2019高三数学文一轮：第10章 第2节 古典概型

第二节 古典概型

[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

(对应学生用书第151页)

[基础知识填充]

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果． (2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝

事件A包含的可能结果数m

＝.

试验的所有可能结果数n

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )

(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )

(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

A．0 C．2

B．1 D．3

B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]

3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

【导学号：00090351】

A．

8

15

1B．

81D．30 1C．15

C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，

∴事件总数有15种．

1

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝15.]

4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

3A．10 1C．10

1B．5 1D．20 C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，1

其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为10.故选C．]

5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

1

红)，(红，白)，(红，蓝)，

3 [甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，

(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．

而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 31

所以所求概率P＝9＝3.]

(对应学生用书第151页)

简单古典概型的概率 (1)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

1

A．10 3 C．10

1B．5 2D．5 (2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) 1 A．3 2 C．3

1B．2 5D．6 (1)D (2)C [(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， 102 ∴所求概率P＝25＝5. 故选D．

(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红

紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所42

求概率为P＝6＝3，故选C．]

[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P. 2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．

[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) ．．．

12 A．5 B．5 3 C．5

4D．5 (2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

5

(1)C (2) [(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5

6个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种． 43

所以所求事件的概率P＝1－10＝5. (2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，61

共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝36＝6，所以P(A)＝115－6＝6.]

复杂古典概型的概率 (2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参2-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止加活动的儿童需转动如图10-转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

【导学号：00090352】

图10-2-1

[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16.

3分

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．

55 所以P(A)＝16，即小亮获得玩具的概率为16. (2)记“xy≥8”为事件B，“3

则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，63

所以P(B)＝16＝8. 事件C包含的基本事件数共5个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).

10分

5分

8分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3ncx.html