离散数学习题解第二部分（代数系统）

离散数学习题解 第二部分 代数系统

习题四 第四章代数系统

1．设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算

a）+={（x，y），z|x，y，zI且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x－y} c）3={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x3y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x/y} e）R={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x} f）

={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x }

yy

g）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）} i）GCD = {（（x，y），z）|x，y，zI且z= GCD（x，y）} j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I且z= LCM（x，y）}

[解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2→I是I上的一个二

元运算。

b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I→I是I上的一个

二元运算。

c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I→I是I上的一个

二元运算。

d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=x=2=

则z=?x?2?I；

y

–2

22

122=

14?I；若x=y=0，则z=x=0，

y

g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2→I是I上

的一个二元运算。

1

h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2→I是I上

的一个二元运算。

i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2→I是

I上的一个二元运算。

j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2→I是

I上的一个二元运算。

注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。

2．设X={x | x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，

使x1+x2=2+22=6?X。

普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=2n1?X，x2=2n2?X，这里n1，n2?N，都有x12x2=2n122n2=2n1??n2?X（因为n1+n2∈N）。 3．设是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素el∈X，使?x?X，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使?x?X，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。

a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统如下：

令X={a，b，c，d}，*：X3→X→X，其运算表如下：

* a b c d

则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。 b) 构造代数系统如下：

a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d 2

令X={1，2，3，4} *： X3→X→X，其运算表如下：

* 1 2 3 4

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。

c) [证] 因为代数系统关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈X 则

el = el * er = er∈

4．设是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素Ol∈X，使?x∈X，有Ol*x=Ol

是关于*的左零元。若有元素Or∈X，使?x∈X，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。

a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。 [解] a) 构造代数系统如下：

令X={a，b，c}，*：X3X→X，其运算表如下：

* a b c

则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统如下：

令X={1，2，3}，*：X3→X→X，其运算表如下：

*

1 1 2 3 4 2 2 1 4 4 3 4 3 1 2 4 3 4 2 3 a a b b b a b c c a b a 1 3

2 3 1 2 3

则3是右零元，但没有左零元。

2 3 1 3 1 2 3 3 3 c) [证] 因为代数系统关于*运算存在着左、右零元，Ol，Or∈X，则

Ol=Ol*Or=Or

5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [答] 在一个代数系统中，

1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈X，x行每个元素与

y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。

2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

3） 运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行

和列相一致。

4） 运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自

己。

5） 若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y，使得

x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。

6．设是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x，若存在y∈X，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z∈X，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

* a b c d e

4

a a b c d e b b d a a d c c a b c a d d c a d c e e d b c e [解] a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。

7．设是代数系统，*是X上的二元运算。?x，y∈X，有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [解] a) *运算满足结合律

因为对任何x，y，z∈X，都有 x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z b) *运算不满足交换律

因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y * x。

c) 没有幺元

因为若有幺元e∈X存在，则对任何x∈X，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x ≠ e，矛盾。

d) 没有零元，仿c) 保证。

e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。

并且若存在一个元素a∈X，使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）

8．设是代数系统，*是N上的二元运算，?x，y∈N，x * y=LCM（x，y）。

问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。

[解] a) *运算满足结合律

因为，对于任何x，y，z∈N， （x*y）* z =LCM (（x * y），z) = LCM (LCM（x，y），z) = LCM (（x，y，z） = LCM (（x，（y * z） = LCM (（x * y），z) = x * (y * z)

注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下： 设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z）， C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此

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