求数列的通项公式列（教案+例题+习题）

三.数列的通项的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，

2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，

即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d 得：a1?33333，d? ∴an??(n?1)??n 55555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列3

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1．求数列?an?的通项公式。 点评：利用公式an????Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若

?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；

②数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?

5an?1，求an； 3f(1),(n?1)??f(n)3.作商法：已知a1?。 a2???an?f(n)求an，用作商法：an??,(n?2)??f(n?1)例：数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，求通项公式an

14.作差法例1：已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1?且满足

22Sn?1?4Sn?1(n?N?),，求通项公式an

例: .已知数列{an}是等比数列，a2?4，{an}的前:2项和等于6 （1）求数列{an}的通项公式

（2）若a1b1?a2b2?..........?anbn?2?(n?1)2n?1，求数列{bn}的前n项和Sn

4.累加法：

若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1(n?2)。

11例3. 已知数列?an?满足a1?，an?1?an?2，求an。

2n?n解：由条件知：an?1?an?1111??? 2n?nn(n?1)nn?1分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即

(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22334n?1n1所以an?a1?1?

n11131?a1?，?an??1???

22n2n

如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?

1n?1?n(n?2)，则an=________ ；

an?1aaa?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。 anan?1an?2a12nan，求an。 例4. 已知数列?an?满足a1?，an?1?3n?15.累乘法：已知

解：由条件知

an?1n，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得?ann?1(n?1)个等式累乘之，即

aaa2a3a4123n?11??????????n????????????n?

na1a2a3an?1234a1n又?a1?

如已知数列{an}中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?nan，求an

222，?an? 33n6.已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

①an?kan?1?b解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中

t?

例5. 已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即

q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?pan?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且

bn?1an?1?3??2 bnan?3所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以

an?2n?1?3.

②an?kan?1?bn解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公

式两边同除以qn?1，得：

an?1pan1an引入辅助数列（其中），?????b?bnnqn?1qqnqqn得：bn?1?p1bn?再应用an?kan?1?b的方法解决.。 qq例6. 已知数列?an?中，a1?511n?1,an?1?an?()，求an。 63211n?12nn?1n?1解：在an?1?an?()两边乘以2得：2?an?1?(2?an)?1

32322n令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,应用例7解法得：bn?3?2()

33b1n1n?3()?2() 所以an?nn232

练一练①已知{an}数列，a1?1,an?3an?1?2，求通项an；

②已知a1?1,an?3an?1?2n，求an；

（2）形如an?an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?b例7：已知数列{an} 且 an?an?1, a1?1,求通项公式

3?an?1?1解：取倒数：

13?an?1?11 ??3?anan?1an?1?1?111 ???是等差数列，??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2aaan1?n?

练一练：已知数列满足a1=1，an?1?an?

anan?1，求an；

数列通项公式课后练习

1 . 已知等差数列{an}的前n项和Sn，a1?1,S3?6，正项数列{bn}满足

b1?b2?b3?.......?bn?2Sn。(1)求数列{an}，{bn}的通项公式

2已知数列?an?中，an＞0,且a1＝３，an?1＝an＋１ （n∈N）

?3已知数列?an?中，a1＝３，an?1＝

1?an＋１（n∈N）求数列?an?的通项公式 24已知数列?an?中，a1＝１，an?1＝3an＋２，求数列?an?的通项公式 5已知数列?an?中，an≠０，a1＝

an1?，an?1＝ （n∈N） 求an 21?2an6设数列?an?满足a1=4，a2=2，a3=1 若数列?an?1?an?成等差数列，求an 7设数列?an?中，a1=2，an?1=2an+1 求通项公式an

8已知数列?an?中，a1?1，a2?5,2an?1= an+ an?2 求an 9. 在数列{an}中，a1?1，an?1?an?an?an?1，求{an}的通项公式 10.已知数列{an} ,

a1=1,前n项的和Sn?n?2an，求{an}的通项公式 311.数列{an}的前n项和Sn，且an?Sn?1. （1）求{an}的通项公式

（2）若数列{bn}满足b1?1且bn?1?bn?an，求{bn}的通项公式

12.已知数列{an}是各项都是正数的等比数列，a3?4,{an}的前三项和等于7， （1）求数列{an}的通项公式

（2）若a1b1?a2b2?..........anbn?(2n?3)?2n?3。设数列{bn}的通项公式， 13.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?313(an?1)，数列{bn}满足bn?bn?1? 244，且b1?3 （1）求{an}，{bn}通项公式

214.已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和为Sn，且2Sn?an?n?4

（1）求证：{an}为等差数列 （2）求{an}的通项公式

215. .已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和为Sn，且2anSn?an?1

求证：数列{Sn}为等差数列，并求{an}的通项公式

216.(2015高考题) Sn为数列{an}的前n项和，已知an?0.2an?an?4Sn?3

2求{an}的通项公式

17.已知数列{an}各项都是正数，且a1?a2?a3?......?an?n?3n 求{an}的通项公式

218.已知数列{an}各项都是正数，前n项和为Sn，且a1?1，an?1?2Sn（1）求数列{an}的通项公式

19，已知{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn?（1）求证数列{an}是等差数列

?1，

an(an?1) 2

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