2018届黄浦区高考数学二模试卷（附答案）

黄浦区2018年高考模拟考

数学试卷

(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2018.4

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合A??1,2,3?，B??1,m?，若3?m?A，则非零实数m的数值是 ． 2．不等式|1?x|?1的解集是 ．

3．若函数f(x)?8?ax?2x2是偶函数，则该函数的定义域是 ．

4．已知?ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2?b2?c2?2bcsinA，则内角A的大小是 ．

?????5．已知向量a在向量b方向上的投影为?2，且b?3，则a?b= ．(结果用数值表示) 6．方程log3(3?2x?5)?log3(4x?1)?0的解x? ．

2sinx?cos2x7．已知函数f(x)?，则函数f(x)的单调递增区间是 ．

1cosx8．已知?是实系数一元二次方程x?(2m?1)x?m?1?0的一个虚数根，且|?|?2，则实数m的取值范围是 ．

9．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人．

10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 11．已知数列?an?是共有k个项的有限数列，且满足an?1?an?1?22n(n?2,?,k?1)，若ana1?24,a2?51,ak?0，则k? ．

12．已知函数f(x)?ax?bx?c(0?2a?b)对任意x?R恒有f(x)?0成立，则代数式最小值是 ．

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2f(1)的

f(0)?f(?1)二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13．在空间中，“直线m?平面?”是“直线m与平面?内无穷多条直线都垂直 ”的

答( )．

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件

1??x?14． 二项式??的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ). 3x?? (A) 4项 (B) 7项 (C) 5项 (D) 6项

40?x?y?3,?15．实数x、y满足线性约束条件?x?0,y?0, 则目标函数w?2x?y?3的最大值是

?x?y?1?0,?答( )．

(A) 0 (B) 1 (C) ?2 (D) 3

16．在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )．

???????????????(A)设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若OA?m?OB?(1?m)?OC(m?R)，

则点A、B、C必共线

???(B)若向量a和b是平面?上的两个不平行的向量，则平面?上的任一向量c都可以表示为

???c??a??b(?、??R)，且表示方法是唯一的

?????????????????????????????????????(C)已知平面向量OA、满足，且OA?OB?OC?0， OB、OC|OA|?|OB|=|OC|?r(r?0)则?ABC是等边三角形

?????、b、c、d，使得其 (D)在平面?上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写

出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 在

四

棱

锥

P?ABCD中，

P?A平面第 2 页

AB，

AB?AD,BC?AD,BC?1,

CD?2,?CDA?450．

(1)画出四棱锥P?ABCD的主视图；

(2)若PA?BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA?10米,OB?x米(0?x?10)，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为?弧度． (1)求?关于x的函数解析式；

(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知动点M(x,y)到点F(2,0)的距离为d1，动点M(x,y)到直线x?3的距离为d2，且 (1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程； (2)过点F作直线l:d16?. d23y?k(x?2)(k?0)交曲线C于P、Q两点，若?OPQ的面积S?OPQ?3(O是

坐标系原点)，求直线l的方程.

20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

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??2x, ?1?x?0, 已知函数f(x)=?2

?x?1, 0?x?1. (1) 求函数f(x)的反函数f?1(x)；

(2)试问:函数f(x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程

f(x)?21?x2?|f(x)?21?x2|?2ax?4?0的三个实数根x1、x2、x3满足:

x1?x2?x3，且x3?x2?2(x2?x1)，求实数a的值．

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 定义：若数列?cn?和?dn?满足cn?0,dn?0,且cn?1?cn?dn22cn?dn，n?N*，则称数列?dn?是数列

?cn?的“伴随数列”.

已知数列?bn?是数列?an?的伴随数列，试解答下列问题： (1)若bn?an(n?N*)，b1?2，求数列?an?的通项公式an；

2?bn??b1?bn?*(n?N)，为常数，求证：数列???? (2)若bn?1?1??是等差数列； ana1a???n??? (3)若bn?1?2

bn(n?N*)，数列?an?是等比数列，求a1、b1的数值． an黄浦区2018年高考模拟考

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数学试卷参考答案和评分标准

2018.4

说明：

1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.

1．2 2．(??,0)?(2,??) 3．[?2,2] 4．

?4 5．?6 6．2

53?37．[k???,k??],k?Z 8．(?,3] 9．140 10． 11．50 12．3.

16884

二、选择题．

13．(A) 14．(B) 15．(D) 16．(D)

三、解答题． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 解 (1)主视图如下：

(2) 根据题意，可算得AB?1,AD?2. 又PA?BC?1，

按如图所示建立空间直角坐标系， 可得，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

????????????于是，有PB?(1,0,?1),CD?(?1,1,0),PD?(0,2,?1) .

?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)，

???????n?CD?0,??x?y?0,则?????即? ???n?PD?0,?2y?z?0.?令z?2，可得y?1,x?1，故平面PCD的一个法向量为n?(1,1,2).

?????|n?PB|3??设直线PB与平面PCD所成角的大小为?，则sin??????. |n||PB|6第 5 页

所以直线PB与平面PCD所成角的大小为arcsin

3. 618．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)根据题意，可算得弧BC?x??(m)，弧AD?10?(m). 又BA?CD?弧BC?弧CD?30，

于是，10?x?10?x?x???10??30，

2x?10(0?x?10).

x?101122(2) 依据题意，可知y?S扇OAD?S扇OBC???10??x

22 所以，?? 化简，得y??x2?5x?50

52225. 452252于是，当x?(满足条件0?x?10)时，ymax?(m).

245225答 所以当x?米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.

242 ??(x?)?19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)结合题意，可得d1?(x?2)2?y2,d2?|x?3|.

(x?2)2?y26d16 又，于是，，化简得 ??d23|x?3|3x2y2??1. 62x2y2??1. 因此，所求动点M(x,y)的轨迹C的方程是62?x2y2?1,?? (2) 联立方程组?6 2?y?k(x?2),? 得(1?3k)x?12kx?12k?6?0.

2222?12k2?x1?x2?1?3k2,?212k?6 ?设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则?x1x2?,21?3k????0.??第 6 页

于是，弦|PQ|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2?12k2?12k2?6， ?4??2?21?3k?1?3k?2 点O到直线l的距离d?|2k|1?k2.

2 由S?OPQ41|2k|?3，得21?k221?k2?12k?12k2?6?3，化简得 ?4??2?21?3k?1?3k?2 k?2k?1?0，解得k??1，且满足??0，即k??1都符合题意. 因此，所求直线的方程为x?y?2?0或x?y?2?0.

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 解 (1)

??2x, ?1?x?0,?f(x)=?2?x?1, 0?x?1.

?当?1?x?0时，f(x)??2x,且0?f(x)?2.

由y??2x，得x??11y，互换x与y，可得f?1(x)??x(0?x?2). 22当0?x?1时，f(x)?x2?1,且-1?f(x)?0.

由y?x2?1，得x?1+y，互换x与y，可得f?1(x)?1+x(?1?x?0).

?1??x, 0

?1?x, ?1?x?0.? (2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.

设点A(x0,y0)(0?x0?1)、B(?x0,?y0)是函数图像上关于原点对称的点，

2则f(x0)?f(?x0)?0，即x0?1?2x0?0，

解得x0?2?1(x0??2?1,舍去)，且满足0?x?1 . 因此，函数图像上存在点A(2?1,2?22)和B(1?2,22?2)关于原点对称. (3) 考察函数y?f(x)与函数y?21?x2的图像，可得 当?1?x??2时，有f(x)?21?x2，原方程可化为?4x?2ax?4?0，解得 2第 7 页

x??222，且由?1??，得0?a?22?2. ??a+2a+22当?2?x?1时，有f(x)?21?x2，原方程可化为41?x2?2ax?4?0，化简得 24a24a(当0?a?22?2时，???2?0). 2a+42a?4(a2?4)x2?4ax?0，解得x=0，或x??于是，x1?? 由

24a,x2??2,x3?0. a?2a?4，得

x3?x2?2(x2?x1)4a4a2?3?17=2(?+). ，解得a?22a+4a?4a?22 因为a??3?17?3?17不符合题意，舍去； ??1，故a?22?3+17?3+17. ?22?2，满足条件.因此，所求实数a?220?a?

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 解 (1)根据题意，有an?0,bn?0,且an?1?由bnan?bn22an?bn，n?N*.

?an(n?N*)，b1?2，得

an?an22an?an*?2,a1?b1?2，n?N.

an?1? 所以an?2，n?N． 证明 (2) ?bn?1*?1?bnanbna?b(n?N*)，an?0,bn?0,且an?1?nn，n?N*，

22anan?bnbn?1?b?1??n??an?21? ∴an?1??b?1??n??an?222?，bn?1an?1?b?*?1??n?，n?N．

?an?2?b??b?* ∴?n?1???n??1，n?N．

?an?1??an?第 8 页

22??b1???bn??? ∴数列????是首项为??、公差为1的等差数列．

a?a1????n???解(3) ?bn?1?2an?bnbn**a?0,b?0,且a?，n?N， ， (n?N)nnn?122anan?bn22an?bn 由a?b?an?bn?2,n?N*，得1?an?1?2.

22n2n ??an?是等比数列，且an?0，设公比为r(r?0)，则an?a1rn?1(n?N*). ∴当r?1，即liman???，与1?an?1?2矛盾．因此，r?1不成立.

n?? 当0?r?1，即liman?0，与1?an?1?2矛盾．因此，0?r?1不成立.

n?? ? r?1，即数列?an?是常数列，于是，an?a1(1?a1?2).

?bn?1?2bn(n?N*). a1?bn?0，?b1?0，数列?bn?也是等比数列，设公比为q(q?0)，有bn?1?b1qn.

?an?2?an?1?bn?1a2n?1?b2n?1，可化为

b12(a12?1)q2n?2a1b1qn?a12(a12?1)?0(1?a1?2)，n?N*.

? b12(a12?1)?0,2a1b1?0,a12(a12?1)?0,??4a14b12(2?a12)?0，

?关于x的一元二次方程b12(a12?1)x2?2a1b1x?a12(a12?1)?0有且仅有两个非负实数根.

2一方面，q(n?N)是方程b12(a1?1)x2?2a1b1x?a12(a12?1)?0的根；另一方面，

n*若q?1(q?0)，则无穷多个互不相等的q,q2,q3,q4,?,qn,? 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

?q?1，即数列?bn?也是常数列，于是，bn?b1，n?N.

* ? 由bn?1?2bn(n?N*)，得a1?2. an 把a1?2，代入an?1?an?bna?b2n2n，解得b1?2.

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??a1?2, ． ????b1?2.

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