椭圆复习教案

高二文科数学 椭圆复习教案

（一）椭圆标准方程问题：

例1、?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，

由GC?GB?20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，

c?8，有b?6，

x2y2??1?y?0?． 故其方程为

10036x?2y?2??1?y??0?． ① （2）设A?x，y?，G?x?，y??，则

10036??xx?，?x2y2?3??1?y?0?，由题意有?代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除900324?y??y?3?去x轴上两点）．

说明：对于求椭圆标准方程的题型主要有两种，一种是利用标准方程中胡a、b、c、e的几何意义及其关系，求得相应胡值，得到椭圆胡标准方程，一种是待定系数法，根据所给条件列方程组，然后解此方程组，从而求出待定系数。 当然，在此类问题中还有求动点轨迹方程的题，特别是根据题目条件可以确定该动点轨迹是椭圆的题，可通过确定椭圆的相关系数来确定该动点问题。对于一般的动点问题，则习惯采用代入法来求其轨迹方程，如本例题中的（2）。具体解法为：首先设动点的坐标为(x,y)， 设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系，从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

知识迁移：

0?，a?3b，求椭圆的标1、已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，准方程．

2、已知动圆P过定点A??3，0?，且在定圆B：?x?3??y2?64的内

2 1

部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

（二）直线与椭圆综合的位置关系及弦长问题： 例2、已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

210，求直线的方程． 52解：（1）把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x2?y2?1得 4x2??x?m??1， 即5x?2mx?m?1?0．???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得

222???55． ?m?222mm2?1x1x2?（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1?x2??，． 55m2?1210?2m??根据弦长公式得 ：1?1???．解得m?0．方程为??4?55?5?22y?x．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

?的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3

分析：可以利用弦长公式AB?1?kx1?x2?2(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]．b?3，因为a?6，所以c?33．因

为焦点在x轴上，

2

x2y2??1，左焦点F(?33,0)，从而直线方程为y?3x?9． 所以椭圆方程为

369由直线方程与椭圆方程联立得：13x?723x?36?8?0．设x1，x2为方程两根，所以

2x1?x2??72313，

x1x2?36?813，

k?3， 从而

AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

48． 13x2y2??1，设AF由题意可知椭圆方程为1?m，BF1?n，则AF2?12?m，369BF2?12?n．

在?AF1F2中，AF22?AF1?F1F2?2AF1F1F2cos222?3，

即(12?m)?m?36?3?2?m?63?所以m?21； 24866AB?m?n?n?．同理在?BF中，用余弦定理得，所以． F12134?34?3

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．

再根据焦半径AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，从而求出AB?AF1?BF1．

说明：对同一道题，从不同角度分析研究，可能会得到不同启示，得出许多种不同的解法，从而使学生的思维向不同方向、不同层次发展，冲破思维的单一性，固定性，从而培养学生思维的广阔性。此题在讲解中采用一题多解的形式，扩散学生的解题思维，根据学生的差异性（学生的知识掌握程度以及学生的接受能力与理解能力等等）来选择性讲解，按学生最后的掌握情况识记。当中，方法3选择性讲，对于一般性学生，若学校老师在上课中没有提到焦半径的概念，则无需讲解。 知识迁移：

2x2y2??1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐1、椭圆

259标原点）的值为（ ） A．4 B．2 C．8 D．

3 2 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做

3

椭圆． (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1?MF2?2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离． （三）弦中点问题：

x2y2??1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例4、 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x) 得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1?x2，x1x2( 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”y1?y2，y1y2)的值代入计算即得．的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y?2?k(x?4)．代入椭圆方程，整理得

(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0 ①

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴

x1?x2?8k(4k?2)

4k2?11x1?x24k(4k?2)k???，．∴所求直线方程为2224k?1∵P(4,2)为AB中点，∴4?x?2y?8?0．

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1?x2?8，

y1?y2?4．

又∵A，B在椭圆上，∴x1?4y1?36，x2?4y2?36两式相减得

2222(x1?x2)?4(y1?y2)?0，

即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0．∴为x?2y?8?0．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8?x,4?y)． ∵A、B在椭圆上，∴x?4y?36 ①。 (8?x)?4(4?y)?36 ②

22222222y1?y2?(x1?x2)1???．∴直线方程

x1?x24(y1?y2)2 4

从而A，B在方程①－②的图形x?2y?8?0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x?2y?8?0．

说明：培养学生解题思维的概括性与深刻性是数学教学任务之一。在解题中思考解题思路、解题的基本规律是提高学生思维概括性的有效途经。直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．在本题讲解中着重介绍设而不求的解题方法与具体做法，保证学生能够完全接受。

若已知焦点是(33,0)、(?33,0)的椭圆截直线x?2y?8?0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

x2?11??y2?1，例5、已知椭圆（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程； 2?22?（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则

①－②得?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．

由题意知x1?x2，则上式两端同除以x1?x2，有?x1?x2?2?y1?y2?1， 2?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12①②③④y1?y2 ?0，

x1?x2将③④代入得x?2yy1?y2?0．⑤

x1?x2（1）将x?11y?y21??，故所求直线方程为2x?4y?3?0．⑥ ，y?代入⑤，得122x1?x22222将⑥代入椭圆方程x?2y?2得6y?6y?11?0，??36?4?6??0符合题意，442x?4y?3?0为所求．

5

（2）将

y1?y2（椭圆内部分） ?2代入⑤得所求轨迹方程为：x?4y?0．

x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为：x2?2y2?2x?2y?0．（椭圆内部分） ?x1?x2x?2（3）将

2x12?x22???y12?y2?2， ⑦ （4）由①＋②得 ：

222将③④平方并整理得x1?x2?4x2?2x1x2， ⑧ 22 y1?y2?4y2?2y1y2， ⑨

4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：

4??再将y1y2??1?1?x1x2代入⑩式得： 2x2?x1x2?4y2?2??x1x2??2， 2?2?y2?1．此即为所求轨迹方程． 即 x?122说明：此题前面三问均是采用设弦端坐标的方法，也即“设而不求法”（点差法），而在第（4）问的应用中略有差别，需引起注意。 知识迁移：

x2y2??1，求： 已知椭圆

164（1）以P(2,?1)为中点的弦所在的直线方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；

（3）过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程． 综合练习：

x2y21、已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，

abF2，P是椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面

积（用a、b、?表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??1absinC求面积． 2 6

x2y2??1的焦点为焦点，2、以椭圆过直线l：x?y?9?0上一点M123作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

x2y2?1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y?4x?m，椭圆C3、已知椭圆C：?43上有不同的两点关于该直线对称．

说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式??0，建立参数方程．

xy(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0?0?1，将x0，y0利用参数表示，

ab建立参数不等式．

上述过程中，通过讲解椭圆中出现的基本题型，应用了椭圆有关性质定义，并且讲解了在三类题型解答中常用到的基本解题方法，综合运用这些知识解题，培养了学生思维的严密性、连惯性。从而提高学生解题能力的反应能力。

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