高一物理竞赛讲义第7讲 教师版

第7讲 力的平衡

（一）

掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。

温馨寄语

知识点睛

首先，因为运动分成平动和转动两种，所以平衡也分平动的平衡和转动的平衡两种。平动的平衡就是我们说的受力平衡。转动的平衡就是力矩平衡。

回忆一下初中我们如何处理平衡问题？

二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。也可以用力的正交分解方法处理。

其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。

共点力平衡的正交分解方法：（请思考为什么三力平衡必共点） 运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。

①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画出受力图。为了防止

漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。

②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。 ③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。

2Fx?0④由平衡关系写出此即最后的静力学方程。

2Fy?0⑤根据此方程可解出所需要的问题。

正交分解处理受力平衡的技巧：

取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

1

例题精讲

【例1】 均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若细线竖直，试分析棒

的受力情况。

【解析】

注意这里棒不受摩擦力

【例2】 如图三根长度均为l的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A、B两点，AB两点相距2l，

会在段链C上悬挂一个质量为m的重物，要使CD杆保持水平，则在D点上应施加的最小力为多少？

【解析1】受力分析：

解：①对C点进行受力分析.

②对D点进行受力分析.

③对C建立坐标系对力进行正交分析，求T2. T1cos30??mg?T2?T1?sin30??T2

3mg 3④从D点受力分析可以知道对D点用力最小为T2sin60??F Fmin?1mg 2【解析2】用力矩解（可以在板块二中讲解）

把ABCD包括重物考虑成一个系统，一共受四个力A点、B点的墙对杆力，C受一个重力，D点一个外力，AC杆、BD杆力都沿杆，则必过一个交点E（如图）则对E点只要C点的重力，和所求的一个外力，要求力矩平衡并且F最小，则F的力臂应最长为DE，则

F?DE?mg?CE?sin30?

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

2

mg 2【例3】 两个质量为M，半径为R的相同圆球A和B，用两根长为l（l?2R）的绳悬挂于O点，在两

R

球上另有一质量为m（m?nM），半径为r（r?）的圆球C，如图，已知三球的表面光滑，

2

试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角?与n的关系.

【解析】该图对称，可只考虑半边，对A球、C球分析。 ①受力分析 F?A球： C球：

②建立直角坐标系，并受力分解，写出力平衡方程.

cos??Ncos??Mg A球：T???ns?in T?sin

C球：2Ncos?=mg=nMg

sina3R4?4n?3n21??2?sin?? 且sin?≥即两球相交 a和?有关联：

sin?3R16(1?n)324?4n?3n2110?810∴≥?n≤?1.3

16(1?n)927①若n?1.3，系统不能平衡.

②n?1.3系统平衡，且此时A、B无作用力

4?4n?3n2③n?1.3，A：A、B球分开 ??arcsin

16(1?n)1 B：A、B接触，则??arcsin

3

【例4】 一重为W的匀质球静止于倾角为?1和?2的两固定斜面之间，如图，设所有接触面都光滑，求斜

面作用于球上的力。

【解析】①受力分析.

②建立坐标系，受力分解，写出力平衡方程. N1?cos?1?W?N2?cos?2 N1sin?1?N2sin?2.

Wsin?2WN1??

sin(?2??1)cos?1?sin?1cos?2Wsin?1N2?

sin(?2??1)

【例5】 质量均为m的两环A、B用长为a的细线相连在水平杆上，在细线的中点拴有一质量为M的物

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

3

块C，如图，A、B环与杆间的静摩擦系数为?，求平衡情况下的两环的最大距离x.

【解析】①受力分析：

环： M：②建立坐标系，受力分解：

N?mg?Tcos??2m环：) ??tg???(1?f?N??Tsin??MM：2T?cos??M

2m)M∴x?2a?sin?? 2m1??2(1?)2M

2a?(1?

相互作用——力

我们的高中教材中提到了四种相互作用。其中万有引力相互作用是很好理解的，质量本身的存在就产生了引力。类似的只要有电荷，或者有电流，就有电磁相互作用。存在相互作用，存在和距离有关的力，就必然有相应的势能。同样的有了新的势能，就必然有新的对应的相互作用，或者力。历史上，强弱两种相互作用就是这样发现的。随着实验技术的进步，人们在研究基本粒子，放射性等涉及原子核，以及原子核的结构的实验的时候，发现了很多用引力和电磁力解释不了的现象。人们发现了在?衰变中，仅仅用电磁力和引力，能量是不守恒的。多余出来的能量，通过研究，发现它是一种新的势能，所以就由此定义了弱相互作用。

后来，费曼等等物理学家通过大量实验和复杂的数学，把电磁相互作用和弱相互作 用统一了起来，叫做电弱相互作用。他们的理论可以简单理解为：电磁相互作用是

电弱相互作用在宏观的表现；弱相互作用是微观的表现。而关于强相互作用， 因为作用距离很小，也就是它产生势能的范围很小，能量很高，很不稳定，研 究起来困难重重。所以现在人们虽然定义了强相互作用，但是对于强相互作用 的理解，还有待于进一步的拓展。

知识点睛

板块二 力矩及刚体平衡

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

4

1．力矩 讲力矩 首先要规定矩心，就是对什么点的力矩，如图，取点O为矩心（也就是转动的“中心”，其实是一个轴和平面的焦点），r是从矩心到力的作用点的径矢，则力F对0的力矩O是r跟F的夹角。通常还按右手螺旋法则规定力矩的方向，即垂直于r和F所在平面，且当右手螺旋从r的方向转到F的方向，其前进方向即M的方向。（关于力矩的大小和方向的以上规定常常也表示为矢量式M?r×F）.

这里一定要注意，力矩和运动一样，一定要先选定参考点才可以去讨论力矩，同时力矩作为一个矢量，其加减也是对于同一个参考点下的力矩。 附录：矢量与矢量的乘积分均点乘和叉乘

??点乘：a?b?|a||b|cos?乘积结果为一个标量.

???叉乘：a×b?|a||b|sin?叉乘结果的还是一个矢量，大小为前式的表达，该矢量的方向：垂直于a和?b确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向。

2．刚体平衡条件

①刚体：是指整体及其各部分的形状和大小均保持不变的物体，显然这也是对客观物体的一个抽象，但是质点的抽象更具体一些，因为给出了形状。同时刚体也正因为有了形状，其运动方式要比质点更复杂，除了平动以外，还有刚体可以绕着任意一点做转动。

②刚体的平衡：单纯力给出物体的平动，而力矩可以使物体绕着某个点转动，因此，要让刚体平衡，必须满足两个条件. 2F?0?合力为0.

2M?0?相对于任意一点的合力矩为0.

注意：作用在同一刚体（或系统）但不同作用点的力可以平移到同一点进行合力，不同作用点的效果由力矩来体现. ③力偶与偶矩

对大小相等，方向相反但不共线的力，称为力偶.

对力偶的合力为0，但它们对任意一定点的力矩不为0.

????? r1?F×1?r2???????F?×rF?×12r21?1???F?×1r2 F??

二力平衡 对于一个受两个力的物体，这两个力必须方向相反，并在同一直线上才能使该物体平衡了。 三力平衡 如果一个刚体只受三个力作用，而且这三个力不平行，那么，由于合力为0，这三个力必共面且相交于一点，如果三力不共点，则第三个力和前二个力的合力会构成一个力偶。如果三力不共面，则三力的合力必不为0，所以一个物体受三个力三力必共面共点.

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

5

例题精讲

【例6】 如图所示一个均匀的质量为m1的球挂在天花板上，从同一点挂一个重物质量为m2。问所成角度。

【解析】：相对于O点的总力矩为0.

m1gl?sin??m2g(r?lsin?)

∴??sin?1[m2R]

l(m1?m2)该题如果用变力分析去解题，对悬挂m2的绳对大球的支持力的方向比较困难，而用力矩去解题，显得尤为简单

【例7】 如图，一个半径为R非均匀质量光滑的圆球，其重心不在球心O处，先将它置于水平地面上，

平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30?的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30?，试求球体的重心C到球心O的距离.

解：放在斜面上，球受重力支持力和摩擦力，三力共点必过B点的重心在过B于平面垂直的直线上。即BC，又放在水平面上A点落地，则此时球受重力和支持力，则球重心必在OA连线上，则重心位置在C点.

?CO?OB3?3r 3

【例8】 有一长l重为W0的均匀杆AB，A顶端竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙间的摩擦系数为?，B端

用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为?（如图），求杆能保持平衡时?与?应满足的条件。杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若A与P点间挂一重物，则W足够大可以破坏平衡了，而在PB间任一点悬挂任意重物均不能破坏平衡。求PA距离x.

【解析】：受力分析

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

6

力平衡 T?cos??N T?sin??5?W0?W

l力矩平衡：以A为支点，T??lsin??W0??W?x

2∴f?W?W0?Ntg?≤N?

Ntg??W0x?w 2lWWxx∴W?W0?(0?w)≤(0+w)?ctg?

2l2lWWxx∴W?(0?w)≤(0?w)?ctg?

2l2l①当不挂生物W?0 则?≥tg? W0x(uctg??1)?w(?ctg??1)?w 2lw取穷大，则上式仍成立. xl∴(?ctg??1)?1≥0?x≥ l1??ctg?②0≤【例9】 有一个半径为a，高为4a，重为w的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之

后将半径为r，重为G的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图，当a?2r?2a时，试求使圆筒不翻倒的条件.

解：先看一个直角三角形

对O进行受力分析

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

7

2ar?a2∴ ?1rNsin??GN?G??G?sin?2ar?a2再对受力分析

Ncos??TT?Gctg??G?a?r

考虑以A为支点，考虑翻倒则地面给筒的支持力N的作用点移到A点.则不翻倒条件。

T?22ar?a2≤w?a

∴G(2a?2r)≤wa ∴

G2a?2r ≤wa

【例10】 如图所示，半径分别为r1和r2的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，

通过细绳对大圆柱施以水平拉力P。设所有接触处的静摩擦因数均为μ。为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问μ应满足何条件？

【例8】 两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，

两球的质量m1和m2，已知两球间存在大小相等，方向相反的斥力而使两线张开一定角度．分别为45?和30?，如图1示，则m1/m2为多少？

【解析】 方法一：力的三角形法则解，先对两球进行受力分析

m1：

m2：

?

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

8

?

msin30?1?∴1?

m2sin45?2方法二：用力矩平衡 m1gl?sin45??m2glsin30? m11? m22

【例11】 ？

解：以三球整体考虑，B点受一重力，C点受一弹力，即可求杆对其支持力（用三力平衡），杆要保持平衡、可求P.

N?sin??G

以A点为支点 P?lco?s?MP N的臂 ED?CE?CD

=CB?sin2??=r(2sin2??1?rctg? sin?1?ctg?) sin?∴Plcos??N?ED

3Grcos?∴T? (2tan??2)lsin?cos?答案有错

【例12】 四个半径均为R的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上，

现将一个相同的第五个球放在前边四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？

力学三角形

临界状态A、B恰相碰但无作用力，则??45? ∴NDA2?(G?2226NCA)2?(NCA)2?NDA?G 224?22NCA?G 设a0为碗半径

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

9

∴

DANDAa1?R???ACNAC2R26G4?a0?(213?1)R 2G4

华山论剑

1．有两个质量分别为m1和m2的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图，已知细线所对的圆心角为?，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角?为多少？

解：AC?m1m1?DC?2Rsin

m1?m2m1?m22AB?AC?Rsin?2?m1?m2?Rsin

m1?m22??arctan(

m1?m2?CO?)

m1?m222．如图两根轻绳质量为m的不均匀棒悬挂起来，使棒呈水平静止状态，两根绳子同竖直方向的夹角为?和

?，棒长为l，求棒的重心离棒右端的距离？

解：三力共点：

lsin(???)?cos??sin??psin?cos?.

sin(???)

为了保证竞赛班学习的质量，请同学们花1分钟填写下面内容：

学习效果反馈：

代课教师： 通过今天学习，你觉得： 1. 本讲讲义内容设置： A． 太难太多，吃不透

B． 难度稍大，个别问题需要下去继续思考 C． 稍易，较轻松

D． 太容易，来点给力的

2. 本节课老师讲解你明白了： A .40%以下

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

10

B .40%到80%

C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

11

B .40%到80%

C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）

高一·物理·竞赛班·第7讲·教师版 讲述高端的真正的物理学

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3nlt.html