2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题18 概率与统计大题（理）（新课标版）

热点十八 概率与统计大题（理）

【名师精讲指南篇】

【高考真题再现】

1.【2012 新课标全国】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n?N）的函数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列， 数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？ 请说明理由.

2.【2013?新课标全国】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.

【2014高考全国1】 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

2（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N?,?，其中?近似为样本平均数x，

2???2近似为样本方差s2.

（i）利用该正态分布，求P?187.8?Z?212.2?；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间

?187.8,212.2?的产品件数.利用（i）的结果，求EX.

附：150?12.2

2若Z~N?,?则P?????Z??????0.6826，P???2??Z???2???0.9544.

??【热点深度剖析】

1.纵观2012年和2013年2014年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点，在2012年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点，主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及生活中最大利润的判断；2013年考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力；2014年主要考查了频率分布直方图，正态分布的3?原则，二项分布的期望.这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确. 从近几年的高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、分布列是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查有加强趋势，主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．根据这几年高考试题预测2015年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机

变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意线性回归方程、独立性检验在实际生活中的应用，有可能涉及一道与独立检验有关的大题． 【重点知识整合】 一，统计初步 1.简单随机抽样

简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作．每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法． 2.系统抽样

(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距抽样． (2)系统抽样的步骤：

①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．

②分段．先确定分段的间隔k.当(N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时，k＝；当不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N′能被n整除，这时k＝号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S.

④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S加上间隔k，得到第2个个体编号S＋k，再将(S＋k)加上k，得到第3个个体编号S＋2k，这样继续下去，获得容量为n的样本．其样本编号依次是：S，S＋k，S＋2k，?，S＋(n－1)k. 3．分层抽样

(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．

分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当． (2)分层抽样的步骤

①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本． (3)分层抽样的优点

分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表

NnNnNnN′

.③确定起始个体编n

性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．

4.绘制频率分布直方图

频率

把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出

组距一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1. 5．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便． 6．平均数、中位数和众数

(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．

(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数．

(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数)．

(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 7．方差、标准差

1－－2－2－2122

(1)设样本数据为x1，x2，?，xn样本平均数为x，则s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]＝[(x1

nn＋x2＋?＋xn)－nx]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．

(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小． 8.两个变量的线性相关 (1)散点图

将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，?，n)描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系． (2)正相关、负相关

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如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．

反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 9．回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．

(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归直线方程的求法——最小二乘法．

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设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1,2，?，n)，则回归直线方程y＝a＋bx的系数为：

?nn?xy－nx·yx??yi－－y??ii? ?xi－－?i＝1i＝1?^＝＝?bnn?22x－nxx?2?i? ?xi－－?i＝1i＝1??^＝－^x?y－b?a

nn－1－1－－

其中x＝?xi，y＝?yi，(x，y)称作样本点的中心．

ni＝1ni＝1

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a，b表示由观察值用最小二乘法求得的a，b的估计值，叫回归系数．

10.独立性检验

(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量． (2)两个分类变量X与Y的频数表，称作2×2列联表.

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二．随机事件的概率

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