k m k RL k D f t D f T f a t f a D f t t a k ααααα++-=??=-??=--Γ-+∑ （2.5.3.3） 其中，[]1;m T f a +为函数f 的1m +阶Tylor 多项式：

[]()()()110;.!k m k m k t a T f a f a k ++=-=∑

由此可得：（Ⅰ）根据式（2.5.3.1）和（2.5.3.2）知它们的求导顺序不一致，在R-L 分数阶导数定义中是先求分数阶积分然后再求整数阶导数，而Caputo 导数定义则是先求整数阶导数，然后再求分数阶积分；（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，在()f x 具有1m +阶连续导数,m 至少取[]1n α=-，且()()0,0,1,2,,1,k f a k n ==-的条件下时，Riemann-Liouville 分数阶导数和Caputo 分数阶导数等价；（3）Riemann-Liouville 定义的分数阶微积分对常数求导数是有界的，其值为0，而Caputo 定义的分数阶微积分对常数求导数，其值是无界的。

注：引入Riemann-Liouville 导数定义，可以简化分数阶导数的计算; 而引入 Caputo 导数定义，则可以让其拉普拉斯变换式[]1更简洁，有利于分数阶微分方程的讨论。

2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较

分数阶导数和整数阶导数最主要的区别是：分数阶导数是非局部算子，整数阶导数则为局部算子。整数阶导数反映的是函数在某一点的局部性质，而分数阶导数从定义上看实际上是一种积分，它与函数过去的状态有关，反映的是函数的非局部性质。分数阶导数的这种性质使得它非常适合构造具有记忆、遗传等效应的数学模型。我们也可以从卷积的角度来说明分数阶导数与整数阶导数的区别

[4]。

3 分数阶导数的运算法则

首先，我们先来探讨一下比较常用的一种定义--Riemann-Liouville 定义下分数阶导数的运算法则。

3.1分数阶导数在Riemann-Liouville 定义下的运算法则

定理3.1.1 令f 为在J 上的连续函数，,0μν>，则对任意的0t >，

()()().D D f t D f t D D f t νμνμμν------????==????

证明： 直接利用定义，并交换积分顺序可得

()()()

()()()()()()()()110011

01111.

t t t D D f t t f d d t d f d νμτνμνμξττξξξτνμττξτξξνμ------????=--????ΓΓ??=--ΓΓ???? 作变量替换(),t τξηξ=-+可得

()()()()()()()()()()()()

111100

1011,t t D D f t d t f d B t f d D f t νμννμμμννμηηηξξξνμμνξξξνμ-+----+---??=--??ΓΓ=-ΓΓ=???

定理的第二个等式同理可证。

3.1.1[5] 设,,01,λμα∈<<如果1()()f x C ∈，则有

()()1(1)[()]();

0(2)[()]();1(3)[()()]()()

j k

j j D D f x f x D f D D f x f x x j D f x g x D f x D g x ααααααααααλμλμ----===-Γ+-+=+∑

证明：

（1）利用3.1.1的结论可知

()()(),k k D f x D D f x αα----??=??

则

()()()[()][()]k k k k D D f x D D D f x D D f x f x αααα-----===

（2）由Riemann-Liouville 分数阶积分的定义有，

()()()()1001[()]()1()1t t D D f t t D f d D t D f d αααααατττατττα--=

-Γ??=-??Γ+??

?? （3.1.1） 其中利用定理3.1.1和分部积分法，可将式（3.1.1）中[]内的积分计算如下：

()

()()()()()()()()()()()()()

0()0(1)0()

()101()1011

()11()11()

101()1201()12t t k k t k k k j k k t k k j j j t k k j j t D f d t D D f d t D dD f D D f t D f d t k j D f t D f d t k j ααααααααααααααττταττταττατττααττταα----+------+-=----+-=-Γ+??=

-??Γ+=

-Γ+=????=--Γ-+Γ+-=--Γ-+Γ+-???∑?

?()()()()()1()111110()20()2k j k

k k j j j k j j D f D D f t t

j D f D f t t

j αααααααα---+--+-=--+-=??=-??Γ+-=-Γ+-∑∑∑（3.1.2）

由于()D f t α是可积的，()j D f t α-对任意的1,2,

,j k =在0t =端点处都是有界的，从而上式中各项都是存在的。将（3.1.2）计算的结果代入（3.1.1）可得

()()()()

()11110[()]()20()1.

1j k j j j k j j D f D D f t D D f t t j D f f t t k k j ααααααααα---+-=--=??=-??Γ+-??=--≤<Γ+-∑∑ （3）根据Riemann-Liouville 分数阶导数的定义，我们有

()()[]()()()()1010

101[()()]()()1()1+()()()

n

x n n n x n n n x n n d D f x g x x f g d dx n d x f d dx n d x g d dt n D f x D g x ααααααλμτλτμτταλττταμττταλμ------????+=-+??Γ-????

=-Γ--Γ-=+???

3.1.2 若α+∈

，且满足01α<<，cos x 和sin x 可表示为 cos ,sin !!k k

k k k k x x x a x b k k +∞+∞=-∞=-∞

==∑∑ 其中：2122120,(1),0()k k k k k a a b b k ++===-=∈，则 sin sin(),cos cos().22D x x D x x ααπα

πα

=+=+[6]

3.1.3 设α+∈，且满足01α<<，如果1()()f x C ∈，则有

1(1)[()]()|;

(2)()();

1(3)[()]()|.

u x u x D f x D f u D f x D f x dx D f x D f u αααλααααλαλλλλ=----====?

证明：

01001()(1)[()](1)()

()(1)()()(1)()()()|x u s x x u x

d f s D f x ds dx x s d f u du dx x u d f u du d x x u D f u αααλλα

αλα

ααλλλαλαλλαλλλ-===

Γ--=?Γ--=?Γ--=??? 特别地，有x x D e e αλαλλ=。

1(2)[()](()),D f x D f x αα-+'=于是，1()()D f x D f x dx αα-+=?，故而， 1()()D f x D f x dx αα--=?；

11(3)[()][()]()|11()()|.u x

u x D f x D f x dx D f u D f u du I f u ααααλααλααλλλλλ---=====

=???

3.1.4 设α+∈，且满足01α<<，则有

(1)sin sin();cos cos();221111(2)sin cos();cos sin().22D x x D x x D x x C D x x C ααααααααππλλλαλλλαααλλπλλπλλ--=+

=+--=-

+

+=-++证明： （1） 由3.1.2和3.1.3易得结论。

111111(2)sin sin sin()cos()22

11sin sin cos()2

11cos cos cos()sin()22

11cos cos sin()2

D x D xdx x dx x C D x D xdx x C D x D xdx x dx x C D x D xdx x C ααααααααααααππαλλλπλααππαλλλπλ----------==+=-++-==-++--==+=++-==++?????? 3.2分数阶导数在其他定义下运算法则的探讨

根据上一小节Riemann-Liouville 定义下的定理 3.1.1，我们思考其在Grünwald -Letnikov 、Caputo 、Weyl 定义下是否仍然成立呢？初步研究表明，定理3.1.1在其他定义下是不成立的，而下面的运算法则又是基于此定理证明而来，所以我们得出了其他三种分数阶导数定义下并不满足这些运算法则。具体的证明方法此文还并未给出，需要日后再做进一步的努力。

4 分数阶导数和积分的基本性质

4.1 Riemann-Liouville 分数阶导数定义下分数阶微积分的性质

性质4.1.1 如果()0R α≥，则有

()()(

)()()()()110,a D t a x x a R ββααβαβα-+--+Γ-=->Γ+ （4.1.1） ()()(

)

()()()()110,a D t a x x a R ββααβαβα---+Γ-=-≥Γ- （4.1.2） 特别地，取1β=，且()0R α≥，则表明一个常数的Riemann-Liouville 分数阶导数通常不等于0，

()()()()()1,01.1a x a D x R αααα-+-=<<Γ- （4.1.3）

性质 4.1.2 令()0,R m α≥∈且d D dx

=，如果分数阶导数()()m a D D y x α+和 ()()m

a D y x α++存在，那么有

()()()()m m a a D D y x D y x αα+++=

（4.1.4）

性质 4.1.3 令0α>且0β>满足1,1,(,)n n m m n m αβ-<≤-<≤∈，

且n αβ+<，并且令()[]()1,,,.m m f L a b f AC a b α-∈∈那么我们有下面的指数规律：

()

()()()()()()()11j m j a a a a j x a D D f x D f x D f a j α

αβαββα--+-++++=-=-+Γ--∑ （4.1.5）

4.2 分数阶导数 、积分的奇偶性及周期性

定理4.2.1 设α+∈，且满足01α<<，如果1()()f x C ∈是奇函数（或偶函数），

那么(),()D f x D f x αα-不再具有奇偶性。

证明 由上一章的3.1.3，容易得到

11()(1)()|,()()|(1)u x u x D f x D f u D f x D f u αααααα--=-=---=--=-， 如果()f x 是偶函数，则

(1)1()()(1)()|()|,1()()()|()|,(1)i u x u x i u x u x D f x D f x D f u e D f u D f x D f x D f u e D f u ααααπαααααπααα

=-=-------=-=--=-=-==-==- 因此，(),()D f x D f x αα-是非奇非偶函数； 如果()f x 是奇函数，则

1(1)()[()](1)[()]|()|,()[()](1)[()]|()|,i u x u x i u x u x D f x D f x D f u e D f u D f x D f x D f u e D f u ααααπααααααπαα++=-=-----=-=-=--=-==--=-= 那么，()D f x α是非奇非偶函数。 注：在整数阶导数中，()f x 与()f x '的奇偶性相反，()f x 与0()x f t dt ?的奇偶性相反。而在分数阶导数中，()f x 与()D f x α，()f x 与()D f x α-却不具有类似的性质，其中01α<<。

定理4.2.2 设α+∈，且满足01α<<，如果1()()f x C ∈是以2l 为周期的周

期函数，则()D f x α也是以2l 为周期的周期函数。

证明 因为()f x 是以2l 为周期的周期函数，则()f x 可表示为

()(cos sin ),k k k x k x f x C i l l

ππ+∞=-∞=

+∑ 其中：1(),2ik x l l k l C f x e dx l π-=?则

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