数学教案-不等式证明一（比较法） - 高一数学教案 - 模板

数学教案－不等式证明一（比较法）_高一数学教案_模板

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14） 1． 求证：x2 + 3 > 3x 证：∵(x2 + 3) - 3x = ∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证：

∵a,b,m都是正数，并且ab，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴ 即：

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a b”这个条件，应如何判断？ 3． 已知a, b都是正数，并且a 1 b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3) = (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a 1 b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m 1 n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S， 甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2， 则： 可得： ∴

∵S, m, n都是正数，且m 1 n，∴t1 - t2 t1 t2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若m = n，结果会怎样？ 三、作商法 5． 设a, b ? R+，求证： 证：作商： 当a = b时，

当a > b > 0时， 当b > a > 0时， ∴ （其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。 四、小结：作差、作商

五、作业： P15 练习

P18 习题6.3 1—4

教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题

1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计： 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30

新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101

3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． 二、新课教学

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意：

1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 2． 构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明：

1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题

2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 巩固练习：

1 课本P22第2题

2 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =

（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （三）课堂练习

求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） （5） （6）

三、归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。 四、作业布置

课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题

2..2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程（）： 一、引入课题

1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计： 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30

新增确诊病例数 106

105 89 103 113 126 98 152 101

3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． 二、新课教学

（一）函数的有关概念 1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意：

1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 2． 构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明：

1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题

2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 巩固练习：

1 课本P22第2题

2 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =

（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （三）课堂练习 求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） （5） （6）

三、归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。 四、作业布置

课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题 §3.2.1等差数列

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈N*） 2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).

3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且

难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。 过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，…… ， ， ， ，…… 12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义： （见P115）

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1．名称：AP 首项 公差 2．若 则该数列为常数列

3．寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为 当 时 （成立） 注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数 2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP 证明：若

它是以 为首项， 为公差的AP。 3° 公式中若 则数列递增， 则数列递减 4° 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以 求出另一个。 例1 （P115例一）

例2 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例3 （P116例三） 此题可以看成应用题 四、 关于等差中项： 如果 成AP 则 证明：设公差为 ，则 ∴

例4 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项 ∴ 又是-1与3的等差中项 ∴

又是1与7的等差中项 ∴ 解二：设 ∴

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明

例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解： 当 时

时 亦满足 ∴ 首项

∴ 成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。

例6 已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。 证明： ∵ ， ， 成AP ∴ 化简得： =

∴ ， ， 也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。 例7 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？

解： 时 时 ∵ ∴

∴ 数列 不成AP 但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： P118 习题3．2 1-9 七、练习：

1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d （2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。 注：不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。

3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。 4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。 分析：本题可采用两种方法来解。

（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

5．在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等 差数列，并求Sn。

分析：只要证明 (n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。

6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（ ） A 18 B 19 C 20 D21

7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（ ） A 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1

8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、 mb+p 、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（ ）

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D既不必要也不充分条件 9．（1）若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=

（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是 （3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是 10．已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。 11．设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*) (1) 写出这个数列的前三项a1,a2,a3;

(2) 证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？

13．若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3ltx.html